Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Х . Совершенно аналогично может быть решена задача на условный экстремум и для функционалов, а именно: если = ~ Р(л Уг Ут ° Уп' Уг Уг У„) г(л фг (л у~ уг ° ° ° ул) = 0 (1 = 1 ° 2 ° ' ° гл). то составляют функционал к,, ж . = ~' ( Р,. ~ Е, (.„, ) .. .ч г=г где Р'= Р+ ~л~~ ~Хг(л)фн связи вида эг«, ег > е который уже исследуется на безусловный экстремум, т.
е. решают систему уравнений Эйлера Н Р вЂ” — Р =О (/=1, 2,..., и), г) лх у) дополненную уравнениями связей ф, = О (Е = 1, 2... „т). (9.1) Число уравнений т+ н, вообще говоря, достаточно для определения т + и неизвестных функций ун у,, ..., у„ и ).н г', ..., Х~, а граничные УсловиЯ Ут(ха) = У) и УГ(х1) = Уя (У' = 1, 2, ..., Н), которые не должны противоречить уравнениям связей. вообще говоря, дадут возможность определить 2н произвольных постоянных в общем решении системы уравнений Эйлера. Очевидно, что найденные этим путем кривые, на которых достигается минимум или максимум функционала о*, будут решениями и исходной вариационной задачи. Действительно, при найденных нз системы (9.1) функциях ),,(х) (Г = 1, 2, ..., т) и у) (Г' = 1, 2, ..., п) все ф, = О ю (~' Ун Ум ' ' У У1 Уз ' У )~~ «, нри наличии условий ф, (х, у,, у,, ..., У„) = О (Р = 1, 2.....
т; т ( и) удовлетворяют ири соотеетснгеующем выборе множителей Х~(х) (1=1, 2, ..., т) уравнениям Эйлера, составленным для 25 л. э. э«веге«ьч и, следовательно, о*=о, причем если при у) — — ут(х) (~'= 1, 2, ..., и), определенных из системы (9.1), достигается безусловный экстремум функционала о*, т. е. экстремум по отношению ко всем близким кривым, как удовлетворяющим уравнениям связи, так и не удовлетворяющим им, то, в частности, экстремум достигается и по отношению к более узкому классу кривых, удовлетворяющих уравнениям связей.
Однако из этого рассуждения отнюдь не следует, что все решения исходной задачи на условный экстремум будут давать безусловный экстремум функционалу о' и, следовательно, остается невыясненным, все ли решения могут быть найдены этим методом. Мы ограничимся доказательством более слабого утвержления. Теорема. Функции ун у, ..., у„, реализующие экстремум Функционала 373 влвнлцноннын злдлчн нл ксловнын экствзмкм Фуккииакала (гл.
а Функции Х!(х) и у,(х) определяются из уравнении Эалера « Р— — Р =0 (1=1,2,...,п) дх т! <р,=О (1=1, 2, ..., т). Уравнения !р! =0 можно также считать уравнениями Эйлера для функционала о', если аргументами функционала считать не только функции у!, уз, ..., у„, но и Х!(х), Хз(х), ..., ) (х). Уравнения !р,(х, ун у, ..., у„)=0 (1=1, 2, ..., т) предполагаются независимыми, т.
е. оЛин из якобнаное порядка т отличен от нуля, например +О 1)(у!. ун "" ут) Доказательство. Основное условие экстремума Ьо=О принимает в данном случае вид « ~~~ Р бу)+Р,бу')ах=О. «, /=1 Интегрируя по частям вторые слагаемые в каждой скобке и принимая во внимание, что (Ьу1)' =Ьу' и (Ьу!) = 0; (Ьу!)», = О, получим н л ~ ~~)~~(Є— — „Р,)бу д»=0.
« 1-! Так как функции у,. уз... „ у падчннены т независимым связям юре(х, уг, уя, ..., у,)=0 (1=1, 2...., т), то вариации бу) не проиввольны, и пока применять основной леммы нельая. Вариации бу) должны удовлетворять следующим условиям, связи видл эрь эр э 379 полученным путем варьировании уравнений связей ф/ — — О: л Х ~В Ьу/=О (/=1, 2, ° ° ., Щ)е). /1 и следовательно.
только и — ш из вариаций Ьу можно считать произвольными, например Ьу чп Ьу„+э, ..., Ьу„, а остальные определяются нз полученных уравнений. Умножая почленно каждое из этих уравнений на Л/(х) г/х и интегрируя в пределах от хс до х,, получим Х л / Л,(х) ~ д ' бу/с/х=О (/=1. 2, ..., ш). /.1 Складывая почленно все этн и уравнений, которым удовлетворяют допустимые вариации Ьу/, с уравнением ю ч ~ ~~) (Є— — „Р )Ьу/дх=О, и / будем иметь ж и Ш у ~ — + у,Л,(х) — — — — Ьу/Их=О. 'с~ дР кч дэ/ д дР дУ/ ду/ ах ду/ ~ ХО /=1 1 ! или, если ввести обозначение Р* = г'.+,).", Л/ (х) фы г-1 получим ж л )' ) ~Є— — „Р )Ьу/лгх=О.
и /=1 ") Точнее. применяя к разности ф/(х, у, + Ьун ..., у„+ Ьу„) — ф/(х, ун ..., у„) левых частей уравнений ф/(х ую+Ьу~ " * ул+Ьул) ~О нф/(» уз *"~ул)~'О формулу Тейлора, следовало бы писать л Х Ьу/+Л,-О, дф1 ду/ / 1 где /г/ имеют порядок выше первого относительно Ьу/Ц в1, 2 ..., И).
Однако, как нетрудно проверить, члены /г/ не окажут существшшото*алия ння на дальнейшие рзссуэсления, так каи прн вычислении варнэлвщ функ~ ционала нас интересуют лишь члены первого порадка относительно Ьу/(/ 1, 2, ..., л). ВАРИАЦНОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1ГЛ. 9 И здесь пока нельзя применять основной леммы ввиду того, что вариации Ьуу не произвольны. Выберем т множителей Л, (х), Ла(х), ..., Л (х) так, чтобы онн удовлетворяли т уравнениям дх Р или — + ъ 1.1(х) — ' — — — =О (/=1, 2, ..., 1и).
дР ъ 1 де1 д дР ду. '~ ду, дх ду Эти уравнения образуют линейную по отношению к )ч систему с определителем, отличным от нуля, (еь ~ь ' ' " ~") ~ О; О (У1 Уь Ут) следовательно, эта система имеет решение Л1(х), Лз(х), ..., Л.(х). При таком выборе Л,(х), Ла(х), ..., Л (х) основное необходимое условие экстремума М е 1х~ ° Ъ-1 1РР— — Р ) Ьуу Фх =О У/ дх уу) У=~ принимает вид А / ~ ~Р— — Р ~ЬУ дх=О. х, 1= ль1 Так как для функций у,, у,... „у„, реализующих экстремум функционала о, это функциональное уравнение обращается в тождество уже прн произвольном выборе Ьуу(/=ш+1, т+2, ..., и), то теперь можно прнмеиать основную лемму. Положив по очереди равным нулю все Ьур кроме одного, и применяя лемму, получим * Ру — — Р ° = О (У = ш+ 1, т+ 2, ..., а), / дх У1 Принимая во внимание полученные выше уравнения Р— — Р =О (г'=1, 2, ..., ш), 'х окончательно будем иметь, что функции„реализующие условный экстремум функционала о, и множители Л~(х) должны удовлетворять ВВ1 СВЯЗИ ВИДЛ ерс д,)-а системе уравнений Рт — — Р =О (1=1.
2, ..., и), т) ах у) ~рг(х, ун ут...,. у„)= 0 (1= 1, 2, ..., т). П р и мер 1. Найти кратчайшее расстояние между двумя точками А(хо ум ло) и В(хо уо х1) на поверхности Е(х, у, л) = 0 (см, задачу о геодезических липняк, стр. 2В2). Расстояние между двумя точками на поверхности определяется, как известно, по формуле ю 1= [ )г(+у' +л' лх. м В данном случае надо найти минимум ( при условии ф (х, у, з) = О. Согласно предыдущему берем вспомогательный функционал к, П [ [ у1+ у'~+ л" -(- Л (х) й (х, у, л)[ ах х, и для него пишем уравнения Эйлера Л(х) гр у =0; '(х ~г1+ у,з+,2 Л(х) е =0; и'х тГ'1+у,т+ е(х, у, х) =О.
Из зтих трех уравнений определяются искомые функции у=у(х) и к=л(х), на которых может достигаться условный минимум функционала о, и множн. тель Л (х). Пример 2. Пользуясь принципом Остроградского — Гамильтона (см. стр. 320), найти уравнения движения системы материальных точек массы шг(1= 1, 2, ..., и) с координатами (хо уь л,) под действием сил, имеющих силовую функцию — У, при наличии связей йу(й хо х,, ..., х„, у„ун ..., у„, л„з,, г„) =0 (2=1, 2...., гл). Интеграл Остроградского — Гамильтона н о = ~(т — и)г)Г в данном случае имеет вид йй2 вдвидционныи задачи нд ксловныи экстпамгм (гл.
е а вспомогательный функционал Уравнения движения будут уравнениями Эйлера для функционала о". Оии будут иметь следувп(ий вкд: д(! ц'т дФу а(х! — —.+ ~„Л1(!) —; дх,' Л~ дх! ' (=! д((( Ъ дт) е((у! =- — +,7 Л((0 — ! ду! ~ ду! ' т=! м дс( 'С~ т(г! — — + ~ !н(!)— дг, .ыа' дг; ! ! (! = 1, 2, ..., л). 9 2. Связи вида ф(х, У„У„", У., У(, Ут, ° °, У.) =0 В предыдущем параграфе мы рассматривали вопрос об исследовании на экстремум функционала = ~ р(х, уи у,, ..., у„, у',, у,', ..., у„') 'х: х, у (х ) = у.р, у (х,) = у, Ц= 1, 2, ..., и) при наличии конечных свяаей (р((х, уи уа, ..., У„)=0 (1=1, 2, .... и).
(9.2) Предположим теперь, что уравнения связей являются диф(берен- Ииальными уравнениями ф((х. У„ут, ...~ у„, у,', уз, ..., у„')=0 (1=1, 2, .... т), В механике свяаи такого вида называются неголономными, а связи зила (9.2) — голономными, В этом случае также можно доказать правило множителей, заключающееся в том, что условный экстремум функционала о достигается на тех же кривых, на которых реализуется безусловный экстремум функционала к! И х, о'= ~ р+ау'Х(х)ф! с(х= ~ Р" (тх, .т, ! ! хо Ф т) СВЯЗИ ВИДА ф!«, уу, у!! а где С"=Р'+ ~Ху(Х)ф!. ! 1 Однако доказательство значительно усложняется по сравнению со случаем конечных связей.
Если же ограничиться доказате.тьством более слабого утвержденна о том, что кривые, на которых достигается условный экстремум функционала о, при соответствующем выборе ).!(х) являются экстремалямн для функционала ту", то доказательство, проведенное в предыдущем параграфе, может быть с незначительными изменениями повторено н для рассматриваемого случая. Действительно, предположим, что один из функциональных определителей порядка л! отличен от нуля, например ~От" э" ''" "'") + О.
О(»;, Уз, "., У') Это гарантирует независимость связей. Разрешая уравнение <р!(и, у, у, ..., у„, у,, у, ..., У„) О относительно у,, уз...„у, что возможно. так как "™, +О, "! !у! уг " у«!) получим у! = ф!(х, ун ун ..., у„, у „ н у' +з, ..., у„) (! 1, 2, ..., и).
Если считать у ьн у зн ..., у„ произвольно заданными функциями, то из втой системы дифференциальных уравнений определяются ун у! ущ. Таким образом, ум+и умь„..., у„являются произвольными дифференцируемыми функциями с фиксированными граничными значениями и, следовательно, их вариации в том же смысле произвольны. Пусть у!, у„..., у„— произвольная, удовлетворяющая уравнениям связей э! =.О (! 1. 2...., т), допустимая система функций. йарьируем уравнения связей « « 1)„— ЬУ)+ ~ —,' Ьу) О (Г= 1, 2...., ш)"). )=! ду! ,, у; д Умножаем почленно каждое из полученных уравнений иа пока не опреде. ленный множитель Ху(х) и интегрируем в пределах от ху до х„тогда получим «! « «, П У дч!! Ху(х) ~ ~ — ~-Ьууд«+ ) 7!у(«) 1): —,Ьу) дх О; у! ! ду «О / ! «О 1 У) И здесь, как и на стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
