Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Оно определяет частоту Ь собственных колебаний клина, описываемых функцией и (х, () у(х) соз бя Меньший из двух корней Ь, и Ьэ уравнения частот дает приближенное значение частоты основного тона колебаний клинз. При мер 2. В задачах, связанных с кручением цилиндра или призмм, приходится исследовать на зкстремум функционал ( )] /'Д(дх ) +(д + )1 Кх Еу, тэ Для получения решений, отличных от решения а, = аэ = О, которое соответствует отсутствию колебаний клина, необходимо, чтобы определитель этой однородной линейной системы уравнений был равен нулю: пРямые методы В ВАРиАциОнных зАдАНАх (ГЛ, Ю Необходимое условие экстремума — = 0 принимает в лаином случае ввд до, да (а -1- 1) аз+ (а — 1) Ь' О, откуда Ьз — а' а'+Ь' ' Ь' — аз '+ Ь' Пример 3. Если в условиях предыдущего примера область О будет прямоу~ольником со сторонами 2а и 2Ь, — а (х < а; — Ь < у~ Ь то, взяв за координатные функции ху.
Ху', х'у. т. е. положив х, = а,ху+ а,ху'+ а,х'у получим з з ото]хз] / /](у]+(+Х)~дхду -з -з 4 3 з з 7 Ь' За' 1 З ( а' ЗЬ' З вЂ” аЬ' (а, — 1)в.+ 4аЬ' 1 — + ] а + 4а Ь ! — + —, ~ а, + 3 4 з з 3 3 + — а Ь(а, +!)'+ — абз(а1 — 1) и + — а Ь(а, + 1) а,— 3 5 5 — — авЬ(а, .4-!) а, — — азЬз (аз -1- ЬП) а,аз — — азаз (а, — 1) ам о Необходимые условия вкстремума — = О, — = О, — 0 позводоз гм'в дпв да, ' да, ' дав лязот вычислить ан а,, ам 7 (ав — Ьв) + 135азЬз (аз — Ьз) а, 7 (аз + Ьв) + 107азЬз (аз + Ьз) ' 7а' (Заз + 3551) а, 21 (аз + Ьв) + 32)а'Ьз (аз + Ьз) ° 7Ь' (35а'+ ЗЬ') аз 21 (а' + Ьз) + 32!а'Ь* (а'+ Ь') При мер 4. Нзйти решение уравнения дзх гйа — + —.= У(х, у) дхз дуз внутри прямоугольника 7), 0(х<а, 0~(у< Ь. обращающееся в нуль на границе В.
Функция /(х, у) йредполагается разложимой внутри рассматриваемого прямоугольника в равномерно сходящийся двойной ряд Фурье: ПХ 11У у(х. у) г у 5 з)п р — з!пз) —. зьк л~к гя а Ь З 1 а=1 Лля цилиндра с зллинтическим поперечныи сечением область интегрирова х' у' иия (з будет ограничена зллипсом — + — = 1.
В атом случае, взяв лишь и' Ьз одну координатную функцию ху, получим иаЬ к, аху, и (а,] и, = — ((а+1)з а'+(а — 1)' Ь']. ,1 МЕТОД РИТЦА $ 3) 405 Эту краевую задачу можно свести к вариационной аадаче, т. е. подобрать функционал аля которого залаиное уравнение было бы уравнением Остроградского, и затем одним из прямых методов найти функцию, реализуюпхую экстремум этого функционала, и тем самым найти рещение исходной краевой задачи Как легко проверить, д'х дзл — + — -У(» у) дх' ду' является уравнением Остроградского для функционала о (л (х.
у)) / ~ '(( — ) + ( †) + 2л/ (х, у)~ дх ду (см. стр. 315). Граничнос углови. сохраняется х = О на границе области О. Исследуем этот функционал на экстремум методом Рнтца. В качесавс системы координатных функций возьмел1 з(п ю — э)п а — Ии, и = 1, 2, ...) лх ггу и Ь Каждая из этих функций и нх линейные комбинации удовлетворяю~ граничному условию л = О на границе области Ы Свойством полноты эти функции также обладают Взяв %э жч лх лу Хю м 7 7 Ора З)П Р вЂ” а(ПЧ— а=г а будем иметь а а /(( )'+(Фа )- Е (лам)- о лх ну 1 +2хам ~,т„р з)пр — з)пр — дхду Лд Лд Ь ~ р= ~ а=| а м а м р г ч=~ р 1 а=| Этот результат легко получить, если принять во внимание.
что координатные лх лу функции з(п р — з)пд — (р, й 1, 2, ...) образуют в области 0 ортогоа б нальную систему т. е ./'. лх лу лх лу ( э!и р — а!па — заир, — э(па, — дхду О а Ь ' а ' Ь О их лу аЬ / жп' р — э)п'(г — ахну л Ь а О пРи любых целых положительных Р, а, Р„ди за исключением слУчаЯ Р РИ д д, При р=р, и д*=-д, получаем НРямыз митоды В влриАционных ВАдАчАх (гл, ю Поэтому из всех членов, стоящих под знаком двойного интеграла, равного о (ли ), надо учитывать лишь те, которые содержат квадраты функций лх лу лх лу лх лу я1п р — э!по —, з!пр — созе — и соа р — з!по —. Очевидно.
а Ь а Ь а Ь ' о[ли ) является функцией р(а„, аы, ..., аи ) коэффициентов ан, а,.„,,. ..., а, которые определяются из основного необходимого условия экстремума — =0 (р 1,2,...,л; л 1,2,...,т! дф даре Эта система уравнений в данном случае имеет вид !и йи! арч~ — и+ ур)ли+бра — — О (р=1, 2, ..., и; и=1, 2, ..., и!д откуда а Следовательно, ~и йрч лх лу 3!и р — 51п д р ч' и а а' Ьи =! + и 1 лим = лэ р=! Переходя к пределу при и н т, стремящихся к бесконечности, в данном случае получим точное решение: лх лу з!п р — з1п 4 —. а' 5 4. Метод Канторовича ПРи пРименении метода Ригца к фУнкционалам о (л(хн хи, ..., хи)], зависящим от функций нескольких неззвисимых переменных.
выбирается координатная система функций Я'! (»н х,, ..., »и), йтэ(хь хи....„хи), ..., (РМ(х„хэ, ..., »и), н приближенное решение также ищется в виде м лт-— — ~ч~', аа(х!) Игл(хп хз °... хи) л ! и приближенное решение вариационной задачи, ищется в виде = ~~'~~ аэйуа (»1, х,, ..., хи), где коэффициенты ал — постоянные.
а=! Метод Канторовича также требует выбора координатной системы функций йу! (хн хь ..., хи), йги(хь хи...., хи)... „йгт(х1, хз...., хл)..., $41 МЕТОД КАНТОРОВИЧА 407 однако коэффициенты ал(хП не постоянные, а являются неизвестными Функциями одной из независимых переменных. Функционал о[а] иа классе 'функций вида и х,„= ~Ч~', аа (х!) (тга (хг, х„..., х„) а ! превращается в функционал о(а! (х!), а,(х!), .... ал! (х!)), зависящий от е! функций одной независимой переменной а, (х!), а,(х!), ..., аю(х!). Функции а,(х!), а,(х!), ..., аю(х!) выбираются так, чтобы функционал о достигал экстремума. Если после этого перейти к пределу при ш -ь со, то при некоторых уславияк можно получить точное решение, если же предельного перехода не осуществлять, то этим методом будет получено приближенное решение и притом, вообще говоря, значительно более точное, чем при применении метода Ритца с теми же координатными функциями и с тем же числом членов !и.
Большая точность этого метода вызвана тем, что класс функций хм = ~ аь (х!) (ь'ь (х„ хл, ..., х„) с переменными аа (х!) значительно !лире л=! класса функций хм = ~ пайка(хь х,, ..., хл) нри постоянных а» и, следовательно, среди функций вида аь(.кП (к'а (хь х„,, „х„) л=! можно подобрать функции, лучше аппроксимирующие решение вариационной гл задачи, чем среди функций вида ~ пай'а(х!, х,, ...,х„), где аа постоянны. а=! Пусть, например, требуется исследовать на экстремум функционал М Ш!к! / ) Р(х, у,х, —, —.~пхну. ъ ч !х) р хспространенный на область О, ограниченную криеымн у = гг, (х), у = гр! (х) ! двумя прямыми х= ха и х=х, (рнс. 10Д). На границе области В заданы гначения функции л (х, у).
Выбираем последовательность координатных 4>ункций! (р! (х, у), (р'! (х, у), ..., Ф"л(х, у), ... Ограничиваясь пока ю первымн функциями втой последовательностп, мы будем искать решение вариационной задачи'в виде суммы функций хю = ~~~~ аа(х) йуа(х, у) или, меняя обозначения аа(х) на иа(х), получим: л=! «ю(х, у) = и, (х) Ф'! (х, у)+ма(х) (а!(х, у)+ ... +им(х) й'ю(х, у), пяямые методы в н яилционных задачах (гл. ~о где (Р'а — выбранные изми функции, а ил — неизвестные функции, которые мы определяем так, чтобы функционал о достигал экстремума. Имеем к, к~к~ о[хм(х, у)) = ~ дх / г" [х, у, «,(х, у), — ~, — ~[ду.
дх,„дхм т дх ' ду к еык) Так как подынтегральная функция является известной функцией у, то интеграция по у ьюжет быть выполвена, и функционал о[х,„(х. у)) будет функционалом вида о[ам(х, У)] = ~ Т(х, и,(х)...„им(х), и, ..., и )дх к, Функции и, (х), ит (х), ..., и (х) выбираются так, чтобы функционал Рис. !0.4. о [х (х, у)) достигал акстремума. Следовательно, и, (х) должны удовлетворять системе уравнений Эйлера: д Т, =О. дх и' 1 Т Ф,=О, и: дх ат т — — г, =О. дх Произвольные постоянные выбираются так, чтобы х (х, у) удовлетворяла ча прямык х = х, н х = х, заданным граничным условиям.
Й ример 1. Исследовать на вкстремум функционал а» о [х(х, У)[= / / ~~ —,) + ( — ) — 2х1 дхну, -а -а мвтод кАнтОРОВичА причем на границе области интегрирования « = О. Областью иптегрирова.шя является прямоугольник — а ( х (а; — Ь ( у ( Ь. Решение ищем в виде «, = (Ь' — у') и (х), при этом граничные условия иа прямых у = ш Ь будут удовлетворены. Функционал а /Г15 э,т 8,э 8 о (А) = ! ~ — Ьэи' + — Ь'иэ — — Ьзи1ах. ,/(15 ' З З Уравнение Эйлера для этого функционала 5 5 иэ — — и= —— йбт 4Ьт является линейным уравнением с постоянными коэффициентами, общее ре- шение которого нмеет вид Г5 х / 5 х и= С сй тг — — + С,э51г — — + —,.
Постоянные С, и С, определяются нз граничных условий «( — а) = «(а) = О ! откуда С, = О, С, = — , и окончательно получаем: 2 ей ~ / 5 а 2 Ь следовательно, г 5 х сй 1г' = — (Ь' — у') 1 — Г— ! У2Ь Если необходимо получить более точный о~нет, то можно искать решение в виде «, = (Ь' — ут) и, (х) + (Ьэ — у')' и, (х). П р и и е р 2. Найти непрерывное решение уравнения Л« = — 1 в области О, являющейся равносторонним треугольником, ограниченным прямыми у= ш — х и х= Ь (рис. 10.5) обращающееся в нуль на границе этой 3 области. Уравнение Л« = — 1 является уравнением Остроградского для функционала гз э з — Х о(«)= / ~ ~~ — ) +( — ) — 2«1йха)ь Уз — к з ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ !гл.
в 410 причем'на границе области интегрирования з = О. Следуя методу Канторе. вича, будем искать первое приближение в виде ( 3 х) ~п(х При таком выборе х, граничные условия на прямык у = ш — х удовлет- )'3 3 воряются. Функционал о[я,) после выполнения интегрирования по у принимает вид и [х,[ = (2х'и' + !Охни'+30х'ит+15х'и) Ех, 405,/ о Уравнением Эйлера для етого функционала будет х'и" +5хи' — 5и= —, 15 Линейные уравнения такого типа в теории дифференциальных уравнений называются уравнениями Эйлера (стр.
110). Одно частное решение этого неоднородного уравнения очевидно; и = 3 — Решение соответствующего однородного уравнения ищем в аиде 4 в = х и окончательно получаеи и = С,х + Стх — †. Так как около а 5 3 4' точки х = 0 решение и должно быть ограничено, то С, следует выбрать равным нулю, а из условия и (Ь) = 0 полу- 3 чаем С, = — —. Итак, 4Ь' х~ = — — ( 1 — — ) '[ут — — хт).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
