Главная » Просмотр файлов » Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление

Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 63

Файл №1118006 Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление) 63 страницаЛ.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006) страница 632019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

Оно определяет частоту Ь собственных колебаний клина, описываемых функцией и (х, () у(х) соз бя Меньший из двух корней Ь, и Ьэ уравнения частот дает приближенное значение частоты основного тона колебаний клинз. При мер 2. В задачах, связанных с кручением цилиндра или призмм, приходится исследовать на зкстремум функционал ( )] /'Д(дх ) +(д + )1 Кх Еу, тэ Для получения решений, отличных от решения а, = аэ = О, которое соответствует отсутствию колебаний клина, необходимо, чтобы определитель этой однородной линейной системы уравнений был равен нулю: пРямые методы В ВАРиАциОнных зАдАНАх (ГЛ, Ю Необходимое условие экстремума — = 0 принимает в лаином случае ввд до, да (а -1- 1) аз+ (а — 1) Ь' О, откуда Ьз — а' а'+Ь' ' Ь' — аз '+ Ь' Пример 3. Если в условиях предыдущего примера область О будет прямоу~ольником со сторонами 2а и 2Ь, — а (х < а; — Ь < у~ Ь то, взяв за координатные функции ху.

Ху', х'у. т. е. положив х, = а,ху+ а,ху'+ а,х'у получим з з ото]хз] / /](у]+(+Х)~дхду -з -з 4 3 з з 7 Ь' За' 1 З ( а' ЗЬ' З вЂ” аЬ' (а, — 1)в.+ 4аЬ' 1 — + ] а + 4а Ь ! — + —, ~ а, + 3 4 з з 3 3 + — а Ь(а, +!)'+ — абз(а1 — 1) и + — а Ь(а, + 1) а,— 3 5 5 — — авЬ(а, .4-!) а, — — азЬз (аз -1- ЬП) а,аз — — азаз (а, — 1) ам о Необходимые условия вкстремума — = О, — = О, — 0 позводоз гм'в дпв да, ' да, ' дав лязот вычислить ан а,, ам 7 (ав — Ьв) + 135азЬз (аз — Ьз) а, 7 (аз + Ьв) + 107азЬз (аз + Ьз) ' 7а' (Заз + 3551) а, 21 (аз + Ьв) + 32)а'Ьз (аз + Ьз) ° 7Ь' (35а'+ ЗЬ') аз 21 (а' + Ьз) + 32!а'Ь* (а'+ Ь') При мер 4. Нзйти решение уравнения дзх гйа — + —.= У(х, у) дхз дуз внутри прямоугольника 7), 0(х<а, 0~(у< Ь. обращающееся в нуль на границе В.

Функция /(х, у) йредполагается разложимой внутри рассматриваемого прямоугольника в равномерно сходящийся двойной ряд Фурье: ПХ 11У у(х. у) г у 5 з)п р — з!пз) —. зьк л~к гя а Ь З 1 а=1 Лля цилиндра с зллинтическим поперечныи сечением область интегрирова х' у' иия (з будет ограничена зллипсом — + — = 1.

В атом случае, взяв лишь и' Ьз одну координатную функцию ху, получим иаЬ к, аху, и (а,] и, = — ((а+1)з а'+(а — 1)' Ь']. ,1 МЕТОД РИТЦА $ 3) 405 Эту краевую задачу можно свести к вариационной аадаче, т. е. подобрать функционал аля которого залаиное уравнение было бы уравнением Остроградского, и затем одним из прямых методов найти функцию, реализуюпхую экстремум этого функционала, и тем самым найти рещение исходной краевой задачи Как легко проверить, д'х дзл — + — -У(» у) дх' ду' является уравнением Остроградского для функционала о (л (х.

у)) / ~ '(( — ) + ( †) + 2л/ (х, у)~ дх ду (см. стр. 315). Граничнос углови. сохраняется х = О на границе области О. Исследуем этот функционал на экстремум методом Рнтца. В качесавс системы координатных функций возьмел1 з(п ю — э)п а — Ии, и = 1, 2, ...) лх ггу и Ь Каждая из этих функций и нх линейные комбинации удовлетворяю~ граничному условию л = О на границе области Ы Свойством полноты эти функции также обладают Взяв %э жч лх лу Хю м 7 7 Ора З)П Р вЂ” а(ПЧ— а=г а будем иметь а а /(( )'+(Фа )- Е (лам)- о лх ну 1 +2хам ~,т„р з)пр — з)пр — дхду Лд Лд Ь ~ р= ~ а=| а м а м р г ч=~ р 1 а=| Этот результат легко получить, если принять во внимание.

что координатные лх лу функции з(п р — з)пд — (р, й 1, 2, ...) образуют в области 0 ортогоа б нальную систему т. е ./'. лх лу лх лу ( э!и р — а!па — заир, — э(па, — дхду О а Ь ' а ' Ь О их лу аЬ / жп' р — э)п'(г — ахну л Ь а О пРи любых целых положительных Р, а, Р„ди за исключением слУчаЯ Р РИ д д, При р=р, и д*=-д, получаем НРямыз митоды В влриАционных ВАдАчАх (гл, ю Поэтому из всех членов, стоящих под знаком двойного интеграла, равного о (ли ), надо учитывать лишь те, которые содержат квадраты функций лх лу лх лу лх лу я1п р — э!по —, з!пр — созе — и соа р — з!по —. Очевидно.

а Ь а Ь а Ь ' о[ли ) является функцией р(а„, аы, ..., аи ) коэффициентов ан, а,.„,,. ..., а, которые определяются из основного необходимого условия экстремума — =0 (р 1,2,...,л; л 1,2,...,т! дф даре Эта система уравнений в данном случае имеет вид !и йи! арч~ — и+ ур)ли+бра — — О (р=1, 2, ..., и; и=1, 2, ..., и!д откуда а Следовательно, ~и йрч лх лу 3!и р — 51п д р ч' и а а' Ьи =! + и 1 лим = лэ р=! Переходя к пределу при и н т, стремящихся к бесконечности, в данном случае получим точное решение: лх лу з!п р — з1п 4 —. а' 5 4. Метод Канторовича ПРи пРименении метода Ригца к фУнкционалам о (л(хн хи, ..., хи)], зависящим от функций нескольких неззвисимых переменных.

выбирается координатная система функций Я'! (»н х,, ..., »и), йтэ(хь хи....„хи), ..., (РМ(х„хэ, ..., »и), н приближенное решение также ищется в виде м лт-— — ~ч~', аа(х!) Игл(хп хз °... хи) л ! и приближенное решение вариационной задачи, ищется в виде = ~~'~~ аэйуа (»1, х,, ..., хи), где коэффициенты ал — постоянные.

а=! Метод Канторовича также требует выбора координатной системы функций йу! (хн хь ..., хи), йги(хь хи...., хи)... „йгт(х1, хз...., хл)..., $41 МЕТОД КАНТОРОВИЧА 407 однако коэффициенты ал(хП не постоянные, а являются неизвестными Функциями одной из независимых переменных. Функционал о[а] иа классе 'функций вида и х,„= ~Ч~', аа (х!) (тга (хг, х„..., х„) а ! превращается в функционал о(а! (х!), а,(х!), .... ал! (х!)), зависящий от е! функций одной независимой переменной а, (х!), а,(х!), ..., аю(х!). Функции а,(х!), а,(х!), ..., аю(х!) выбираются так, чтобы функционал о достигал экстремума. Если после этого перейти к пределу при ш -ь со, то при некоторых уславияк можно получить точное решение, если же предельного перехода не осуществлять, то этим методом будет получено приближенное решение и притом, вообще говоря, значительно более точное, чем при применении метода Ритца с теми же координатными функциями и с тем же числом членов !и.

Большая точность этого метода вызвана тем, что класс функций хм = ~ аь (х!) (ь'ь (х„ хл, ..., х„) с переменными аа (х!) значительно !лире л=! класса функций хм = ~ пайка(хь х,, ..., хл) нри постоянных а» и, следовательно, среди функций вида аь(.кП (к'а (хь х„,, „х„) л=! можно подобрать функции, лучше аппроксимирующие решение вариационной гл задачи, чем среди функций вида ~ пай'а(х!, х,, ...,х„), где аа постоянны. а=! Пусть, например, требуется исследовать на экстремум функционал М Ш!к! / ) Р(х, у,х, —, —.~пхну. ъ ч !х) р хспространенный на область О, ограниченную криеымн у = гг, (х), у = гр! (х) ! двумя прямыми х= ха и х=х, (рнс. 10Д). На границе области В заданы гначения функции л (х, у).

Выбираем последовательность координатных 4>ункций! (р! (х, у), (р'! (х, у), ..., Ф"л(х, у), ... Ограничиваясь пока ю первымн функциями втой последовательностп, мы будем искать решение вариационной задачи'в виде суммы функций хю = ~~~~ аа(х) йуа(х, у) или, меняя обозначения аа(х) на иа(х), получим: л=! «ю(х, у) = и, (х) Ф'! (х, у)+ма(х) (а!(х, у)+ ... +им(х) й'ю(х, у), пяямые методы в н яилционных задачах (гл. ~о где (Р'а — выбранные изми функции, а ил — неизвестные функции, которые мы определяем так, чтобы функционал о достигал экстремума. Имеем к, к~к~ о[хм(х, у)) = ~ дх / г" [х, у, «,(х, у), — ~, — ~[ду.

дх,„дхм т дх ' ду к еык) Так как подынтегральная функция является известной функцией у, то интеграция по у ьюжет быть выполвена, и функционал о[х,„(х. у)) будет функционалом вида о[ам(х, У)] = ~ Т(х, и,(х)...„им(х), и, ..., и )дх к, Функции и, (х), ит (х), ..., и (х) выбираются так, чтобы функционал Рис. !0.4. о [х (х, у)) достигал акстремума. Следовательно, и, (х) должны удовлетворять системе уравнений Эйлера: д Т, =О. дх и' 1 Т Ф,=О, и: дх ат т — — г, =О. дх Произвольные постоянные выбираются так, чтобы х (х, у) удовлетворяла ча прямык х = х, н х = х, заданным граничным условиям.

Й ример 1. Исследовать на вкстремум функционал а» о [х(х, У)[= / / ~~ —,) + ( — ) — 2х1 дхну, -а -а мвтод кАнтОРОВичА причем на границе области интегрирования « = О. Областью иптегрирова.шя является прямоугольник — а ( х (а; — Ь ( у ( Ь. Решение ищем в виде «, = (Ь' — у') и (х), при этом граничные условия иа прямых у = ш Ь будут удовлетворены. Функционал а /Г15 э,т 8,э 8 о (А) = ! ~ — Ьэи' + — Ь'иэ — — Ьзи1ах. ,/(15 ' З З Уравнение Эйлера для этого функционала 5 5 иэ — — и= —— йбт 4Ьт является линейным уравнением с постоянными коэффициентами, общее ре- шение которого нмеет вид Г5 х / 5 х и= С сй тг — — + С,э51г — — + —,.

Постоянные С, и С, определяются нз граничных условий «( — а) = «(а) = О ! откуда С, = О, С, = — , и окончательно получаем: 2 ей ~ / 5 а 2 Ь следовательно, г 5 х сй 1г' = — (Ь' — у') 1 — Г— ! У2Ь Если необходимо получить более точный о~нет, то можно искать решение в виде «, = (Ь' — ут) и, (х) + (Ьэ — у')' и, (х). П р и и е р 2. Найти непрерывное решение уравнения Л« = — 1 в области О, являющейся равносторонним треугольником, ограниченным прямыми у= ш — х и х= Ь (рис. 10.5) обращающееся в нуль на границе этой 3 области. Уравнение Л« = — 1 является уравнением Остроградского для функционала гз э з — Х о(«)= / ~ ~~ — ) +( — ) — 2«1йха)ь Уз — к з ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ !гл.

в 410 причем'на границе области интегрирования з = О. Следуя методу Канторе. вича, будем искать первое приближение в виде ( 3 х) ~п(х При таком выборе х, граничные условия на прямык у = ш — х удовлет- )'3 3 воряются. Функционал о[я,) после выполнения интегрирования по у принимает вид и [х,[ = (2х'и' + !Охни'+30х'ит+15х'и) Ех, 405,/ о Уравнением Эйлера для етого функционала будет х'и" +5хи' — 5и= —, 15 Линейные уравнения такого типа в теории дифференциальных уравнений называются уравнениями Эйлера (стр.

110). Одно частное решение этого неоднородного уравнения очевидно; и = 3 — Решение соответствующего однородного уравнения ищем в аиде 4 в = х и окончательно получаеи и = С,х + Стх — †. Так как около а 5 3 4' точки х = 0 решение и должно быть ограничено, то С, следует выбрать равным нулю, а из условия и (Ь) = 0 полу- 3 чаем С, = — —. Итак, 4Ь' х~ = — — ( 1 — — ) '[ут — — хт).

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее