Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(5.11) 1=1 Интегральные кривые системы (5.9) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения переменных хн х, ..., хл и левая часть тождества (5.11) не зависит от постоянных сн см ..., сл и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождество (5.11) справедливо не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных хн хг, ..., хл, а это н означает, что функция ф является решением исходного уравнения л 11 Очевидно, что Ф(ф1.
фг, ..., фл,) =с, где Ф вЂ” произвольная функция, является первым интегралом системы (5.9), так как вдоль интегральной кривой системы (5.9) все функции фи ф,, ..., фл, обращаются в постоянные, следовательно, и Ф(ф,, ф, ..., фл,) обращается в постоянную вдоль интегральной кривой. системы (5.9). Значит, Е=Ф(фн ф,, ..., ф,,), где Ф вЂ” произвольная дифференцируемая функция, является решением линейного однородного уравнения (5.8).
Докажем, что Е=Ф(ф1( ',, ..., Хл), фг(Х1, .... Хл), ..., ф„,(Х1, ..., „)) является общим решением уравнения (5.8). Теорема б.2. е =Ф(ф1, фг, ..., фл,), где Ф вЂ” нроизволлнан функция, является общим решением уравнения Х дв Х,(хн ха, ..., хл) — = О, 1 (5. 8) т. е.
решением, содержащим все бев исключения решения этого уравнения. Доказательство. Допустим, что я=ф(хн хг, . „хл) является некоторым решением уравнения (5.8), и докажем, что существует функция Ф такая, что ф=Ф(ф1, фг, .... фл,). 2571 уРАвнения В чАстных БРОизВОдных пеРВОГО поРядкА 7тл. а ТаК Каи ф И фм фэ, ..., фл 1 ЯВЛЯЮТСЯ РЕШЕНИЯМИ УРаВНЕ- ния (5.8). то л '~',х,— '" =о, л дх, (5.12) Рассматривая систему (5.!2) как линейную однородную систему и уравнений относительно Х, (1 = 1, 2, ..., и) и замечая, что эта одно- РОДНаЯ СИСтЕМа В КажДОй ТОЧКЕ ХР Х7, ..., Хл РаССМатРИВаЕМОй области имеет нетривиальное решение, так как Х,(хн ха, ..., хл), по предположению, не обращаются в нуль одновременно, приходим к выводу, что определитель этой системы д1л-~ д717л 1 дфл 1 дх, дх7 ' ' д.лл тождественно равен нулю в рассматриваемой области.
Но тождественное обращение в нуль якобиана функций ф ф1, ф7... ° , ф„ указывает на наличие функциональной зависимости между этими функциями: Г (ф, ф,, ф,, ..., фл ,) = О. (5.1 3) 77 силу независимости первых интетралов ф,(хо хэ, ..., хл) = с, (1 = 1, 2.. . и — 1) системы (5.9) по крайней мере один из миноров (и — 1)-го порядка якобиана 77 (Ф 21, Ч77.
° ° °, ф -Н О(х1, х7 х7, ..., хл) д7Р дч1 дх, дх, д7э1 дч11 дх, дх7 д1)7 д7ь7 дх, дх7 д11 дхл де1 дх» д717 дхл ЛИНЕННЫЕ И КВАЗИЛИНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 251 4 г! вила О (фь фь ", фи) ии(ха, ха- '' ха ) отличен от нуля. Следовательно, уравнение (5.! 3) можно представить в виде ф=Э(фп ф,, ..., ф.,). П ример 5. Г!роинаегрнровать уравнение и ' дхг (5.14) Система уравнений, определяющая характеристики, имеет внд ах, дх1 дх„ х, х, ''' хл Неззвисимыми первыми иятегралами этой системы будут: Х( — =си .тл х, х, =Си ° ° = Сл-Р Общее рещение исходного уравнения где — Ф О. ди дг Действительно, считая, что функция г =г(хн хю .. „х,) определена из уравнения (5.16), и дифференцируя тождество и(х,.
хз, .... хл, «(хг, хя, ..., хл)) — 0 является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности. Теорема Эйлера об однородных функциях утверждает, что однородные функции нулевой степени однородности удовлетворяют рассматриваемому уравнению (5.'14); теперь мы доказали, что только однородные функции нулевой степени однородности обладают этим свойством. Неоднороднде линейное урзвнение первого порядка п ~ Х, (хн хг, ..., хл, г) — = и".(хи хз, ..., хл, г), (5.15) дхг г=! где все Х,.
и л' — непрерывно дифференцируемые функции, не обращающиеся в нуль одновременно в рассматриваемой области изменения переменных х,, хю .... х„, г, интегрируется путем сведения к линейному однородному уравнению, Для этой цели, так же как и в случае трех переменных, достаточно искать решение г уравнения (5.15) в неявном виде: и(хн хю ..., хл, г)=О, (5.16) 252 килвнення в члстных пионзводных пзивого поиядкл !гл.з по хн получим ии ди дз — + — — =О, дх~ дз дх~ откуда ди дг дх~ их; ди дл дл Подставляя найденное — в (5.15), умножая дх! все члены в левую часть уравнения, получим уравнение и Х ' '." ' д ди Х,(хн хп ..., х„х)д — +Х(хн хз, ..., дх~ 1=1 ди на — — н перенося дх однородное линейное хи, г) — = О, (5.17) ди дз и(х,, х,, ..., х„, г) =О.
Найдем вначале функции и, обращающие уравнение (5.!7) в тождество при независимо меняющихся х,, хм ..., х„, з. Все такие функции и являются решениями однородного уравнения (5.17) и могут быть найдены уже известным нам способом: составляем систему уравнений, определяющую характеристики дх1 дхз Х1(хи хя, ..., хи, 2) . Х2(хи хя, ..., Хл, а) Х„(хи х„..., х„, з) Х(хи х,, ..., х„, г) ! (5.18) находим н независимых первых интегралов втой системы: ф~(хн хз, ..., х„, л)=сн фз(хн хз, ..., х„, л) =с, ф (х~ хз хи з)=си: тогда общее решение уравнения (5.!7) имеет вид и =гр(фн фз ° ° .
фи). где Ф вЂ” произвольная функция. которому должна удовлетворять функция и, однако лишь в предположении, что з является функцией хп хз, ..., хи, определяемой уравнением и(хн х,, ..., х„з) =О, Итак, надо найти функции и, обращающие линейное однородное уравнение (5.17) в тождество в силу уравнения Э э1 ЛИНЕИНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 253 Решение г уравнения (5.15), зависящее от произвольной функции, определяется из уравнения и(хи хэ, ..., х„г)=0 или Ф(фи ф„..., ф„)=0. Но, кроме найденных этим способом решений, могут быть ре- шения г, которые определяются из уравнений и (х,, хе,..., х„, г)=0, где функция и не является решением уравнения (5.17), а обращает это уравнение в тождество лишь в силу уравнения и(х„х,, ...
х, г) = О. Такие решения называются специальными. Специальных решений в некотором смысле не очень много, они не мокнут образовывать даже одноцараметрических семейств. )(ействительно, если бы специальные решения образовали одно- параметрическое семейство и определялись уравнением и(хн х,, ..., х„, г)=с, (5.19) где с — параметр, сэ < с (с,, то уравнение (5.!7) должно было бы обращаться в тождество в силу уравнения (5.19) ири любом с.
Но так как уравнение (5.17) не содержит с, то оно не может обра- щаться в тождество в силу уравнения (5.19), содержащего с, и, следовательно, должно быть тождеством по отношению ко всем цеременным хи х,, ..., х„, г, меняющимся независимо. Последнее утверждение допускает простую геометрическую интерпретацию, Говоря, что уравнение (5.17) обращается в тождество в силу уравнения и(х,, х,, ..., х„, г)=0, мы утверждаем, что уравнение (5.17) обращается в тождество в точках поверхности и = О, но может не обращаться в тождество в других точках пространства хи х,, ..., х„, г.
Если же уравнение (5.17), не содержащее с, обращается в тождество в силу уравнения и=с, где с — непре- рывно меняющийся параметр, то это означает, что уравнение (5.1?) обращается в тождество на всех непересекающихся и заполняющих некоторую часть 1) пространства х,, х,, ..., х„, г поверхностях и = с, с1 < с ° с, и, следовательно, уравнение (5.17) обращается в тожлество в области 7) при независимо изменяющихся х,, х,, ... х„,.
г. В конкретных задачах обычно требуется найти решение уравне- ния (5.15), удовлетворяющее еще каким-нибудь начальным условиям, и так как специальных решений в указанном выше смысле сравни- тельно мало, то они лишь в совершенно исключительных случаях будут удовлетворять поставленным начальным условиям и поэтому их лишь в редких случаях приходится принимать во внимание. П р и м е р 6. Проинтегрировать уравнение Х хь — рг, дг (6.20) дхг с ь где р — постоянизи Система уравнений дх1 дхз дха дл х, х, ''' х„ рл имеет следуюшие независимые интегралы: хз х„ — =со ..„==с ь — с.
и е х„' х) — =со х„ Следовательно, решение е исходного уравнения определяется из уравнения откуда л= хгф ( —, (х, х, х„ (,л„' х„' '''' х„ Итан, решением является произвольная однородная функция Р-й степени однородности. Можно доказать, что уравнение (5.20) не имеет специальиыл интегралов и, следовательно, теорема Эйлера об однородных функциях обратима — уравнению (5.Ю) удовлетворяют только однородные функции степени однородности р.
Понятие характеристики распространяется на системы кназилинейных уравнений следующего специального вида: ди ди Р(х, у, и, о) — + (~(х, у, и, о) — = ((, (х, у, и, о), дх ' ' ' ду до до Р[х, у, и, о) — + 1,1(л, у, и, о) — = (1, (х, у, и, о). дх ' ' ' ду Характеристиками такой системы называются венторные линии векторного поля в четырехмерном пространстве Р = Р(х, у, и, о) 1+11(х, у, и, о) )+ й, (х, у, и, о) й, + й, (х, у, и, о) йм где 1, ), йь Нт —.единичные векторы, направленные соответстненно по осям координат Олт Оу, Ои и Оо, Характеристики определяются системой уравнений дх ду ди до О() Р (х, у, и,о) О (х, у,и, о) й,(х, у,и, о) й,(х, у, и, о) Система уравнений (Г) в векторной записи имев~ вид (Р.)ЧО = 0 и (Р [Чт) =О, ( ди ди 1 (до до где [Ч, и Нз †векто с координатами [ †, †, — 1, О) и ( †, †, О, — 1), ( дх ' ду ' ' ( (,дх' ду' направленные по нормалям к искомым трехмерным цилиндрическим поверхностям соответствешш и = и (х, у) и о = о(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
