Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Сравнивая условия теоремы Малкина с условиями теоремы Ляпу- нова об асимптотической устойчивости (см. замечание на стр. 218), увидим, что они почти совпадают; допслннтельным в теореме Малкина является лишь требование ограниченности производных — (з = 1, 2, ..., а), так что асимптотическая устойчивость и устой- дв дх, чивость по отношению к постоянно действующим возмущениям являются, хотя и не совпадающими, но весьма близкими свойствами. Пример 1 Устойчиво ли по отношению к постоянно действующим возмущениям тривиальное решение х = О. у = О системы уравнений дх — = а'у — хз дà — = — азх — у . 'гу „з дт где а н б — постоянные. функцией Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы Малкина, является е = Ьзхз+ а'уз, Следовательно, точка покоя х = О, у = О устойчива но отношению к постоянно действующим возмущениям.
При мер 2. Устойчива ли точка покоя хзмао (! =1, 2, ..., л) системы а — ! = з' а!)х)+з!(з(г, хз, хз, ..., хл) (! 1, 2, ..., л) (4.32) !1! лзм ! ! ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ (гл. 4 Задачи к глзве 4 1. Исследовать на усзойчивость точку покоя х=О, у =0 системы ах — = — 2 — зу+ ', Ж вЂ” = х+ у — у'. ау а'т 2. Исследовать на устойчивость точку системы пх — =х — у — л, аг покоя х=О, у=О. к=Π— = х — 5у — 3- пт П рз каких значениях а точка покоя х = О, у = О, х = 0 системы ах — у, — — = ау — х, — = пх — х устойчивау ат ' 4гт При каких значениях а система 4ГХ вЂ” =- у+ах — х'. а( пу — = — х — у' а) имеет устойчизу1о точку покоя х= О, у =ОУ 5. К какому пределу стремится решение дифференциального уравнения и — =(х'+И вЂ” 4)(х'+И вЂ” 9), х(1) .1 ат прп р-ьО, р ) О, 1~ 11 6.
К какому пределу стремится решение дифференциального уравнения р — =х — 1+5, х(2)=5 при р-ь0, р)0, т>24 а'х а( по отношению к постоянно действующим возмущениям, если все а0 — постоянные, а Л1 удовлетворяют условиям теоремы Ляпунова, стр. 221, т. е. / л Х154-к ) Йт~ < )Ч ~к ~Ч 'ХЛ~) , а > О, тт' — ПОСтаяииая, И ВСЕ КОРНИ КараКтЕрнетИЧЕ- 140 ского уравнения для системы первого приближения различны и отрицательны. На стр. 223 после замены переменных, приводившей линейные части уравнения (4.32) к каноническому виду, была указана функция Ляпунова и о= ~ ут, удовлетворяющав всем условиям теоремы Малкива. следо1=1 вательно, точка покоя ха=0 (1'=1, 2, ..., и) устойчива по отношению к постоянно действующим возмущениям, Тот же результат можно получить, предположив, что действительные части всех корней характеристического уравнения, среди которых могут бмть и кратные, отрицательны, ио только в атом случае подбор функции Ляпунова значигельно усложняется.
задачи к главе б 7. Исследовать на устойчивость точку покоя х О, у 0 системь уравнений лх — х+ел — соз у, б(1 лу — Зх — у — з)п у. бтг 8. Устойчиво ли по отношению к постоянно действующие возмущениям решение х = О, у = 0 системы уравнений — = — 2у — хб, с~х пт — = 5х — у'7 пб 9. Устойчиво ли решение х 0 уравнения х+5х+2х+20= 07 10. Устойчиво ли решение хмиО уравнения х+ 5х+ 6х+ х = 07 11.
Какого типа точку покои х = О, у = 0 имеет системз уравнений Ых Зт — =х+Зу, — = 5х — у) пт ' пт 12. Определить периодическое решение уравнения х +2х+ 2х =з(п! и исследовать его на устойчивость. 13. х+2х+ 5х+Зх= соя й Устойчиво ли периодическое решение етого уравнения. 14. Исследовать на устойчивость точку покоя х О, умяО системы -уб+хб у--тб+уб 15. Исстедовать на устойчивость рсшения системы уравнений х = Зу — 2х + л', у = 5х — 4у+2. 18. Исследовать на устойчивость тривиальное реш иие уравнения х+ 2х+ Зх+ 7 зй х О.
17. Исследовать иа устойчивость тривнальпое решение уравнения х+(а — 1) х+(4 — аб) х =. О, где а — параметр. 18. Устойчиво ли решение х О, у=О системы х Зу — хб у — 4х — Зуб чри постоянно действующих возмущениях. 240 ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ 19. Устойчиво ли тривиальное решение системы х(т) = Ах(т), где Х(т) — вектор в трехмерном пространстве, а А 0 ! 1 20. Исследовать на устойчивость решения уравнения х+ 4х+йх 21.
Исследовать на устойчивость решения уравнения х+9х = а)пй 22. х+х= соей Найти периодическое решение и исследовать его иа устойчивость. 23. Найти область устойчивости х+ ах+(1 — а)х =-О. 24. х+ х+ а'х+йпх = О. Найти область устойчивости. ГЛАВА 5 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА я 1. Основные понятия Как уже отмечалось во введении (стр. 10), дифференциальными уравнениями в частных ароизводных называются дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями более чем одной независимой переменной.
Очень многие физические явления описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Уравнение ( — ~ +~ — ) +~ — ) =а(х, у, г) описывает распространение световых лучей в неоднородной среде с показателем преломления а(х, у, е); уравнение ди деи — = аз— дг — дхе описывает изменение температуры стержня; уравнение д'и д'и ае ар дх' являетсв уравнением колебания струны; уравнению Лапласа деи деи деа — + — + —,=0 дх' ду' дее удовлетворяет потенциал поля в областях, не содержащих ззрядов, и т.
д. В этой главе мы кратко рассмотрим лишь методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, теория которых тесно связана с интегрированием некоторых систем обыкновенных уравнений. Уравнениям в частных производных более высокого поравка. интегрирующимся' совсем иными методами. посвящается отдельнаи книга серии. 16 Л, в. вльегольч 242 твлвнвння в частных п»онзводных па»ного по»ядкл [гл.а Рассмотрим несколько простейших примеров. Пример 1. ч~ у+ х. де(х, у) дх Интегрируя по х, получаем х» л (х, у) . у+ — + ф (у), 2 где ф (у) — произвольная функция у.
Пример 2. она(х, у) д 1 де) =О или — ~ — ~=0. дх оу дх(ду ~ дг Интегрируя по х, получаем — =ф(у), где ф(у) — произвольная функция у. ду Интегрируя теперь по у, получим = ~ ф (у) ау + ф~ (х) где ф, (х) — произвольнав функция х. Или.
обозначая ~ф(у) еу=ф (у), окончательно будем иметь е (х. у) = ф, (х) + фь (у), где ф,(у), в силу произвольности функции ф (у), гоже является произволь- ной дифференцнруемой функцией у. Приведенные примеры наводят на мысль, что общее решение дифференциального уравнения в частных проиаводных первого порядка зависит от одной проиавольной функции, общее решение уравнения второго порядка зависит от двух произвольных функций, а общее решение уравнения р-го порядка, вероятно, аависит от р произвольных функций. Эти предположения оказываются справедливыми, но нуждаются в уточнении. Для их уточнения сформулируем теорему С.
В. )(овалевской о существовании и единственности решения уравнения в частных производных. Теорема б.у (теорема Ковалевской). Суи(ествует единственное аналитическое в окрестности точки хю, хге, ..., хаз решение уравнения, разрешенного относительно одной из производных максимального порядка д»л / дл дгл д» ге де дге дх" ( дхг дхг дх, дхг дхг дхг дге д»е 1 дхгя дх») линейные и квлзилиссеииые гвлвнения 243 удовлетворяющее условиям дг п,ои х=хсо, Я=фг(хг, хз, ..., х„), д =фс(хг, хз, . ° .. х„), ° ° ° ~3 де сг ..., —,=-ср„с(х,, х, ..., х„), хс'=' й 2.
Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка Пикейным неоднородным уравнением или квазилинейнылс уравнением первого порядка е часпсных производных называется уравнение вида дг де Х,(х,, хг, ..., х„, г)дх -1- Х,(хн хг ° ° ., Хо г) + ° ° ° ~1 п дхс де ... + Х„(х„хг, ..., х„, г) д —— Е(х„хг, ..., х„. г).
(5.1) Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным относительно неизвестной функции г. Если правая часть тождественно равна нулю, а коэффициенты Хс не зависят от г, то уравнение (5.1) называется линейным однородным. Для большей наглядности геометрической интерпретации рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными: Р(х.
у г) д +Ю(х, у. ) д =)((х. у. ). дг де дх ду ФуНКцИИ Р, СЕ И ст будЕМ СЧнтатЬ НЕПрЕрЫВНЫМИ В раССМатрнзаЕМОй области изменения переменных и не обращающимися в нуль одновременно. (5.1 ) 1бв если функнии сро, суп ..., сре, являются аналитическими функИиями е окрестности начальной точки хго, хзо, ..., хлш а у' является аналитической функцией е окрестности начальных значений своих аргументов хю, хго, ..., хоо со= = сро (хго хзо ° ° ° хоо) (=")='- "" ( — ":~=( — "-") Решение определяется заданием начальных функшсй фте сун ... произвольно меняя которые в классе аналитических функций, мы получим совокупность аналитических решений исходно~о уравнения (А), зависящую от р произвольных функций. Доказательство этой теоремы, требующее применения теории аналитических функций, мы опускаем. рассмотрим непрерывное векторное поле Р=Р(л-, у, )[+(е(х, у, «))+)с(х, у, «))с, где ), ), )г — единичные векторы, направленные по осям координат.
Векторные линии этого поля (т, е. линии, касательная к которым в каждой точке имеет направление, совпалающее с направлением вектора Г в той же точке) определяются из условия коллинеарности вектора ! = )Т[х +)[[у + [[ д«, направленного по касательной к искомым линиям, и вектора поля р: Р(х, у г) [)(х, у. г! [т(х, у, е) Поверхности, составленные из векторных линий, точнее, поверхности, целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векл[орными иоверхноси[ими (рис. 5.!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
