Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 34
Текст из файла (страница 34)
При этом возможны следующие случаи: 1) Если Гг, ч. О и язв, О, то точка покоя х=О, у =0 асимптотически устойчива, так как иэ-за наличия множителей е ' и в ' ьи ьн Рис. 4,2. Рис, 4.1. в (4.8) все точки, находящиеся в начальный момент с=се в любой б-окрестности начала координат, при достаточно большом 1 переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой е-окрестности начала координат, а при с — 1 со стремятся к началу координат. На рис. 4.1 изображено расположение траекторий около точки покоя рассматриваемого типа, называемой устойчивылг узлом, причем стрелками указано направление движения по траекториям при возрастании с, 2) Пусть (г,) О. яг) О. Этот случай переходит в предыдущий при замене 1 на — г.
Следовательно, траектории имеют такой же вид, как и в предыдущем случае, но только точка по.траекториям движется в противоположном направлении (рис. 4.2). Очевидно, ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ (гл. 4 что с возрастанием ? точки, сколь угодно близкие к началу координат, удаляются из е-окрестностн начала координат — точка покоя неустойчива в смысле Ляпунова. Точка покоя рассматриваемого типа называется неустойчивым узлом. 3) Если ?з, ) О, ?зя ( О, то точка покоя тоже неустойчива, так как движущаяся по траектории вк ви х = с,а,е ', у = с,а,е ' (4.9) точка при сколь угодно малых значениях с, с возрастанием ? выходит нз е-окрестности начала координат.
Заметим, что в рассматриваемом случае существуют движения, приближающиеся к началу координат, а именно: х = сзб,ев ', У = сзб,ел*9 При различных значениях са получаем различные движения по одной и той же прямой у= — 'х. При возрастании ? точки иа этой пря- рь мой движутся по направлению к началу координат (рис. 4.3). Заметим также, что точки траектории (4.9) движутся с возрастанием ? по прямой а, (? У = — х. улаляясь от на- чала координат. Если же е с, Ф 0 и с Ф О, то как при ? — ь со, так и прн ? — ь — со Рнс.
43. траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис. 4.3) потому, что расположение траекторий в окрестности такой точки напоминает расположение линий уровня в окрестности седлообразной точки некоторой поверхности е =. ?'(х, у). б) Корни характеристическозо уравнения комялексны: Ягл = Р + и? 9 чь О. Общее решение рассматриваемой системы можно представить в виде (см.
стр. !96) х = ее (с, соз с?? + ся з(п г??), =. Р: -.+". ').) где с, и ся — произвольные постоянные. а с*, и с" — некоторые линейные комбинапии этих постоянных. ПРОСТЕИШИЕ ТИПЪ1 ТОЧЕК ПОКОЯ % 21 При этом возможны следую1пие случаи: 1) йь2 Р— гг~ РСО' '1+0' Множитель ел', )2 С О, стремится к нулю с возрастанием 1, а второй — периодический множитель в уравнениях (4.10) остается ограниченным.
Если бы р = О, то траекториями были бы, в силу периодичности вторых множителей в правой части уравнений (4.!0), замкнутые Рис. 4.4. Рис. 4.5. кривые, окружающие точку покоя к=О, у=О (рис. 4.4). Наличие стремяшегося к нулю с возрастанием Г множителя ел', р ( О, превращает замкнутые кривые в спирали, аснмптотнчески приближающиеся прн à — ь эо к началу координат (рис. 4.5), причем при лостаточно большом г точки, находившиеся при г = ге в любой Ь-окрестности начала координат, попадают в заданную е-окрестность точки покоя к=О, у=О, а при дальнейшем возрастании 1 стремятся к точке покоя. Следовательно, точка покоя асимптотически 0 устойчива — она называется устойгивым фоггусолг.
Фокус отличается от узла тем, что касательная к траекториям не стремится к определенному пределу при приближении точни касания к точке покоя. 2) й, 2 — — р + 110 р ) О, гг Ф О. Рис, 4.6. Этот случай переходит в предыдущий при замене 1 на — г. Следовательно. траектории не отличаются от траенторий предыдущего случая, но движение по ним происходит при возрастании 1 в противоположном направлении (рис.
4.6). Из-за наличия возрастающего множителя влг точки, находившиеся в начальный момент сколь угодно близко к началу координат, с возрастанием Г удаляются из е-окрестности начала координат — точка покоя неустойчива. Она носит название неустойчивого фокуса. 14 л. Э. Эльтгольц тиогия кстопчивости 1гл. 4 З) Дь,=+ )1, а+О. Как уже отмечалось выше, в силу периодичности решений, траекториями являются замкнутые нривые, содержащие внутри себя точку попов (рис.
4.4), называемую в этом случзе центролг. Центр является устойчивой точкой покоя, так как для заданного е) О можно подобрать б О такое, что замкнутые траентории, начальные точки которых лежат в б-окрестности начала координат, не выходят за Рнс. 4.8. Рис. 4Л пределы е-окрестности начала координат нли, что то же самое, можно подобрать столь малые с, и с,, что решения х = е, соз ф+ с, з!и ф, у =с,созф+ с з(п~ф будут удовлетворять неравенству хе(Ф) + ут(С) < е'. Заметим, однако, что асимптотической устойчивости в рассматриваемом случае нет, так как х(1) и у(т) в (4.11) не стремятся к нулю прн г — «со. в) Корни нратны А, = йя. 1) й,=й,со. Общее решение имеет внд х (1) = (с»а, + с»Р11) е» ', У(г) =(с,а»+ с»Р Г)е"', причем не исключена возможность того, что (),=8»=О, но тогда а, и сь» будут произвольными постоянными. Из-за наличия быстро стремящегося к нулю множителя е" ' при 1-«со произведение (с,а,+сап»ф)е»н (1=1, 2) стремится к нулю при 1 — «оо, причем при достаточно большом 1 все точки любой Ь-окрестности начала ноординат попадаю~ в заданную е-окрестность 21! ПРОСТЕЙП1ИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ начала координат и, следовательно, точка покоя асимптотнчески устойчива.
На рис. 4.7 изображена точка покоя рассматриваемого вида, так же как и в случае а) 1), называемая устойчивым узлом. Этот узел занимает промежуточное положение между узлом а) 1) и фокусом б) 1), так как при сколь уголно малом изменении действительных коэффициентов ап, аж, аан а,г он может превратиться как в устойчивый фокус, так и в устойчивый узел типа а) 1), потому что прн сколь угодно малом изменении коэффициентов кратный корень может перейти как в пару комплексных сопряженных корней, так и в пару действительных различных корней.
Если ))1=(1г= О, то тоже получаем устойчивый узел (так называемый дииритичесссий узел), изображенный на рнс. 4.8. 2) Если йс=иг ) О, то замена с на — г приводит к предыдущему случаю. Следовательно, траектории не отличаются от трвессторий предыдущего случая, изображенных на рис. 4,7 и 4.8, но двпмсение по ним происходит в противоположном направлении.
Б этом случае точка покоя называется, так же как и в случае а) 2), неустойчивым узлом. Тем самым исчерпаны все возможности, так как случай а!=0 (или йг= 0) исключен условием "(~о. Замечание 1. Если ап аж =О, аг, атг то характеристическое уравчение имеет нулевой корень и!=0. Предположим, что 11=0, но й, + О. Тогда общее решение системы (4.6) имеет вид х = с,а, + сгйсев*г, у = с,аг+ сг()гев '. Исключая т, получим семейство параллельны х прямых рс (у — сгиг)= =()г(х — сгаг). При сг=О получаем однопараметрическое семейство точек покоя, расположенных на прямой а,у =агх.
Если йг< О, то при г -э со на каждой траектории точки приближаются к лежащей на этой траектории точке покоя х= есаг, у =с,аг (рис, 4.9). Точка покоя х = — О, у = — О устойчива, но асимптотической устойчивости нет. !4ч ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ 212 !Гл. 4 Если же )зз ) О, то траектории расположены так же, но движение точек нз траекториях происходит в противоположном направлении — точка покоя х = — О.
у = О неустойчива. Если же ~, = л, = О, то возможны два случая: 1. Общее решение системы (4.6) имеет вид х=с,, у= се — все точки являются точками покоя, все решения устойчивы. 2. Общее решение имеет вид х = с1-+ с С, у = с + сзЕ где с", и с,*,— линейные комбинации произвольных постоянных с, и с . Точка покоя х = О, у: — О неу устойчива. 3 а м е ч а н н е 2.
Классификация точек покоя тесно связана с классификацией особых точек (см. Стр. 57 — 59). Действительно, в рассматриваемом случае система дх — = ацх+ аиу, (4. 6) ду — = йиХ + аязу где ФО Рис. 4.9. путем исключения С могла бы быть сведена к уравнению ау аих+ аязу (4.1 2) ах а„х+ а„у — а,)х) (1=1, 2, .... а).' аХ4 Чьз аг аа4 / 4 (4.1 3) интегральные кривые которого совпадают с траектор.лямн дан>кения системы (4.6). При этом точка покоя х=О.
у=О системы (4.6) является особой точкой уравнения (4.!2). Заметим, что если оба корня характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть [случаи а) !); б) 1); в) !)), то точка покоя аснмптотически устойчива. Если же хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть (случаи а) 2); а) 3); б) 2); в) 2)], то точка покоя неустойчива. Аналогичные утверждения справедливы н для систел4ы п линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами ПРОСТЕПГНИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ 213 Если действительные части всех корней характеристического уравнения системы (4.13) отрицательны, то тривиальное решение х,=О (1= 1, 2, ..., и) асимптотически устойчиво. Действительно, частные решения, соответствующие некоторому корню уг, харзктеристичесйого уравнения, имеют вид (стр.
!93 и 196) х! = а!е е (! = 1, 2, ..., п), если л, лействительпы, х, = е'Р (Р! сов !?,Г + у! Е)п !?,(), если Ф, = р, + !?,1, и, нзконец, в случзе кратных корней решения такого же вида, но е!це умноженные на некоторые мпогочлены Ру((). Очевидно, что все решения такого вида, если действительные части корней отрицательны (р, ( О, или если л, действительно, то Тг, ( О), стремятся к нулю при ! †>ОО не медленнее, чем се "', где с — по- стоянный множитель, а — ш ( О и больше наибольшей действитель- ной насти корней характеристического уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
