Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Из теорем 2.5 и 2.6 следует, что линейно независимые на отрезке а (х (Ь решения ун у,, ..., у, уравнения (2.20) линейно независимы также на любом отрезке а, (х <Ьн расположенном на отрезке и (х (Ь. Замечание 2. В теореме 2.6 в отличие от теоремы 2.5 предполагалось, что функции ун у...,, у, являются Решениямц линейного олнородного уравнения (2.20) с непрерывными коэффициентами. Отказаться от этого требования и считать функции у,. у,, ..., У„произвольными п — 1 раз непрерывно дифференцируемыми функциями кельзя. Легко привести примеры линейно независимых функций, не явля|ощихся, х конечно, решениями уравнения (2.20) с не- сг~ г е прерывными коэффициентами, для которых определитель Вронского не только обра- Рнс.
2.! щается в нуль в отдельных точках, но лаже тождественно равен нулю. Пусть, например. на отрезке 0 (х (2 определены две функции у,(х) и уг(х): УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО и линейно независимых на том жв отрезке частных решений у, (1=1, 2, ..., и) с произвольными постоннными коэффициентами. Доказательство. Уравнение (2.20) при а(х (Ь удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Поэтому и решение у = ~ с;у! при а (х (Ь будет общим, т. е, будет содержать все без исключения частные решения, если окажется возможным подобрать произвольные постоянные с,.
так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия у( )=у у'(")=у' " у'и "(")=уГ " где х — любая точка отрезка а (х (Ь. л Потребовав, чтобы решение у = ~! с!у! удовлетворяло поставлен!=! ным начальным условиям, получим систему и линейных относи!члено с, (! = 1, 2, ..., и) уравнений ~з с;у,(х,) = у„, ! —.- ! и Х с!)!;(Уь) = Уз 2~ с!У!д-"(хл) = Уои-'! г=! с и неизвестнь!ми си с отличным от пуля определителем системы, так как этим опРеделителем ЯвлЯетсЯ опРеделитель ВРонского (Р'(ха) для п линейно независимых решений уравнения (2.20), Следовательно, эта система разрешима относительно с, при любом выборе ха на отрезке а (х (Ь и при любых правых частях.
Следствие теоремы 2.7. Максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку. Замечание. Любые п линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения и-го порядка называются его фундаментальной системой решений. У каждого линейного однородного уравнения (2.20) существует фундаментальная система решений Для построения фундаментальной системы решений произвольно вададим пг чисел у!,.ы(х,) (1=1, 2, ..., и; й=о, 1, .... и — 1). ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРПННИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !О! подчинив их выбор лишь условию У! (хь) У'2 (хе) ° ° У» (ха) У! (хо) У2 (хе) У» (хо) у» !1(х ) у(» и(с ) у!» !(с ) где ха — любая то п<а отрезка а < х -~ Ь.
Тогда решения у, (х). определяемь1е начальными зиачекнячн у12!(хз)(й = О. 1, ..., и — 1: 1=1, 2, ..., и), образуют фундаментальную систему, так как их определитель Вронского Ж'(х) в точке х = хз отличен от нуля и. следовательно, на основании теорем 2.5 и 2.6 решения уп уз, ..., у„ линейно кезависимы. П р н и е р 4. Уравнение у" — у = О имеет очевидные линейно независимые часзные решения у, = е» н у, = е » (см. стр.
96, пример 2), следовательно, общее решение имеет знд у = с,е» + с,е ". Пример 5. Решение у = с е»+ с, сй х+сьзйх уравнения усл — у' =О не является общим решением, так как реп!ения е», сй х, зах линейно зависимы. Линейно независимыми решениями являются 1, си х, зй х, и следовательно, у = с, + с, сй х+ с, зб х, где с,, с, н сь — произвольные постоянные. будет общим решением рассма- триваемого уравнения Зная одно нетривиальное частное решение у, линейного однородного уравнения У'"'+ р,(х!у'"-и+ ...
+ р„(х) у =О, (2.20) льохсно подстановкой у=у, ) ссдх понизить порядок уравнения, сохранив его ллнейность и однородность. !(ействительно, подстановку у =у, ( ийх можно заменить двумя подстановкзми: у = у,г и г' = и. Линейное однородное преобразование (2.23) У = У1з сохраняет линейность и однородность уравнения (см. стр. 94), следовательно, уравнение (2.20) преобразуется при этом к виду аа(х)з!"'+а,(х)г1" и+ ...
+а„(х)г=О, (2.24) причем решению у = у, уравнения (2.20) в силу (2.23) соответствует решение г 1 уравнения (2.24) Подставляя г=1 в УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 1Гл. Я 102 уравнение (2.24), получим а„(х) =— О. Следовательно, уравнение (2.24) имеет вид ар(х) «ью+ а, (х) «гл '+ ... + а„, (х) «' = О, и подстановка «'=и понижает порялок на единицу: а,(х) и' +. а, (х) и' + ... + а„, (х) и = О. Заметим, что та же подстановка у = у, / и г(х, где у, — решение уравнения ь(у) =О, снижает на единицу и порядок линейного неоднородного уравнения ь(у) = у (х), так как эта полстановка не затрагивает правой части уравнения.
Зная (з линейно независимых на отрезке а ( х ( Р решений уп ую ..., Уа линейного олнородного уравнения, можно пои~вить его порядок до л — )г на том же отрезке а ( х (Ь. Лейстиительио, понизив подстановкой У = Уь ~ и с(х на единицУ порядок уравнения Ь[у) =О, (2.20) получаем опять линейное однородное уравнение а,(х)игл '+а,(х)игл ~+ ...
+ а„,(х)и=О (2.25) порядка л — 1. причем нам известны л — 1 его линейно независимых решений которые получим, подставляя в у= у„) иг(х или и =1 — ) поУл следовательно у =уп у=у,...., у =у„г 13аметим, что уже использованному нами лля понижения порядка решению у = у„уравнения (2.20) соответствует тривиальное решение и = 0 уравнения (2.25).) Решения и,, им .. иа , линейно независимы, так как если бы между ними сушествовалз линейная зависимость на отрезке а ( х ( б: а,и,-+азия+ ... +Ое,и г=м 0 или а,( — ') +ая~ — ') + ...
+ае, ( л ') = — О, (2.26) где хотя бы ошю а; Ф О, то, умножая на ~(х и интегрируя тождество (2,26) в пределах от хр до х. где а ( х ~ Ь. а хр — точка ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ отрезка (а, Л), будем иметь '11 — )+аг + ° . +аь-1 у, (х) уо (х) уа, (х) — [а,— +аз — + ...
+аь, 1— = О, у (хо) у (хо) уа о(хо)! уь(х,) у*(х,) ' ' ' ' уь(х,) или, умножая на у„(х) и обозначая — [а, — +но Уо (хо) У, (х,) Уь о (хо) ! + ... +оьо !=аь, УЬ (Хо) уа (Хо) 1 уо (ХО) получим, вопреки исходному предположению, линейную зависимость между решениями ун у,, ..., у„: оу+ у+...+ау где хотя бы одно а; + О. Итак, использовав одно частное решение у, мы понизялй порядок уравнения на елиницу, сохранив его линейность и одноролность, причем нам известно Л вЂ” ! линейно независимых решений преобразованного уравнения. Следовательно, тем же методом можно снизить порядок еше на одну единицу; использовав еще одно решение и прололжая зтот процасс й раз, получим линейное уравнение н — й порядка.
Пример 6. ху' — ху' + у = О. (2.27) откупа йи х — 2 е" 1 ! /' е' йх, и=с,—, У=х 1 ийх=х[с, ! — йх+со]. и х ' ' х' ' .l ( ',/ х' Лемма. Два уравнения вида у'"'+ р, (х) у1"-и+ ... + р„(х) у = О. ум+о), (х) у'"-и+ ... +ро(х)у =О, (2.28) (2.29) где функции р,(х) и о)1(х) (1'= 1, 2, ..., Л) непрерывны на отрезке а х (Л, илеющие общую фундаментальную систему решений у,, ут, ..., у„, совладают, то есть р,(х)= — до(х) (1=1.
2, ..., н) на отрезке а (х (Л. Доказательство. Вычитая из (2.28) почленно (2.29), получаем новое уравнение: 1р (х) — р1(х)! Уьо н+ (рт(х) — ра(х)1 уго "+ + (Ро(х) — Чо(х)! у =О, (2.3О) Уравнение имеет очевидное частное решение у, х. Понижая порядок полстановкой У=х ~ ийх, у'=хи+ ~ ийх, у" хи'л-2и, приведем уравнение (2.27) к виду х'и'+ (2 — х) хи = О, УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО (ГЛ. 2 решениями которого являются функции у,. уа, ....
у„, удовлетворяющие одновременно уравнениям (2.28) и (2.29). Допустим, что хотя бы один из коэффициентов уравнения (2.30) (р((х) — ()!(х)! котя бы в одной точке хе отрезка а ( х (б отличен от нуля. Тогла в силу непрерывности функций р,(х) и ()((х) этот коэффициент отличен от нуля в некоторой окрестности точки хе, Н СЛЕДОВатЕЛЬНО, В ЭтОй ОКРЕСтНОСтн ФУНКЦИИ УР У2, ..., Ул ЯВЛЯЮТСЯ линейно независимыми решениями линейного олнородного уравнения (2.30) порядка не выше чем н — 1, что противоречит следствию теоремы 2.7. Значит, все коэффициенты уравнения (2.30) р, (х) — ()! (х) = — 0 (1 = 1, 2...., п), т.
е. р,(х)=()!(х) (1= 1, 2, ..., В) на отрезке а (х ((2, Итан„фУНДаМЕНтаЛЬНаЯ СИСтЕМа РЕШЕНИЙ УР У,, .... Уп ВПОЛНЕ определяет линейное однородное уравнение У(л!+ )2, (х) У(л — 1! 1 1 р (х) У вЂ” 0 (2. 28) и следовательно, можно поставить задачу о накожлеиии уравнения (2.28), имеющего заданную фундаментальную систему решений У( У2 ° Ул. У! У2 ''' Уп У У! У2 ° ° ° У„ У У( У2 У„ У У(л-Н У(л-1) У(л-1! У(п-1! у(п! у(л,' у(л! угп столбца, или, разлагая по элементам нослелнего (! У! У2 ! У» Ул У( У2 (У (У Уа ° °" У )У'"'— у'л " + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
