А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 52
Текст из файла (страница 52)
»14 ВАРНАЦНОнныа метОДы в ТОПОЛОГнчвсхнх ЗАДАЧ»х ~гл. 3 Пусть 6 — компактная группа Ли, действующая ортогонально на Р без изменения ориентации (т. е. 6с:80(п)), и пусть А«-» с: Я" — компактное ориентированное замкнутое 6-инвариантное подмногообразне в 1«" (тогда А"-' с= Я" '). Рассмотрим А«-» с= с= 8"-' как «контур» — границу в многомерной задаче Плато. Фиксируем класс поверхностей Х ен В(А) =еТ(Н»»(А)), т. е. закленвающих границу А в смысле обычных гомологнй; гомоморфнзм Н„,(А)-«.Н„,(Х) тривиален.
Тогда всегда сущестзует глобально минимальная поверхность Х"-' ев Ю (А) такая, что ее объем наименьший. Естественно ожидать, что наличие какого- либо типа снмметрнн у границы А (напрнмер, 6-ннвариантность границы) повлечет за собой соответствующую симметрию минимальной поверхности, закленвающей эту границу.
Это предполо* жение оправдывается для случая многообразий А, вложенных в сферу. Т е о р е м а 24.2. 1 (см, 1981). Пусть 6 — замкнутая подгруппа в группе 80(п), и пусть многообразие А" » вложено в сферу 5"-» с: Р" и 6-инвариантно. Тогда существует глобально минимальная поверхность Х"-' с границей А"-» (граннца здесь понимается в смысле теории потоков), инвариантная относительно группы 6. Если вта 6-инвариантная поверхность единспменна, то тогда решение задачи Плато единственно и в классе всех поверхностней Х"-» я «Т(А) (уже не обязательно 6- инва риантных). Таким образом, в том случае, когда граница А допускает нетривиальную группу симметрий, для нахождения абсолютно минимальной поверхности, закленвающей А, иногда бывает достаточно найти минимальную поверхность в классе 6-ннвариантных пленок; если получившееся 6-инвариантное решение единственно, это влечет за собой единственность н в классе всех поверхностей, т.
е. наша 6-инварнанткая поверхность реализует н абсолютный минимум (уже в классе всех несимметричных пленок). Различные уточнення этой теоремы на языке потоков см. в 1981. Требование, чтобы группа 6 содержалась в группе БО(п), существенно. Отказ от него невозможен, как показывает простой пример. Возьмем в качестве границы А двумерный тор Т', вложенный в трехмерную сферу 5» следующим образом: Т' = = ((г, в) евС», (г~=,'в,~). В качестве группы 6 возьмем группу Е»~ О(4), образующая которой реализована ортогональным отображением (г, ш)-» (ш, х). Тогда, как можно подсчитать, миннмальные поверхности, заклеивающие тор Т' в четырехмерном пр~хтранстве Р«„ не инвариантны относительно действия группы 6, хотя тор ннварнантен (см.
1981, 117]). Итак, в случае 6-инвариантной границы А (где 6«=БО(п)) для нахождения глобально мннимальной поверхности достаточно найти 6-ннварнантную мнннмальную поверхность; если эта поверхность единственна, то она автоматнческн реализует абсолют- тРи ГеометРические задачи ный минимум во всем классе ЕР(А). Воспользуемся этим обстоятельством в задаче о конусах. Предположим, что многообразие А"-'с 8"-' является главной орбитой действия группы б, тогда л(А)с Р'/б является некоторой точкой д (мы считаем, что А связно).
Тем самым, задача о нахождении минимальной пленки, натянутой на А"-' н выдерживающей действие группы б, эквивалентна нахождению кратчайшей геодезической, идущей нз точки а на границу двумерного многообразия Р"'/6, рассматриваемого с метрикой о'(а) й'. Выделяются две задачи: (А) дать список всех возможных ортогональных действий связных компактных групп Лн б на х" с главными орбитами коразмерностн два (й = 1); (Б) з рамках этого списка описать все интересующие нас геодезические у, идущие нз точки а на границу дР"/б. Оказывается, что метрика Ж на факторе Я"'/б всегда евклидова и, следовательно, д/! с~э(а)(дх'+г(у'), где (х, у) -декартовы координаты на Я"'"/б с= сР(х, у). Используем простую механическую аналогию. Поскольку о (а) л (х, у) — гладкая функция, равная нулю на границе дк'/6, то геодезические метрики й11 — это в точности траектории световых лучей, распространяющихся в соответствнн с прннцнпом Ферма в двумерной сплошной прозрачной среде, заполняющей конус Я"'/б, с показателем преломления л (х, у) с/о (х, у), где с — скорость света, а о (х, у) — скорость распространения луча в точке (х, у).
Прозрачная среда предполагается нзотропной в каждой точке, но неоднородной на конусе. Принцип Ферма утверждает, что световой луч, распространяющийся нз точки А в точку В, выбирает путь с нанменьшнм временем прохождения от А до В прн фиксированной, энергии. Сделаем одно общее замечание. Если 0=((х, у) ~Р; у~0), л(х, у)вил(у), л(уг)»л(у,) прн у1)уэ н л(0)=0, то световые лучи, выпущенные нз фиксированной точки оее0 по направлению к границе д0, распро. страняются так, как показано на рнс. 55. Приведем полный список компактных групп Лн 6, ортогонально действующих на пространстве 1»' с коразмерностью два.
Мы укажем также н стационарные подгруппы Н, соответствующие главным орбитам этого действия, т. е. орбитам 6/Н: 1) (80 (Г) х 80(з))/(80 (à — !) х 80 (з — 1)); 2) (80 (2) х х80(й))/(Еэх80(й — 2)); 3) (8() (2)х8(3 (й))/(Т'хЯ3 (й-2)); 4) (8р(2) х8р(й))/(8р !!) х8р (й-2)); б) (/(8)/(8()(2) х80(2) хт ); 6) 80(З)/Х$; 7) 80(З)/Т', 8) 8р 13)/8р*(1); 9) 8р(2)/Т', 10) бэ/Т', 11) у,/8р!п(8); 12) (8р!п(10) х[3 (1))/(8%3(4) хТ').
Способ вложения Н-»б на языке теории представлений описан в 1971, 198]. В приведенном списке пространства 1) н 2) разнятся представлением Н-»б, 214 влгнхционныв мвтоды в топологичаскнх злдлчак 1гл.з Вернемся к конусам. Положим л = 2т н в Р'" рассмотрим -ь с.,=(24= я,~~, т.,а с.,пл-- я--,в.- (с-~ с- +~ н дС, т=5"-'х5 -'. Легко показать, что А"-'=5 -'х5м-т вложено в сферу 5а-т как локально минимальное подмногообразие, а потому конус С~ , локально минимален, т. е. аннулирует оператор Эйлера для функционала объема.
Кам мы уже знаем, при т< 4 конус С~„ ~ не мини- У мален, так как в его вершине Ч существует сокращающая дефор. мация (уменьшающая объем). Однако прн т ) 4 положение резко меняется. Пусть А' -' = 5"-' х 5"-т— стандартное минимальное подмногообразие в сфере 5' -' (см. вы- О и ше), и пусть т= 4. Тогда лкбая «(х,у) «Гу) малая вариация конуса Сз = СА' ' увеличивает его объем, т.
е. Сз , минимален по отношению к любой малой вариации н, значит, является локальным минимумом (см, 1201). Тем самым, конусы С з при т) 4 являются явными кандидатами на то, чтобы опровергать теорему о внутренней регулярности минимальных поверхностей коразмерностн один при и ) 8. Остается пока открытым вопрос об их глобальной минимальности при фиксированной границе 5"-' х5 '. Эта задача полностью решается на основе зквнвариантной задачи Плато, Рассмотрим в качестве примера какую-либо одну серию (6, Н), например, положим г= з в серии 1) (см. список выше).
Изучим соответствующие минимальные поверхности Т, с границей дТ, = = 5"-'х5 -'с5з -'с=И"'. Здесь мы считаем, что Р'~ Р"'(х) 3+ ®Р" (у), где х=(х', ..., х"), у 4у', ..., у"), и А'"'-'=(~х~ = ~уЦ, группа ЗО(т) действует на Р'(х) и группа 50(т) на Я (у). Ясно, что Р /6 есть первый квадрант на плоскости Р(х)0, у.= О). Мы будем обозначать координаты на плоскости Рс= ~~ также через х и у. Конформная метрика д11 имеет вид д!1 = (ху)' -4 (дх'+ йу').
Многообразие А'"-' изображается на К=У"у6 точкой д с координатами (1, 1). Абсолютно минимальная поверхность Т, с границей А'"-' изображается в К минимальной геодезической, идущей из точки д на границу области К. Элементарно доказывается, что А'"-'~ 5' -' является локально минимальным подмногообразием (эта орбита — критическая точка функции объема орбит), Отсюда следует, что биссектриса х=у является геодезической, соединяющей точку д с 0 (зто следует и нз симметрии метрики й~ относительно переменных х 217 тРи ГеометРические 3АдАчи 4 М! и р), поэтому конус СА'"-' для любого «4 является локально экстремальным н аннулнрует оператор Эйлера, Однако вопрос о нахождении минимальной геодезической н, следовательно, абсолютно минимальной поверхности Т, требует специального исследовання, достаточно нетривиального.
Прямое вычисление показывает (проверьте!), что если минимальная геодезическая у„, идущая нз точки 4) на границу дК, выходит на границу дК',(О), то она встречается с соответствующей координатной осью под прямым углом, н, следовательно, соответствующая минимальная поверхность Т, = п,'(уи) является аналитическим подмногообразнем без углов я особенностей, Имеющим границу Аи и Рис.
57. Рис. 56. Будем считать размерность л4 непрерывным параметром, 1 = (п4(со. Прн т'=1 имеем 4!!1=4(х'+4(у' и световые лучи, входящие нз точки-источника 47, Изображены на рнс. 56. В этом случае Од — не минимальная геодезическая: таковымн являются лннннЯд н О'4). Пусть 4п= е+ 1, е) О, тогда мы покажем, чтоточки () н ((' начинают двигаться по направлению к вершине О н распределение световых лучей, выходящих нз точки-источника, качественно выглядит так, как изображено на рнс. 57.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
