А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 50
Текст из файла (страница 50)
иО, фэ жО, Ч"„иО при э=2т, поэтому ~зт)'Ч: и, (У (и)) -~- и„, (Я3 (2т)) ЯвлЯетсЯ нУлевым гомомоРфнзмом при з~2т. Это легко вытекает нз явного вида изоморфизма периодичности, полученного нами выше. Множество Ф, уже не является множеством точек абсолютного минимума для функционала Днрихле, н кроме В', возникает много других критических точек н подмногообраанй для ТРи геометРичвскиз ЗАДАчи Ф»я функционала Дирихле на П». Аналогичная ситуация наблюдается и на пространстве П«-(Я«-а-80(16г)). Было бы интересно выяя« нить до конца эту геометрическую картину, которая в значительной степени прояснила бы поведение функционала Днрихле на пространствах П» и П,.
.Из доказанных нами двух основных теорем этого параграфа следует, что механизм возникнования как унитарной, так и ортогональной периодичности один и тот же, а окончательный результат зависит только от того, пространство отображений каких дисков мы рассматриваем: двумерных или восьмимерных. Было бы интересно получить прямое доказательство этих тео-' рем, не использующее информации, связанной с одномерными функционалами длины и действия. Такое прямое доказательство немедленно следовало бы из факта стягиваемости (2ап)-мерного остова пространства П, (соответственнно (г — 2)-мерного остова пространства П,) иа подпространство ((О (па)) (соответственно 1(0(г))), являющееся множеством точек абсолютного минимума функционала Дирихле.
Именно соответствующая теорема стягиваемостн для одномерного функционала действия (см. 111) позволила осуществить переход в периодичности Ботта. Аналогичное утверждение для многомерных функционалов отсутствует, в этом и заключается основная трудность, препятствующая прямому доказательству теорем 23.3.1 и 23.4.1. й 24. Три геометрические задачи вариационного исчисления 24.1. Минимальные конусы и особые точки минималь ых поверхностей. Рассмотрим окружность 8' и прямое прои еденив двух нульмерных'сфер 5«хЯ«с=.Я' (рис. 49).
На рис. 4 а изображена одномерная минимальная поверхность (два от- а) ф ф резка), граница которой сов- У падает с 8«хЯ«, С другой стороны, одномерный «конус» (два диаметра, изображенныв на рис. 49, б), очевидно, не является минимальной одномерной поверхностью, так как в вершине «конус໠— в начале координат — существует вариация, уменьшающая длину кривой. Как видно, четырехкратная точка распадается на две трехкратные точки (рис. 49, в). Рассмотрим теперь двумерную сферу Я» и в ней контур— прямое произведение 5»хЯ'. На рис. 50, а изображена двумерная минимальная поверхность (катеноид — поверхность вращения, образованная «цепной линией»), граница которой совпадает с 8«х8'.
С другой стороны, как и в одномерном случае, ясно, 205 ВА»илционные метОды В тОПОлогичгских злдАчАх 1гл. ь ОЗ й а) Е) Рис. 50. Рис. 51. Рис. 52. Рассмотрим трехмерную сферу 5' и в ней «контур» — двумерное подмиогообразне 5' х 5' = Т' (тор), стандартно вложенное с евклидовой индуцированной римановой метрикой. Можно подсчитать (этот подсчет мы здесь опустим), что трехмерная минимальная пленка (условно изображенная на рис.
51) имеет еще более узкую горловину, чем горлсвина двумерного катеноида. Другими словами, вскрывается интересный эффект; с ростом размерности граничного контура минимальная пленка провисает все больше и больше (рис. 52). Точную формулировку этого явления и соответствующие формулы и вычисления мы дадим ниже. Интуитивно ясно, что с ростом размерности в этом монотонном процессе наступит момент, когда минимальная пленка с границей 5» х 5« (граница вложена в сферу 5»'«") провиснет настолько, что «схлопнется» и презратится в конус с вершиной в точке О (начало координат). Эта вершина, очевидно, будет особой точкой этой минимальной поверхности. При обратном процессе (понижении размерности) происходит «разрешение особенности» и 'особая поверхность — конус — превращается в неособую поверхность— «катеноид», на котором появляется исчезающий цикл. Таким образом, можно ожидать, что в достаточно больших размерностях существуют глобально минимальные поверхности— конусы, имеющие в начале координат существенно особую точку (окрестность которой не гомеоморфна диску).
Вопрос: в каких размерностях в евклидовом пространстве существуют минимальные конусы? Оказывается, от решения этой задачи зависят некоторые другие важные геометрические и аналитические вопросы в теории что конус (рис. 50, б) не минимален с точки зрения функционала двумерной площади — в вершине конуса существует вариация, «(вменьшающая площадь конуса (вариацию можно понимать, например, в терминах гомологических вариаций).
Сравнивая двумерную минимальную поверхность — катеноид (см. рис. 50, а) с одномерной — двумя отрезками (см. рис. 49, а), мы видим„что двумерная пленка провисает и образует г чловину (перетяжку), диаметр которой меньше диаметра граничных окружностей.
В одномерном же случае «горловина» имела тот жв «диаметр», что и граничные нульмерные сферы. % 2п теи геомвтеичяскив злдьчи Ряс. Я дифференциальных уравнений, в геометрии групп н алгебр Ли. Простые примеры, приведенные выше, показывают, что в малых размерностях можно ожидать отсутствия минимальных конусов (отличных от стандартного диска, который, конечно, является минимальным конусом). Это предположение оправдывается, Приведем здесь известную «теорему о конусах» (см. 1201). Те о р е м а 24,1.1.
77 усть А"-' — замкнутое локально минимальное подмногообразие в стандаргпной сфере 3"-', стандартно вложенной в евклидова пространство Р'. Пусть многообразие А"-« не является сгпандартной вполне геодезической сферой (зкватором) о«-» ~ 5«-'. Тогда, если п(7, то конус СА (т. е. (и — 1)-мерная поверхность, образованная всеми радиусами, идущими из точки О в точки многообразия А"-') не ял. яется глобально минимальной поверхностью; другими словами, не является наименьшей экстремалью функционала (и — 1)-мерного объема, рассматриваемого на классе поверхностей Х с фиксированной границей — подмногообразием А"-', и. е.
Х еню(Н„«(А)). Кратко изложим схему доказательства (подробностн см. в [20]), Достаточно построить вариацию конуса, которая равнялась бы нулю на границе конуса (т. е. на подмногообразни А"-'с: Я«-«) н уменьшала бы объем конуса СА. Для этого следует изучить формулу второй вариации функционала чо1« „что н выполнено в 120). Легко проверить, что если А"-' — локально минимальное подмногообразне в сфере о"-', то СА ';Π— также локально минимальное подмногообразие в 1«" относительно вариаций с малым носителем; поэтому для обнаружения варнацни, уменьшающей объем конуса, нужно рассматривать возмущения:::!,::;*::::;:::„, ьв«» конуса, обладающие достаточно боль- "",.'~':!::,:..:..::„'Ф:;.'!.';~::); ' «-г шим носителем; при этом они могут, вообще говоря, сдвигать вершину ко- « нуса (например, производить описанное выше «разрешение особенности»).
Под «вариацией конуса» мы можем понимать здесь вариации, введенные нами вз6, т. е. конус н возмущенная поверхность должны быть, например, гомологичны (в смысле обычных гомологнй). В 120( вариации конуса понимаются в смысле «потоков». Пусть х~ А, (е=(0, 11; тогда на конусе СА можно ввести координаты (х, 1), где (х, О) есть вершина О конуса СА (прн любом х~ А), а все точки вида (х, 1) принадлежат границе А конуса, А с: о"-'. Обозначим через СА, подмногообразне СА ' (0«(О, е) ()СА) с(«", где 0" (О, е) — шар радиуса е с центром в точке О (рнс. 53).
Если мы фиксируем единичное нормальное к подмногообразию СА векторное поле )«'(х, 1), то любая гладкая вариация У (х, 1) подмногообразня СА, (с фиксирован- з!О влиилционныв мвтоды в топологичвских задних (гл. з ными краями А» н А,) однозначно определяется гладкой функцией Р(х, () такой, что Р(х, !) Р(х, е)=0 для всех ханА, т.
е. У(х, !) Р(х, !) У(х, Г), Задача сводится к изучению свойств функции Р(х, !). Мы приведем здесь только окончательный результат, Рассуждения, необходимые для его доказательства, носят чнсто аналитический характер (см. [201). Пусть А'-'с= 8 ' есть замкнутое локально минимальное подмногообразне в сфере 5 », не являющееся вполне геодезической сферой (экватором) 5"-».
Тогда мы можем выбрать функцию Р(х, 1) таким образом, что 7(У, г') (здесь через 7(У, У) обозначена вторая варнацня функционала объема) будет строго меньше нуля в том и только в том случае, когда выполнено неравенство — (а-2)+(": — ) +( — "~) «О. Теорема 24.1.1 немедленно следует нв этого вспомогательного (и 1« утверждения, поскольку чнсло — б+ 4+! — ) можно сделать ~!ок «) отрицательным, выбрав достаточно малое е.
Таким образом, прн п~7 среди всех поверхностей с границей А ' конус СА не является мнннмальным. Как видно нз схемы доказательства н оценки для 7(У, У), прн п 8 доказательство не проходит. И действительно, оказывается, в восьмн* мерном евклндовом пространстве уже существуют конусы, являющиеся, как мы покажем ниже, не только локально, но н глобально минимальнымн поверхностями. Пример такого конуса: рассмотрим прямое пронзведенне двух сфер 5" — ~ х 5«' — !! это многообразие может быть естественным образом вложено в сферу о' как локально минимальное подмногообразне А (доказательство см. в [201, а также в следующем пункте). Явная фор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
