А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 51
Текст из файла (страница 51)
мула вложения: Тогда каждая варнацня этого конуса СА, сохраняющая его границу А, первоначально увелнчнвает объем конуса, т. е. СА— мнннмальная поверхность с особой точкой в начале координат. Сформулированная выше «теорема о конусах» дает возможность доказывать внутреннюю регулярность глобально минимальных поверхностей коразмерностн один в евклндовом пространстве.
Приведем один такой результат. Хотя эти результаты были получены в терминах потоков, варнфолдов н цепей, мы будем по- прежнему пользоваться языком глобально минимальных поверхностей, разработанным выше, так как в данном случае этн два языка эквнвалентны. тэи гномвтгичвские зкдлчи П р е д л о ж е н и е 24.1.1 (см. [20]). Фиксируем (и — 2)-мерное компактное ориентированное подмногообразие А в евклидовом пространстве Р', где п~7. Через Ю(А) гд(Н„«(А)) обозначим класс поверхностей, эаклеивающих многообразие А в смысле теории потоков.
Тогда существует глобально минимальная поверх. ность Х, ~ О(А), имеющая наименьший (и-1)-мерный объем и такая, что во всех своих внутренних точках она является веимственно-аналитическим минимальным подмногообравием в йи, Краткая схема доказательства.
Сначала доказывается (в терминах теории потоков, см. 117]) существование глобально минимальной поверхности Хь с заданной границей А; эта поверхность оказывается почти всюду (в смысле объема чо1„,) гладким подмногообразием в 1?" (имеется в виду носитель минимального потока). Затем доказывается, что в каждой особой точке этой поверхности (не лежащей на границе А) корректно определено множество касательных конусов, которые должны быть минимальны по отношению к своей границе (если эта граница фиксирована), По индукции доказывается, что каждый из этих конусов можно рассматривать как конус над регулярным минимальным подмногообразием А«-э в стандартной сфере 9'-'. Затем применяется теорема 24.1.1, согласно которой такой конус может быть только стандартным диском, высекающим иа сфере 8'-' вполне геодезическую сферу Ю"-».
На последнем шаге доказывается, что если касательный конус в особой точке является диском, то тогда поверхность в этой точке регулярна. Другие следствия нз «теоремы о конусах» см., например, в 196]. Отметим, что в перечисленных выше результатах самопересеченне минимального погруженного подмногообразия не рассматривается, конечно, как особая точка поверхности, так как в этом случае касательный конус превращается в набор стандартных дисков, каждый из которых отвечает своему листу поверхности, проходящему через точку самопересечения.
24.2. Эквивариантная задача Плато. Рассмотрим римаиово многообразие М", на котором гладко действует его группа наометрий 1(М) (напомним, что группа изометрий является группой Ли). Мы будем рассматривать подгруппы 0 в группе изометрий 7«(М), где через l«(М) обозначена связная компонента единицы в группе 7(М). Пусть !'» с=.
М" — некоторая поверхность, инварнантная относительно действия группы О.' Такие поверхности будем называть 0-инвариантными. Возникает естественный вопрос: можно ли среди этих поверхностей (реализующих, кроме того, например, нетривиальный (ко)цикл) найти глобально минимальную поверхность? Другими словами, можно ли гарантировать существование минимальной поверхности, обладающей заданной группой симметрий (если ее граница инвариантна относительной этой группы)? 212 вльилционныв мвтоды в топологнчвских злдлчлх !гл, в Предложение 24.2.1 (см. [971).
0-инвариантное многообразие Р с: М является локально минимальным (по отношению ко всем малым вариациям и) тогда и только тогда, когда оно является локально минимальным по отношению к малым зквивариантным вариациям йо (т. е. инвариантным относительно действия группы). Это важное наблюдение позволяет редуцировать задачу о нахождении минимальных подмногообразий в М к задаче о нахождении минимальных поверхностей на пространстве орбит М/О. Напомним, что если х ~ М н 0(х) — орбита точки х при действии группы О, то 0(х)=6~0„где 6„— стационарная подгруппа точки х в группе О. Две орбиты 6(х) н 6(у) называются орбитами одного типа, еслл подгруппы О„и 6, сопряжены друг другу в 6, т. е.
О„=дОьд ' для некоторого у~О. Классы сопряженности подгрупп (6„) называются орбит-типами. Говорят, что класс (6„) следует за классом (6„) (будем писать: (6„)~(6„)), если существует (6„) такой, что ΄— ьдО„д-1. Хорошо известно, что если М связно, то существует единственный класс (Н) такой, что (Н))(6 ) для любого хек М, Далее, обмдинение всех орбит этого класса является открытым плотным подмногообразием М' = [х я М ) О„я (Н) ) .
1) Класс (Н) называется главным орбит-типом. 2) Если (Н')Ф(Н), но д)гпН'=б)шН, то класс (Н') называется особым орбит-типом. 3) Если (Н")~(Н) и д(шН"-~д)ш Н, то класс (Н") называется сингулярным орбит-типом. Довольно просто доказывается, что если Ц (Н ) — произвольйео ный набор классов (Н„), каждый из которых не является главным орбит-типом, и если множество К=(хенМ)6„~(Н„) при некотором ыен)9) является многообразием, то К вЂ” локально минимальное подмногообразие.
Отсюда следует, что сингулярное множество в М является локально минимальной поверхностью, стратнфицированной локально минимальными поверхностямн меньших размерностей. В частности, если некоторая орбита 6(х„) такова, что в окрестности точки х, больше нет ни одной орбиты этого же типа, то орбита 6(х,) автоматически является локально минимальным подмногообразием. Пусть и: М- М/6 — каноническая проекция на пространство орбит М/6; тогда а М(6 содержится открытое плотное подмножество М*!6, являющееся подмногообразием, Если ~р (Х, г')— скалярное произведение на Т„(М), то можно построить новое скалярное произведение (риманову метрику) на М*)6. Для этого фиксируем распределение Я нормальных плоскостей к орбитам 6(х), и пусть Х', У'~Т„оо[М"~6).
Тогда существуют единственные векторы Х, г' — прообразы векторов Х', )", принадлежащие Я, и можно положить ~р'(Х', У')-<р(Х, )'). Тем самым, З(З тги гзомктгичвскив з»д»чи 3 241 расстояние между точками из М'/б равно длине ортогональной траектории, соединяющей соответствующие орбиты. Далее, мы определим на М/б функцию объема о(а), положив объем п-»(а), если и-'(а) — главная орбита, т объем и-'(а), если и-»(а) — особая орбита, где т— о(а)= число точек в однородном пространстве Н'(Н и Н' со- ответствует точке х ~ а-в (а), ( О, если и-'(а) — сингулярная орбита..
Пусть Уе с: М вЂ” 6-инвариантное подмногообразие; положим й= р — т= д!гп У вЂ” т, где т — размерность главной орбиты. Тогда при проекции ги У -~М(6 подмногообразие У ()М" проектируется в й-мерное подмногообразие в М*(б. и '(л> Если дэ — метрика на М* и Иэ — метрика на М(6, то построим новую рима- нову метрику на факторе М/6, положив с(!»= ам' Ь, Поскольку о(а)-+ О, когда м точка а стремится к образу сингулярной орбиты, то можно считать, что метрика д(» задана на всем простран- м в к(У) стае М(6 (рис. 54).
(в( )»гз(а1 (вэ)» Заметим (см. [971), что объем 6-ин- » вариантного подмногообразня У с: М Рис. В4. в точности равен объему многообразия У*16 (где У' = У ()М'), вычисленному на пространстве М'16 в метрике й». Отсюда следует Предложение 24,2,2 (см. [971). Пусть У»с: М вЂ” некоторое б-инвариантное подмногообразие. Подмногообраэие У локально минимально в М тогда и только тогда, когда подмногооброэие У»16 с: М»16 локально минимально в факторе М(б относительно метрики Ж», где й=р — т. Замечание.
Пусть й=О, тогда У~М совпадает с какойто орбитой 6(х). Следовательно, все локально минимальные орбиты 6(х) в многообразии М находятся так: нужно рассмотреть на многообразии М*16 гладкую функцию объема о(а) и вычислить все ее критические точки. Эти точки и являются зкстремальнымн (локально минимальнымн) орбитами. Отсюда вытекает важное П р е д л о ж е н и е 24.2. 3 (см. [971).
Каждое компактное однородное пространство 6(Н можно погрузить в некоторую стандартную сферу 5» ' кок локально минимальное подмногооброэие. 3 а м е ч а н и е. Если для У с: М имеем й = 1, то подмногосбразие У локально минимально тогда и только тогда, когда траектория п(У') <=:М'16 является геодезической в конформной метрике с(1» о(а)дз. Ниже мы специально изучим этот случай.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
