А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Сначала дадим качественное объяснение этой картины (аналитическое доказательство будет дано ниже). В самом деле, рассмотрим лнннн уровня л(х, у) сопз1; тогда, поскольку коэффнцнент преломлення убывает прн приближении к границе дК, световой пучок деформируется в соответствии с прннцнпом Ферма (рис. 55) н дает картину, Изображенную качественно на рнс. 57.
Минимальные геодезические О4) н 9'4) прогибаются по направлению к точке О. Световой луч, отличный от 94) н Я'д, не может выйти на границу области, нбо прн взаимодействии его с линиями уровня коэффнцнента преломления п(х, у), очевидно, всегда наступает момент перегиба луча, меняется знак второй З1З ВАРиАционные метОды ь топологнческих 3АдАчАх ~гл. В производной, вследствие чего луч меняет направление н начинает двигаться обратно внутрь области к биссектрисе координатного угла, встречаясь с ней в сопряженной с д точке (точные вычисления см.
ниже). При ш)0 возникает четырехугольник О(1'Щ внутри которого поведение световых лучей — геодезических — отличается от поведения лучей вне четырехугольника. Легко усматривается, что с ростом ш точки (1 и ~' перемещаются к вершине конуса О н четырехугольник ОД'дЯ начинает сжиматься, схлопываться на биссектрису Од. Прямые выЧ числения показывают что это событие — окончательное сплющивание четырехугольника — происходит при т шс .2,5+)/ 2м3,9 (рис. 58), и прн т)тс качественная картина распределения 0 световых лучей, исходящих из точки д, остается неизменной.
Рис. 68. Следовательно, при ш~4 су- ществует единственная геодезическая, соединяющая точку д с границей дК, это отрезок Од, следовательно, она минимальна, а поэтому при ш)4 конусы С, 1=С(Я"-'х5' ')=и-'(Од) являются О-инвариантными минимальными поверхностями. В силу единственности геодезической Од, т. е. единственности О-инвариантного решения, где О =80(т)х30(т), из теоремы 24.2.1 вытекает, что конус С1„~ (т~4) является глобально минимальной поверхностью (а в терминологии [171 — минимальным целочисленным потоком) с границей 5"-'х5"-', имеющей одну сингулярную точку Π— вершину конуса. Геодезическая Яд изображает минимальную пленку и-'фд) с границей 5"-'хЗ"-', при т= 1 зта пленка состоит из двух отрезков, с ростом ш пленка начинает прогибаться (провисать по направлению к началу координат) и ее горловина (см.
катеноид) начинает постепенно приближаться к точке О, и, наконец, при ш ы 3,9 происходит схлопывание горловины в точку (исчезающий цикл аннулируется) и при т~4 возникают минимальные конусы С,„м Тем самым полностью решается вопрос о глобальной минимальности конусов С~ Мы подробно рассмотрели случай г з, однако при г ~ з качественная картина поведения пучка геодезических существенно не изменяется, только теперь точка д лежит на прямой, задаваемой уравнением 1па г/з. Перейдем к задаче полной классификации минимальных конусов коразмерности один в евклидовом пространстве, являющихся О-иивариантнымн, где группа 6 действует в Р с коразмерностью «м1 ТРи Гномет»ичаскик зАДАчи дэа.
Ббльшая часть этой задачи решена в [97], [98]. Однако доказанная в этих работах теорема не дает полной классификации конусов, поскольку оставались неизученными некоторые важные частные случаи, среди которых, как оказалось, имеются глобально минимальные, ранее неизвестные конусы. Полное решение этой задачи и окончательная теорема классификации будут получены на основе описанной выше и предложенной нами схемы, т. е. на основе изучения сопряженных точек и качественного поведения пучка геодезических, выпущенных из точки, являющейся критической для функции объема орбит (см. выше), см. также [32]. На основе этой иден мы полностью решим вопрос о глобальной минимальности конусов, возникающих из классификационного списка, полученного в [97]. При этом для каждого конуса либо будет доказана его глобальная минимальность, либо будет построена вариация, уменьшающая объем конуса.
При этом оказывается, что качественная картина распределения пучка геодезических и связанный с ней механизм перестройки минимальных поверхностей с ростом размерности (см. также [32]) являются универсальными и «обслуживают» все остальные минимальные конусы коразмерности один из списка [97]. Соответствующие вычисления и полный анализ уравнения Якоби проведены студентом А.
В. Тыриным. Предложение 24.2.4 (см. [97], [98]). Пусть Ос=.$0(л)— связная компактная подгруппа, главныв орбиты действия которой на Р имеют коразмерность два. Тогда группа О являетея одной из групп, перечисленных в таблице 2 (см. с, 220). Главные орбиты, определяемые главным орбит-типом (см. выше), являются орбитами «общего положения» максимальной размерности. Факторпространство Р/О во всех случаях действия группы с соразмерностью два является конусом на двумерной плоскости, т. е.
имеет вид С(а) ](х, у) яви: 0~18(~) ~а, х~0~. Пусть ги Р-» Р'/ОжС(а) — стандартная проекция на пространство орбит (см. выше). Введем функцию объема орбит (см. [97], [98]) ш Я»/ОжС(а)-~Р с помощью следующей формулы: о(д)=уо1„»п '(д), где д ~Р'/О. Обозначим через й/»= =о(х, у)(йх»+йу») конформную метрику на конусе С(«») Я"/О (см. выше). Очевидно, что на границе конуса С(а) эта метрика вырождается, поскольку из границы двумерного конуса «вырастают» орбиты меньшей размерности (по сравнению с орбитамн общего положения). Если у — кривая на конусе С(а), то длина у в метрике й/ задает объем орбиты, т.
е. чо1„»п-»(у)=!(7), Если кривая 7 является геодезической, то ее прообраз и-'(7) является локально минимальной поверхностью в Я". Напомним, что если многообразие М"-' реализуется как некоторая главная орбита в Р', то проекция и устанавливает биективное соответ- 22О вхрилЦИонНЫа матоДы В тоноЛОГиЧасхих злллилх (Гл, Ь Таблиаа 2 а а алов ° 50(а — 1) х х 50( — 1) 50(а) Х 50(в) кав-а уаа а а+5 Ев х 50((а — 2) 2 50(2) Х 50((а) 2(а (ку)в» в (ка — ув)а (ку)аа-в (ка уа)в 4 3 5Ц2) Х Я/((а) 44 4 5р(2) х 5р(Ф) ! 3Ф (ку)ва - аа (к уа)в а (5р(1))в Х 5р((а — 2) я 4 50 (2) х 50 (2) х Т' (ку)а1гп ((к +(у)в)в 20 У (3) 50 (3) 3 1па ((к+ау а)а 50 (3) Тв 1па ((к+ 1у)в)в 3 5р (3) (5р (1))' )ш ((к к(у)в)а ! па ((к+ (у)в)а 5р (2) 1О ствие между б-инвариантными поверхностями с границей Ма-а и геодезическими метрики а((, идушими из точки а)=п(Мв-а) на границу конуса С(св) (см.
[981). Единственность такой геодезической (при фиксированной начальной точке в области С(п)) влечет за собой единственность решения задачи на абсолютный минимум в классе всех пленок, уже не обязательно инвариантных при действии группы, т. е. данное инвариантное решение является и глобально минимальным. % и! ТРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ На глобальную минимальность достаточно проверять только локально минимальные конусы. Нетрудно видеть, что в нашем случае такими конусами будут в точности конусы над орбитами ~!аксимального объема в сфере 5"-'.
Эти орбиты определяют точ- ки максимума для функции объема иа пространстве орбит, При проекции и конус над орбитой переходит в отрезок на факторе С(а), идущий из точки д=-п(М"-') в вершину О фактора С(44). Пояснения к таблице 2. (См. [97), [93).) Через д(шя Гр обозначена размерность линейного представления !р; О- 50(п) с: ОА(п); через а обозначен угол раствора двумер. ного фактора С(а)= х'ГО.
Далее, о' — квадрат функции объема о; Н вЂ” главная стационарная подгруппа данного действия, т. е. под- группа, отвечающая главному орбит-типу. Таким образом, много- образие М"-' диффеоморфно однородному пространству О)Н. Более детальная информация о представлении ~р приведена в [97), [98). Т ео р ем а 24.2.2 (теорема классификации минимальных кону. сов коразмерности два).
Единственными глобально минимальными поверхностями с границей М, где М вЂ” орбиты, представленные в таблице 2, являются конусы над следующими многообразиями О/Н=М: а) 5'-'х5*-'= ' ' ' в !х +' для г+в--8; 50 (г) х 50 (4) 50 (г — ! ) Х 50 (4 — Ц 5 !У (2) х 50 (») в) тч 50(» 2) в К для Й~4; 52 (2)х52 (") ьь Г) (5 (!)), 5 (» 2) в К для 4~2! О (5) 50 (2) х 50 (2) х Т' е) Ьр(3)/(Ьр(1))ь в Рь! ж) Е,/Зр!п(8) в Р', 5рю (!О) х О (!) 5!) (4)хТ' Для всех остальных многообразий О)Н, указанных в таблице 2, соответствующие конусы над ними не являются минимальными, т.
е. существует вариация, уменьшающая их объем, Перечислен- ные выше глобально минимальные конусы являются О-инвариант- ными относительно соответствующих групп, указанных в таблице 2. Замечание. По сравнению с [98) новыми здесь являются результаты о глобальной минимальности конусов над многообра- зиями 5' х 5' и 5' х 5' в )~ь, 5' х 5' в Р, (50 (2) х 50 (8))/(Еь х 50 (6)) в Р' (30(2) х50(9))1(Е»х50(7)) в Р' (Я)(2) хЯ)(4))7(Т'хЯ)(2)) в [ч™, а также результаты о неминимальности конусов для групп из серии 2 в таблице 2 при 4.а:»=-7, из серии 3 при »=2, 3 и для случаев 8, 7, 9, !О в таблице 2.
Тем самым, теорема 24.2.2 зхй влоихциоиныа мктоды в топологических злдлчьх 1гл. в дополняет результаты [981 и дает полную классификацию инва. риантиых конусов коразмерности два. Перейдем к до к а з а тел ьств у теоремы 24.2.2. Пусть Π— одна из групп классификационного списка (см. таблицу 2).
Рассмотрим локально минимальный конус СМ над орбитой максимального объема М"-' в сфере В'-!. Как было показано выше, ему соответствует геодезическая Од иа факторе С(а), а точнее, тот ее отрезок, который выходит на границу фактора. Выясним, когда отрезок Од является геодезической наименьшей длины, идущей из точки д на границу фактора С (и). Для этого опишем качественную картину поведения пучка всех геодезических, исходящих из точки д. Найдем все точки, сопряженные с точкой д вдоль отрезка геодезической Оп.
Л е м м а 24 2.1. Пусть в плоскости Р="кь (х, у) задана область (У с конформной метрикой йв' Х(х, у)(йхч+йу'), дуб, у(1) — ееодеэическая, у(0) д. Точки, сопряженные с точкой д вдоль геодезической у, отвечают в точности тем значениям параметра 1, при которых функция !в(1), определенная как решение уравнения !в — Кы=0, !в(0)=0, (1) обращается в куль (здесь К вЂ” скалярная кривизна). В конформных координапи!х выполнено тозсдество ' Р9пь ! 1 (2) еде К',,!ь — компонента тензора Римана. Доказательство. Функция !в(1) задает длину вектора якобиева поля вдоль геодезической. В нашей ситуации тензор кривизны полностью определяется одной своей компонентой Я,!,. Если У (У'„ У'), йг (Ч7ь, Ф"), О (У!, У') — векторные поля вдоль геодезической у, то (Т', Т') Т )т(У, И) Иг — векторное поле вдоль у, задаваемое формулами Т =Ц,м(Уиь — Уи!)УР!, Т = В,.„( — УЧ + У (Р) УРь.
(3) Если поле У=(У', У') параллельно вдоль геодезической у, то поле О (У', — У') также параллельно вдоль у. Так как у — геодезическая, то У=У!=у(() параллельно вдоль у. Положим У= (У', У'), О=(У', — У'). Тогда уравнение Якоби примет вид — ",' — г(У, ~)У-0, (4) Существуют функции а(1) и !ь(1) такие, что Х!* а(т)Уе+!в(1))а!!.
Подставляя в (4), получаем фУ+фи — П(У, и)У-0. (8) 22З три геометрическиэ эхдхчи Из (3) легко следует, что Т= — ру, где р=-"-'!х. Теперь(5) рас- ~'$1 падается в систему уравнений =О, —,+рм=О. ~Ра Фе (8) 2к ( Ь' + д ' ) + 23~' 1! дх ) + ~ д ) ) ' В нашем случае Х о'. Заметим, что во всех случаях функция о' является однородным многочленом степени 2п — 4 (см. таблицу 2). Пусть у=э(х) — функция, определяющая геодезическую на плоскости в декартовых координатах. Тогда на траектории у координата х зависит от параметра (, а функции Я,'и и 1=о' зависят от х.
Из (7) видно, что на траектории у выполнено равенство С Ц.м — — — „,, где с' — некоторый числовой коэффициент; поэтому — К +' ° ()х-'"-'"', где р — некоторый числовой коэффициент. Изучим зависимость координаты х от параметра г на траектории у. Имеем 1 /У!' Х(х'+у')=х"х'Х(1, 6)(1+6'). Отсюда, / 6.+эУ если обозначить размерность 2п — 4 через р, получим !х э ) $ я+э р+2 / ! ! !6 — ° р+ э ° т((! 6)) . Итак, х ' А!+В, где А 2 ~ГНУ Х(Т, э) / (8) а В определяется иэ условия у(0) д. Поэтому — К (,! д>,. С (А!-(-В)~ ' Таким образом, уравнение (1) принимает вид С й+-ру+В> м О (9) где А и С определяются из (8). 'Уравнение (9) сводится к урав- 0 нению й — „в очевидной подстановкой и А!+В Для 0 полу— С чаем 0= — „,—. Выпишем в явном виде решения атого последнего Напомним, что точки у(О) и у(гэ) сопряжены вдоль траектории тогда и только тогда, когда существует якобиево поле У такое, что У(0)=0, У(1,) 0 и УНИО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
