А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В этом частном случае он доказал, что ТРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАЛАЧИ если Е=1(х, у) есть график гладкой функции, заданной на всей плоскости Р, и если гауссова кривизна К этого графика неположительна и существует точка, в которой кривизна К строго отрицательна, то тогда ецр ~ 1, '= + со. Отсюда легко следует оп ю кя~ решение описанной выше задачи. Действительно, если г 1(х, у)— локально минимальная поверхность, то можно рассмотреть функцию и *агс19~~„-); функция 1 является решением уравнения (1+1'):с /д1 ~ х~„е — 2~,,Ц,Р+ (1+ Я) ~„„=0 (напомним, что такой вид приобретает уравнение минимальной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве).
Простое вычисление показывает, что график функции и(х, у) имеет неположительную гауссову кривизну К. Если функция и не является постоянной, то существует точка, в которой К ~ О, но тогда зпр'и~ + оо, что невозможно ввиду ограниченности функции и. Следовательно, функция и постоянна, но тогда ~„- сопз1. Точно так же доказывается, что †„ сопз1, а1 д1 откуда и следует, что 1=ах+Ьу+с, т. е. функция 1 линейна.
Конечно, это рассуждение не действует в размерностях, больших чем три, поэтому для решения вопроса о существовании нелинейных локально минимальных графиков потребовалось развитие нового, достаточно серьезного аппарата; при этом оказалось, что ответ зависит от размерности и: при малых п любой локально минимальный график линеен, а при больших и существуют существенно нелинейные локально (и даже глобально) минимальные графики. Более точно, имеет место следующая теорема. Теорема 24.4.1 (см, 1481). Пусть х" = ~(х', ..., х"-') — гладкая 'функция, определенная всюду на гиперплоскости Я"-' в ~Р'. Пусть ее ерафик является локально минимальной поверхностью в Р, т.
е. его средняя кривизна равна кулю. Тогда при п(8 функция 1 линейно. Если же и ~ 9, то существуют нелинейные функции 1, графики которых являются локально (и глобально) минимальными поверхностями. Замечательным обстоятельством является то, что решение этой задачи тесно связано с задачей о существовании минимальных конусов (см.
предыдущие пункты), Мы поясним доказательство этой теоремы при и =- 8. Можно считать, что график Хе-э функции х" 1(х', ..., х"-') проходит через начало координат в Р. Оказывается, часть графика, заключенная внутри любой компактной границы, расположенной на этом графике, реализует абсолютный минимум объема чо(„,; другими словами, график Х"-' является глобально минимальной поверхностью в Я" относительно возмущений с компактным носителем в данном классе гомологий. Возьмем затем пересечение графика Хп-э с шаром радиуса г, имеющим свой центр в точке Π— в на9дле координат. Выполним затем преобра- ЗЗ« вл»и«иионные методы в топологических злдлч«х !гл.
» зование подобия с коэффициентом !1г, что даст нам поверхность Х," ', заключенную в шаре радиуса единица и имеющую границу на сфере радиуса единица. причем эта граница является локально минимальным подмногообразием в сфере (рис. 6?). При изменении г поверхность Х, в шаре 0" (О, !) будет, вообще говооя, изменяться. Рассмотрим «предел» этих минимальных поверхностей при г-~со. Оказывается, этот предел существует и является конусом СА над некоторым (а — 2)-мерным множеством л "Ф,г) А в сфере радиуса 1.
Поскольку исход- ный график был глобально минимален, л Г то, оказывается, этот конус также бу- дет глобально минимален по отноше» нию к своей границе. Но в силу теол»М ремы 24.1.1 (и в силу ограничения сверху на размерность, а именно и ~ 7) этот конус должен быть диском. Отсюда уже довольно легко следует, что график являлся гиперплоскостью, что и завершает доказательство при л 7.
В размерности 8 требуется некоторое дополнительное рассуждение, которое мы опускаем и отсылаем читателя, например, к !20!. Существование нелинейных минимальных графиков в размерностях, больших чем 8, доказано в !46!. Это доказательство носит более аналитический характер, и мы не будем здесь на нем останавливаться. 24.6. Гармонические отображения сфер в нетривиальных гомотопических классах. В настоящем пункте мы рассмотрим гармонические отображения римановых многообразий и в некоторых случаях решим задачу нахождения гармонического отображения в заданном гомотопическом классе отображений.
Поскольку гармонические отображения являются экстремалями многомерного функционала Дирихле, то предварительно мы опишем основные свойства этого функционала и его экстремалей. Через М и й! мы будем обозначать гладкие римановы много. образия, причем многообразие М будет предполагаться компактным и ориентируемым.
!!ас будут интересовать свойства отображений ?: М -»-й! с точки зрения функционала Дирихле. Через ТМ и ТЫ мы обозначим касательные расслоения над многообразиями М и й! соответственно, через С (г) — пространство гладких сечений некоторого векторного гладкого расслоения $ над многообразием М. Далее, через С (М, й!) обозначим пространство гладких отображений ); М -».й!. Тогда для каждого отображения ! ~ С (М, й!) определено риманово векторное расслоение над многообразием М, индуцироввнное из расслоения ТМ при помощи отображения !.
Это означает, что слоем этого индуцированного расслоения над точкой х ен М является линейное простран- Ю тэи гяомвтэичвскив задачи ам! ство Тп, Ь(', при этом риманова структура переносится из касательного расслоения Тй(. Через Нога (ТМ, )'Т(ч) мы обозначим векторное расслоение иад М линейных гомоморфизмов расслоений ТМ и ~' Т(ч'. Другими словами, слоем этого расслоения над точкой хан М явля.
ется пространство непрерывных линейных отображений пространства Т„М в пространство Т(,,„, (!(. Опишем риманову структуру в расслоении Нога(ТМ, Г( Т!ч'). Если а,Ь ен С (Нога(ТМ, (' Т(!(')), т. е. а, Ь вЂ” гладкие сечения, то в локальных системах координат на многообразиях М и й(' эти сечения могут быть записаны в ( матричном виде а(, Ь(. Если теперь до, до — метрические тензоры на многообразиях М и (ч' (записанные в этих же системах координат) соответственно, то риманову структуру мы введем по формуле (а,Ь) уи д„э а( Ьз(.
(1) Таким образом, здесь участвуют оба метрических тензора рассматриваемых римановых многообразий. Поскольку для каждого гладкого отображения г ен С (М, (((') определен его дифференциал ((г, то очевидно, что ЩепС (Ноги (ТМ, )'Т(!)). Это позволяет определить неотрицательную гладкую функцию 1(()1з=(ф, ф)„ используя введенную выше риманову структуру (1). Поскольку многообразие М компактно и ориентируемо, то мы можем проинтегрировать эту функцию по всему многообразию М. Полученное при этом число мы и принимаем„по определению, за значение функционала Дирихле на отображении ~: 0Щ= )1((Дзэ1, 0: С (М, )Ч)-(-Ц, Р+=(х)0). (2) Здесь через э! обозначена стандартная форма риманова объема на многообразии М.
Ыы записали эту форму в виде *1, используя оператор э, переводящий внешние формы степени й в формы степени т — к, где т = б!шМ. Тогда т-мерная форма риманова объема является образом скалярной функции 1 после применения к ней оператора э. Такая запись формы объема будет удобна для дальнейших вычислений. Хотя данное нами здесь построение функционала Дирихле (2) отличается от определения, данного в й 23 (мы здесь не возводим подынтегральиое выражение в степень), с точки зрения экстремалей эти два подхода эквивалентны.
Возведение подынтегрального выражения в степень (см. й 23) удобно для сравнения интеграла Дирихле с функционалом объема, что в настоящем пункте для нас несущественно. Определение 24,5.1. Гармоническими отобразсениями наэыеаютсл екстремали функционала Дирихле 01(1. Отметим, что эти экстремали совпадают с экстремалями функдиоиала Дирихле, определенного в $ 23.
Далее, из определения 236 влгилционныв мвтоды в топологических зАдАчлх [гл, ь 24.5.1 следует, что если У=И (вещественная прямая со стан- дартноИ евклидовой метрикой) и фен С (М, 1~ь)=С (М), то [ьйр1='Игам 7~ и мы получаем обычный функционал Дирихле, определенный на скалярных функциях: Р: С (М)-1 И», Р[ьр~(= (ь ~дгаб<р(ьд1. (3) Поскольку экстремалями функционала (3) являются гармонические функции на многообразии, т. е. элементы ядра оператора Лапласа б на С (М), то определение 24.5.1 дает естественное расширение понятия гармонических функций на случай гладких отображений в некоторое риманово многообразие, Ниже мы в явном виде найдем для функционала Дирихле (2) уравнения Эйлера — Лагранжа, укажем некоторые важные частные решения этих уравнений и рассмотрим затем проблему отыскания гармонических отображениИ в классах отображений евклидовых сфер.
Для более подробного знакомства с теорией гармонических отображений рекоемндуем, например, обзор [1011. Предположим теперь, что в касательных расслоениях ТМ и Тьу введены симметричные и согласованные с римановой метрикой связности. Определим риманову связность 7 в расслоении [дТ)7, индуцированном при отображении ): М-~-У. Если о ев ев С '([дТИ) и Е„..., Е,— локальные базисные гладкие векторные поля в ТЬ), то локально можно записать следующее разложение: о =о'Е,, где о' я С (У), т. е. о' — функции, определенные локально на У ~М.
Пусть а ен Т„М, тогда положим 7 о = (ао') Е, + оь0,ц опЕ„ где через ао' обозначено действие векторного поля а (как дифференциального оператора) на функцию о'; здесь 7 — связность в Т)7. То, что равенство (4) действительно определяет риманову связность в расслоении ~дТ(7, следует из приведенных нами ниже свойств этой операции.
Доказательство этих свойств во многом аналогично доказательству свойств аналогичных связностей, введенных нами в Й 2. Читатель может выполнить проверку самостоятельно или обратиться к [1021. Итак, пусть а, Ь ен С (ТМ), ьр, ф ев С (М), о, ьо ен С ([дТМ); тогда 7, ь — — ьр7,о+$7ьо, 7,(о+ьо) =7„о+ 7,а, 7д(ьро)=(а7)о+фодо, а(о, ы)=(7до, и)+(о, 7ьп!) Последнее равенство означает, что введенная нами связность рима- нова (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
