А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Для второго слагаемого имеем Нгп „+' — ",— — О. Из предложения 24.5.2 следует, что а~у,з!па+ о~х',"'+' в~о + 0 (~ х!»«+') и з!иск 0(~ х ~"«). Следовательно, с точностью до 0()х)о«+в) мы можем записать следующее неравенство: а " -(и — 1) й+ Х, з!и асов а( ( — (и — !)Авз(па+1,гбпа=й)з!па" й«а, Таким образом, а — я,й=О(!х!"«+') и выбором )в, близкого к единице, можно добиться выполнения требуемого условия й — й,й=о(~х,'«к').
Лемма док«чана. Тем самым, доказательство теоремы полностью завершено. Глава б построинии гловдльно минимдльных повирхностнй В ВАРИАЦИОННЫХ КЛАССАХ А(А, ь, А'), А(Д, ь) В 2б. Когомологический случай. Вычисление кограницы пары (Х, А) = Ц (Х„А„) через кограницы пар (Х„А,) с Теперь мы дадим доказательство теоремы существования глобально минимальных поверхностей нетривиального топологического типа в римановых многообразиях.
Основная геометрическая идея настоящего параграфа состоит в следующем: мы будем склеивать поверхность Х с границей А из отдельных кусков Х с границами Аь и затем выясним связь между А и Ц А„. Сначала отметим, что если Х = А, то р' (Х, А) = ф при любом х ен А; а если Х:э А и Х стягиваемо, то р*(Х, А)=Аь(А)" О при любом хе А. Лемма 26.!. Пусть Х = !!' Х„где Х,Д Х,= ф при гчьв, г ! а через А ~/ В обозначается букет двух пунктированных пространств. Пусть, далее, А„— гпакие компакты, что А,с:.Х, при 1ч с ~А!, хан А, для каждого г. Положим А = ~/ А„и пусть с ! (Х„А,) -+ (Х, А) — вложения. Тогда гомоморфизмы йа(Х, А) — Аь(Х„А,) образуют проективное представление группы Аь(Х, А) в виде прямой суммы О+Аь(Х„А,), т.
е. для любой l последовательности элементов и, ЫР(Х„А,) существует единственный элемент и енБь(Х, А) пикой, что 1;и=и, при 1ч -.::г ~ А!. Доказательство. Если рассмотреть несвязное объединение Х'=ЦХ„(т. е. Х!ПХ,=ф при !чь)' в компакте Х'), то Г получим, что А'(Х') ЯАь(Х,). Хотя отображения /,: (Х„А,)» Г (Х Д А„А) не являются вырезаниями в смысле аксиомы Аб (=- Аб'), но они являются относительными гомеоморфизмами, а поскольку теория й* относительно инвариантна на категории Ус (см. лемму 4.6.2), то гомоморфизмы 1'," являются изоморфиз. эвз минимлльныа поваэхности в влэилннонных классах Е! !гл.ь мами, а тогда, повторяя схему рассуждений доказательства теоремы 1.13.2 (см.
1101) для случая категории пунктированных пространств, получаем утверждение леммы. Отметим, что если (в рамках условий леммы 25.1) предпо. ложить, что все компакты Х! стягиваемы, то и» (Х, А) = 1!» (А)' О. и Ф Лемма 25.2, Пусть Х = [ ) Х„А = [ [ А„где А„с Х„ г ! » ! Х,ПХ,=А,ПА, при г~э и хек А, при каждом г; пусть 1;! (Х„А„)- (Х, А) — вложекил.
Тогда гомоморфиэмы !,": йь(Х, А)-»- ~- Ь" (Х„А,) образуют лроективкое представление группы )!»(Х, А) (длл любого й) в виде прямой суммы Я)!»(Х„А,). » Это утверждение немедленно следует из относительной инвариантности теории й» на Ус, что позволяет перейти от пары (Х„А,) к паре (Х,(А„х), и из леммы 25.1. Сделаем еще одно простое замечание. Пусть 1: (Х, А)-»- -~(У, В) — непрерывное отображение, х е А, у=1(х), Ь с с= д'(Х, А) — произвольное подмножество. Рассмотрим новое подмножество Ц~ с~»-!(В)" О, положив, по определению, 1.1 = (1»)-т1.. Тогда мы утверждаем, что Ь! — — Чь(г', В), т. е.
Ь!() () Кег5в=ф. Доказательство следует из диаграммы )! — (А) '1 )!~- (Х) !!' Ьь-! (В) -„Ьь-! (У) В самом деле, если допустить противное и предположить, что существует элемент аенЕт такой, что а-1! (ы), то получим, что 1э(а)енй и 9(а)=1Я(ы), т. е. 1э'(а)=ЬД1ш!!, что противоречит определению 1„в силу которого 1. () 1ш1! = ф. Извлечем следствие из этого замечания. Пусть х ен А с Х, Есй'-!(А)",О, Ьс и" (Х, А), и пусть 1'=э Х; тогда мы утверждаем, что Ьс7»(У, А).
Ясно, что это следует из доказанного выше замечания, поскольку В = А и 1=1. В дальнейшем через .г(А, В) мы будем обозначать вложение 1: В-» А, а через (а»)-' С вЂ” полный прообраз подмножества С в группе Х при гомоморфизме а»: У-!. Х. Лемма 25.3. Пусть Х = [) Х„А,сХ„А сХ, х~А, г ! при каждом г. Положим В = А () (и А,), и пусть 1. с= с 1!ь-' (А)~ 0 и Т,, с 7" (Х„А,). Предположим, что 1» (В А) т ! с [ )'!'* (В, А,) ' 1, Тогда Е с т!"(Х, А).
КОГОМОЛОГИЧЕСКНИ СЛУЧАИ' Доказательство. Требуется показать, что Е() 1ш(ь=ф, где ( = ( (Х, А), т. е. что Р (Х, А)-' Е = ф, Имеем следующую цепочку соотношений: (ь(Х, А)-'1.= (ь(Х> В) 1[(ь (В, А) АЦ с:. [ [(ь(Х, В)-'[(ь (В, Аг)-'1г]= г = Ц (ь (Х, А,) ~Е„= [ ) 1" (Х, Х,)-'[('> (Х„А,)-1Е,)= ф, поскольку по предположению!ь (Х„А„)-' 1„= ф. Лемма доказана. Отметим, что лемма 25.3 может быть доказана иным путем, который более длинен, чем описанный выше, но зато он более универсален и будет неоднократно применяться в дальнейшем.
Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму: й"-'(Х,) —,Й'-'(А,) ь Ь'(Х„А,) Й"-'(Х) —;,Й'-'(В) =Ь (Х, В) ! ЙА-А(х) ьь-1(А) е ЬА(х А) > Пусть й ~ 1„Ь чь О. Требуется доказать, что 6, (й) чь О. Допустим противное, пусть 6, (й) = 0; тогда й =(У(~р) и Ь = ЕБ(у')=а(2 (~р'), т.
е. (А(Ч>') ея(ь(В, А)-'й, т. е. по условию 6 (>р') е= Ц вь (В, А„)-'1., откуда следует существование номера г Г таКОГО, Чта (3 (>р').Е= (ь (В, А,)-АЬ,. ПуетЬ В НаШЕй днаГраММЕ в верхней строкеегзято именно это значение г. Тогда у,(т (>р') ~ Е, т. е. 6„Т,Ц(~р')~О, В то же время мы имеем 6,Т,Ц(<р') = = т,6,(2 (~рр) =0 в силу точности.
Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Следующая лемма важна для дальнейшего геометрического приложения наших алгебраических конструкций, поскольку она позволяет вычислять алгебраическую кограницу пары (Х, А), составленной из отдельных кусков (Хг, А,), через алгебраические кограницы этих кусков, которые предполагаются известными. Лемма 25.4. Пусть Х = [) Х„А,с Х„А ~ Х, А П Х,с: г ! с А„Х, () Х, = А„П А„если г ~ з, х ен А и х еи А, при «аждом г. Положим В = [) А, (тогда В~ А) и Г,=т7А(Хг, А,)с: г сйь-'(А,)' О. Тогда имеет место соотношение ~А(Х, А)=Й-А(А)",(( (В, А)~ЬА-~(В~',[[ [(ь(В, А)-АГ,ф („г зэ4 миним»льные повзгхности в в»ги»ционных класс»х и ~гл. е До к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим коммутативную диаграмму: Й»-» (Х,) — 'Й»-' (А,) — ' й» (Х„А,) Й вЂ” (Х) '" Ъ вЂ” (В) — '-й»(Х, В) (а !а Й»»(Х) — 'Й»-»(А) 4' л»(Х, А) Выделим в и»-'(А) следующее подмножество элементов (коциклов) Ф=Г»(В, А)1Й»»(В)ЦЦ(»(В; А„)-'Г,~ и докажем, что ) г 7'(Х, А) =Й»-'(А)',Ф.
Отметим, что поскольку Г, = = Й»-»(А,)",Кегб„то подмножество Ф в действительности является подгруппой в Й»-'(А). Докажем сначала, что 7»(Х, А) ~ сй* '(А)" Ф. Пусть а ен 7»(Х, А). Это эквивалентно тому, что Ь, (а) чь О. Допустим теперь, что а ен Ф; отсюда следует, что а=а(7), где ~ряЙ»-'(В) и ~р ф Ц(» (В, А„)-'Г,= Ц7,'(Г,), Г т.
е. 7„(7) ф Г, при любом г. Это означает, что Ь,у,(~р) =0 прн любом г, т. е. т„б, (ф) = 0 при любом г, а тогда, в силу леммы 25.2, мы имеем 6»(~р)=0, т. е. ~р=(»(л»), а=а(~р)=а(»(т)=(Я(л»), т. е. 6,(а)=64(($(т)=0, что противоречит выбору элемента а. Итак, 7»(Х, А) ~ Й»-'(А)',Ф. Обратно, докажем, что 7»(Х, А) з :э Й» '(А)',Ф. Пусть а ен Й» '(А)" Ф; предположим, что а 4 фЧ»(Х, А), т. е. 6,(а)=0; тогда а=(1'(т')=(5(т)=а(»(гп). Поскольку 6»(»(т)=0, то 7,(»(гп) ф Г, при каждом г, так как для любого г выполнено соотношение Ь,Ч,!~Т(т) = О. Поэтому (» (л») ен й» ' (В)'~,~ Ц у,' (Г,)1= Й»-' (В)',~ Ц (» (В, А„)-»Г,~. Отсюда ! следует, что а(3(л»)4 аен Ф, что противоречит выбору элемента а.
Лемма доказана. Еслн гомоморфизм а является эпиморфизмом, то лемма 25.4 может быть сформулирована в несколько иной форме, а именно имеет место соотношение; 7'(Х, А)=бф ~ Цт,'6, (Г„)$,0~. г Докажем это равенство. Обозначим правую часть через Ь н докажем сначала, что Е~ Ч'(Х, А). Пусть (ен В; тогда 6,(() ен е= ))) Цт,'Ь, (Г,) ~",О, т, е. 6»(() ФО, а потому ( е= 7»(Х, А). г Итак, В с: 7» (Х, А). Обратно, докажем, что Е ~ 7» (Х, А). Пусть й ен 7»(Х, А); это эквивалентно тому, что 61(й) ФО. Поскольку а — эпнморфизм, то существует элемент т такой, что й= когомологичаскин слгч»и =а(л»), т. е. 6,(Н)=(36»(л»), откуда имеем, что 6»(т) ~0. Поскольку гомоморфнзмы т, образуют проективное представление группы Н»(Х, В) в виде прямой суммы ~~Н»(Х„А,) (см, лем- Г му 25.2), то существуег номер г такой, что т,6»(и)чьО.
Пусть в нашей диаграмме (см. диаграмму леммы 25.4) взято именно это значение г. Поскольку т,б»(гп)ФО, то и элемент б,у,(л») отличен от нуля, т. е. у„(п») ев 7»(Х„, А,)=Г,. Итак, мы доказали существование г такого, что ~р=б»(т)ч»0, ~р~Н»(Х, В), 6»(Н)=~(у), т(у)=б„у,(гп) ~0, т. е. т,(р) ~6,(Г,), или 6»(Н) ~ я (3 1т„'6„ 1Г,ф,О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
