А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 62
Текст из файла (страница 62)
в Т,„* Ьь-х(А;)",0; тогда ясно, что Е., Ьь '(С,)',О=Ч" (Х„С,) = Чь(Х'„А;), и утверждение теоремы 25.1 приобретает следующий вид: (ы (В', А')Ес: [) (ы(В', А;) Ч„Так как все предполо. жения леммы 25.3 выполнены, мы получаем Е с Чь(Х', А'), т. е. Ь'-' (А')",0 с Чь (Х, А), что и требовалось. Теорема доказана. $26. Гомологическнй случай.
Вычисление границы пары (Х, А) = [) (Х„А,) через границы пар (Х„А,) Для Ь,=Н, некого ые из следующих ниже лемм совпадают с полученными в [35). Оказывается, что все они вписываются в некоторую очень общую н прозрачную схему, охватывзющую даже классическую задачу Плато-пленки с параметризацией. Лемма 26.1. Пусть Х= Ч' Х„где Х,ДХ,=х при г~, ! и пусть А, с: Х, 'суть такие компакты, что х ы А, при каждом г. Тогда гомоморфизмы („„: Ьь(Х„А,)-«Ь„(Х, А) (где !, — вложение) образуют инъективное представление группы Ь„(Х, А) в виде прямой суммы 9Ь,(Х„А,), т.
е. аобой элемент и еи Ь,(Х, А) Г однозначно предспивим ы виде суммы и= Я !„„(и,), г:е и,ы г ! ен Ьь (Х„А,), Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 25.1 и приводится на основе рассуждений доказательства теоре- мы 1.13.2 (см. [10)). Лемма 26.2. Пусть Х [)' Х„А= [) А„где А,с:Х„ г !' ! Х,ПХ,=А,ПА, при г~з. Пуапь хан А, при каждом г и (,: (Х„А,) -«(Х, А) — вложения, Тогда гомоморфизмы Ь„(Х„А,) — Ь, (Х, А) образуют инъективное представление группы Ь„(Х, А) в сиде прямой суммы 9 Ь„(Х„А,). Это следует из относительной инвариантности теории Ь на категории Ус и из леммы 26.1. Пусть !: (Х, А)- (г', В) — непрерывное отображение, хан А, у=)(х) ~ В, й с й„(Х, А) — произвольная подгруппа.
Рассмотрим подгруппу !'.!=( (Е). Тогда мы утверждаем, что Е с оь(У, В). Доказательство, очевидно, следует нз коммутативной диаграммы: Ь,(А)- Ь,(Х) Ьь.,(В)- Ьь.,('г) гомологическии случАи В частности, если ). с ЛА (Х, А), х ев А с Х с )г, то Вс= ЛА()г, А), Лемма 26.3. Пусть Х= () Х„А, с Х„А сХ, х я Аг при г ! каждом г. Положим В = А О Ц ~ А,~, и пусть ). с-ЛА А (А) и Ь, ~ г с: ЛА(Х„, А,). Предположим, что ( (В, А)В~ ~(ь (В, А,)1., Тогда В с= ЛА (Х, А). Доказательство, Требуется доказать, что Вс: Кег(,„, где (=((Х, А). Имеем (ь (В) !„(Х, В) се (В, А) В с: ( (Х, В) ~~ ', ( (В, А,) Г.„= = ~(„(Х, А,) 1., = ~ (ь (Х, Х,) („(Х, А,) Ь„= О, г г поскольку г' (Х„А,) ~,=0, Лемма доказана.
Здесь и в дальнейшем через А+В обозначается подгруппа С, составленная из элементов вида а+Ь, где аыА, ЬенВ, А и  †д подгруппы в абелевой группе. Лемма 26.4. Пусть Х= Ц Х„А, ~ Х„А с Х, А ДХ,сА„, г ! Х,ПХ, А,ПА„если гчьз, хе А и хек А, при каждом г. Положим В=() А„; тоеда В ~ А и Г,=ЛА(Х„А,) ~ЛА-г(А ). Г Имеет место следующее соотношение: ЬА(Х, А)=(, (В, А)-'(~(, (В, А,)Г,), г Доказательство.
Обозначим через Т. подгруппу („(В, А)-'~~,'(„(В, А,)Г,); тогда ясно, что (ь (В, А)Ь~ г с= 'У', (,(В, А,)Г, (точного равенства здесь может и не быть), и, г поскольку выполнены все предположения леммы 26.3, отсюда следует, что Е с ЛА(Х, А). Осталось доказать, что Ьз ЛА(Х, А). Рассмотрим коммутативную диаграмму: Ль (Хгг Аг) .у- Ль-А (Аг) — „Ль-А (Х ) !Ь, !А' Л (Х, Ф) угХ~~(В) УЪ~~(Х) 1 Л,(Х, А) Л (А) — „Ль.,(Х) 262 МИНИМАЛЬНЫВ ПОВЕРХНОСТИ В ВАРИАЦИОННЫХ КЛАССАХ О !Гл А Пусть И ~ Ь„(Х, А), т. е. в(И) =О; зто означает, что И=д(щ), гп ен И„(Х, А). Отсюда имеем а(И) =д'~(т), . е, га'а(Ь) О.
Так как р (гп) ен ИА (Х, В), то, в силу леммы 26.2, гомоморфизмы т, разлагают группу ИА(Х, В) в прямую сумму, ъ потому ()'(щ) допускает однозначное представление в виде (1 (ги) ~ч ', т. (1,), где г,енИА(Х„А,); отсюда следует, что д'р(гп) ~д'т,(г,) = Г = ~', у,д,(Г„), причем ввиду точности е,д,(Г,) =О, <р,=д,(Г,) принадлежит Г„т. е. д'р(и)= ~',Т,Щ,), где ~р,ен Г„а(И) ен ~~ у,(Г,).
Г Г Окончательно получаем, что И ен а '~ ~~~~ у„(Г,)~, что и требовалось доказать. Отметим, что хотя формулировки лемм 26.4 и 25.4 не являются двойственными, тем не менее их утверждения можно связать некоторой формальной аналогией, а именно: если гомоморфизм Вк И" '(В)-~ ИА-'(А) является зпиморфизмом, то формула 7А (Х, А) = 6, ' (Я~ Ц т,'6,(Г,ф~О~ аналогична формуле леммы 26.4. Рассмотрим поведение границы ЬА(Х, А) в тех случаях, когда Х=!ху, А=(Ох У)()(1х У), ), и),-два вложения г" на нижнее и верхнее основания цилиндра.
Выделим в Иг х(А) подгруппу Ь'=01, (Ь) — !е,(И))=()1, (Ь), — )о, (И)), где И ~ЙА,(г), ИА,(А) = И,„, (У) ® И„, (У), а точка х — произвольная точка в А. Напомним, что подгруппа Й~ х(А) вообще не зависит от выбора точки х. Тогда оказывается, что б„(Х, А).:э б'. Действительно, поскольку два вложения ((Х, А)/Р и 1(Х, А)у1 гомотопны, то б' с= Кег („(Х, А), что и требовалось.
Если вспомнить соответствующий когомологнческий факт, то мы увидим, что в случае когомологий основную роль играет диагональ б с: ИА-' (А), а в случае гомологий оценка снизу на алгебраическую границу пары (Х, А) выражается через побочную диагональ Ь'~И~ 1(А). Как и в когомологическом варианте, рассмотрим поведение границы Ь» при деформации компактов. Пусть ~: 1х'г'- Х— непрерывное отображение и х ы Х-такая точка, что х ф ((1 му) в противном случае можно всегда заменить Х на Х' Х()х). оложим АР 7(Оху)(.)х, А, ~(1х)')(.)х, А АВ()А, и предположим, что отображение (1А г — гомеоморфизм. Пусть Й, х (АР):эТ. и Г ЬА(Х, А). Тогда существует подгруппа Е,с:Йь,(А1) такая, чтоГ+(„,(А Ао)(.=Г+(,(А, А1)Е,О Пусть йс АР- А~ — иепре.
рывное отображение, определенное нами в й 25 и такое, что Гомологическип слю!Ап $ м! диаграмма А, А х гомотопно коммутативиа (где Еь и !', — вложения). Положим Е =д,Е, и ассмотрим следующую диаграмму (вообще говоря, некоммутативную в нижнем треугольнике): ° Лап (Х) ~!л-! (!10) !(д!) Здесь Еь=()ы Е! — — ЕЕ„Еь Е!у. Покажем сначала, что Х'+Еь,(Е) =э ~Г+!!„(Е!). Пусть с!е=Г+Е'„(Е!), тогда с!=у+1,',уь(т), где тенЕы Положим т' Д„(т) я)!„!(А), тогда получим !,(т')= Е,Д,(т)=Ее„(т) и, кроме того, Е,Е!,у„(т)=Ег,д,(т)=Ее,(т), т.
е. !ь (т') = Е„,Е!,д, (т), откуда следует, что т' — Д,уь (т) ен ~КегЕ,„=Г (йо определению Г), т. е. т'-Е!,д,„(т)=у!енГ. Отсюда а=у+1!,д„(т) = у+т' — у,=у,+т', где у, ен Г, т. е. а=у,+Д,(т), где т аЕы т. е. ая Г+Д,(Еь), что и требовалось доказать. Обратно, докажем, что Г+Д„Еьс Г+Д,Е,. Пусть а= у+Д,(т), где п!!й!Е, уяГ. Тогда определен злемент Е!,д„(т)~ ен)!, ! (А), который можно сравнить с Д,(гп). Ясно, что Е„,Е„',(т)= =Д,(т) и в то же время !»Е!„.р,(т) =Е!„д,(т)=Ев,(т), т. е.
Е,Еь, (т) = Е,Е'„д, (т), Д, (т) = У!+ Е!,У, (т), где У! ен Г; отсюда следует, что а -у+Д„(т)=у+у!+Е!,д, (т)=у,+Е!„(д), где у,~Г, оенЕм что и требовалось доказать. Т е о р е м а 26.1. Пусть А Ц А„А, Е) А„, = Р„1 ~ г ~ г ! ч-йŠ— 1, А,() А,=х, если ~!г — в~ »1 (где точка х принадлежит каждому Р,).
Положим Г, Ьь,(Р,), 1 =г~йŠ— 1, и пусть В,— такие компакты, что бь !(В„Р,)=Г,. Рассмотрим компакты С„=А,()В,ЦВ, „где 1~г~)!Е, причем В, Вл =х, Ен-! 1 н Рь Рн=ф, С=А() ~ () В,~= Ц С,. Тогда выполнено сооп!но- ! ! г ! шение ~ !е (С, С,) Е!» ! (С,) ~ !ь (С, А)Ъл-! (А).
г ! »в4 минимАльные пОВеРхности В ВАРиАпионных клАссАх 6 [гл. ь До к а з а те л ь с т в о. Рассмотрим компакт С и предположим сначала, что АП В,=Р„для всех г, 1е=г~й/ — 1, и что В,() Д В,=х, если гчез; в дальнейшем мы редуцируем общую ситуаАг — ! и цию к этому частному случаю. Пусть В 1/ В„О '!/ О, г ! г ! (см. рис. 65); построим следующую коммутативную диаграмму: 9Р, 9т, Еь~,(с„в, 1/в,) — ' — Вь (с,) — 'Вь (в,Чв, ) г г г (г» Яе ! -~а, ~а-Хв„ г ь ,(с, в) ' ь,,(с) †' ь ,(в) Строки этой диаграммы являются точными последовательностями, а через ® !р, и Я у, обозначены прямые суммы гомо- ' г г морфизмов <р,: Ь„, (С,)-г-Ь, »(С„В,1/В,) и у,: Ь» »(В,, 1/В,)-!.
Ь», (С,) соответственно. Отметим, что, хотя В = ~/ В„гомоморг физм 11 не изоморфизм и имеет ядро, изоморфное Ь»,(В). Гомо. морфизм () не является прямой суммой гомоморфизмав г!» ! (В,-»~/Вг)- Ь»-»(В), поэтому мы использовали обозначение () = ~ч~ (),. Докажем, что в наших предположениях (т. е. А ПВ, г =А!„В,Пв,=х, гчьз) выполнено более сильное утверждение, чем сформулированное в условии теоремы, а именно докажем, что Ь»»(С) ~, »„(С, С,) Ь», (С,). Предварительно установим, г ! что Кег($) с,5;1„(С, С,)Ь» »(С,). Пусть аяЬ»,(с) н $(а) 0; г тогда а=ф(Ь), Ь~Ь» »(В), и поскольку гомоморфизм 6 является эпиморфизмом, то Ь р(Ь'), где Ь' Я Ь;, Ь; ыЬ» »(В, !/В»), и Г азложение Ь'=~',К однозначно.
Отсюда следует, что а= г =!х/®у,~й'=~с»у,((!,')=~а($,), где $,~Ь» х(сг), т. е. аен / г ен ~!х,(й,),чтоитребовалось. ПустьтеперьаЫ»,(с,) и $(а)~0. г Поскольку для пары (С, В)=Ц(С„В, !'1/В,) выполнены все предположения леммы 26.2, то гомоморфизм «! устанавливает изоморфизм между Ь» »(С, В) и О+Ь»,(С„В, !'1/В,), т. е. $(а)= =<В(с), где с У',с„п(вчем элемент с н его разложение опре- г 2бб ГОМОЛОГИЧЕСКИИ СЛУЧАИ делены однозначно. Рассмотрим коммутативную диаграмму: $ ,(с,) и»,(с„ в,, у в,) а„ (и,,/ в,) =й„ (в,,)~Х ,(в,) Ф г г г д 1» ь!и [р, .О » » дг й»-» (Лг) И»-1 (лг Г»г-» Ч Вг)»»»-» (ГЬг-» Ч Вг) =Ь»-» (Вг-») Ю а»-» (Ю В этой диаграмме гомоморфизм и, является изоморфизмом (поскольку вложение (А„Р, »~/Р,)».(ф»~/В,) является относительным гомеоморфизмом), а гомоморфизм у, тривиален, ибо Ь»»(В„Р,) Г, И, »(Рг).
Следовательно, р,~О для любого г. Так как р,д,' . д,и, О и и, — изоморфизм, то д, ~ О на всей группе И»»(С„В, »/ В,), т, е. гомоморфизм ~р, является эпиморфизмом. Отсюда следует, что любой элемент с, (где с Я с„см. выше) предг ставим в следующем виде: с, <р„(с,'), а тогда с /(+) <р,) с', где с' ~ч с',; отсюда имеем $и(с')=в/я<р,)с'=р»(с)=$(а), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
