А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Н ев 6~' (1() Ц т,'6, (Г,)Ц' 0~, что и тре1г бовалось. Доказательство закончено. В дальнейших применениях гомоморфизм а часто будет эпиморфизмом, и мы будем опираться на доказанное здесь утверждение. При изучении гомологического случая мы увидим, что формулировка леммы 25.4 весьма удалена от своего гомологического аналога, но приобретает в некоторой степени двойственный характер, если а — эпиморфизм.
Выясним, что происходит с кограницей 7»(Х, А) в тех случаях, когда Х=ухУ, а А=(Ох У)1)(1хУ) (через! обозначен единичный отрезок). Рассмотрим два естественных вложения 1». У-»-Ом У с=. А и 1,: У-~! х У с=. А и выделим в группе Н'-'(А), изоморфной группе Н"-'(У) Я Н'-'(У), диагональ А = = (Н, Н), Н еп Н»-» (У). Тогда оказывается, что (Н»-» (А)",»») () 1ш(» = = й, где 1»: Н»-'(Х)-» Н»-»(А), 0 А — «Х — вложение, т.
е. 1»Н»-»(Х) ~ Л. Докажем, что если (Н„Н,) ~ Ь, то (Н„, Н») ф 1т(». Допустим противное: пусть Н»чьН» и (Нм Н»)=1»(у), уепН»-»(Х). Но тогда Н» = )о (Нь. Н») = /о(' (у) = (%) * (у) = (11»)* (у) = 1~ (Нм Н») = =- Н», т. е. Н,=Н„что невозможно. Здесь мы воспользовались тем, что % гомотопно %. Доказательство закончено. Вспомним теперь о наличии отмеченной точки х. Тогда мы получаем П»(Х, А) =(Н»»(А)~,»») () Н» '(А) =Н»»(А)'~(Л () Й»»(А)). причем подгруппа Н'-'(А) зависит, вообще говоря, от выбора точки х, в то время как подгруппа Л от выбора х не зависит. В дальнейшем, при изучении гомологического случая, мы увидим существенную разницу между гомологическим и когомологическим вариантами теории.
Разница эта особенно ярко проявляется в только что изученной ситуации Х = 1 х У. Рассмотрим еще один вопрос: поведение алгебраической кограницы при непрерывных деформациях компактов. Пусть 1: !хУ-» Х вЂ” непрерывное отображение и х ен Х— точка, не принадлежащая образу ~(! х У). Если весь компакт Х покрыт образом 1ху', то заменим Х на Х' ХЦх, где я~Х. Положим А»=~(ОхУЩх, А»=~(1хУ)()х, А=А»()А» (А» и А» могут пересекаться) и предположим, что 1'1»„г — гомеоморфизм.
266 миним»льныа позе»хностн в в»ги»пионных кл»сс»х 6 Егл. ь Пусть Ь»~Е»»-'(А»),0 и Г=7»(Х, А). Тогда существует подмножество Ь, с Е»»-'(А»)",0 такое', что Г () Е» (А, А»)-'Е,» = = Г 01» (А, А,)-' Еь Докажем это равенство. Достаточно подобрать такое множество Е.ь чтобы (1» (А, А,)-' Т»)",Г =*(1» (А, А»)-»Е»)',Г.
Отображение Е есть гомотопия ~р, отображения <р» = =Е(»„г в отображение р,=~(»„ю а потому (так как ~р» есть, по предположению, гомеоморфизм множества )' на некоторое подмножество в Х) существует непрерывное отображение я'. Е(0 х У)-» Е(1 х г), где я' = ф,~р»', которое может быть единственным образом продолжено до непрерывного отображения л: А» — ~А„поскольку х ф Е(Ох У) и можно положить д(х)=х. Следующая диаграмма гомотопно коммутативна: А А Х (где 1», 1,— вложения). Положим ~,=(я')-'!»с:Е»»-'(А,)",0 и покажем, что это и есть искомое подмножество. Рассмотрим следующую (вообще говоря, некоммутативную) диаграмму: Р'ш » '(А д» '(а») Здесь Е: А-~Х, Е»: А».
А, 1(. 'А» — ».А — вложения, 1» — — ЕЕ», 1, ЕЕ(, 1» гомотопно Е,ЕЕ, но, вообще говоря, 1('~д*Е»', поскольку отображения 1» и Я никак друг с другом не связаны, Покажем сначала, что (1»(А, А»)-'Е»)",Г с(1»(А, А»)-»Л»)",Г, т. е. что ((!ю~) » Е ») ~,Г с ((1( ) » ь») ~,Г . Пусть х ен ((Ео~) ~ 1,») Г, т. е. Ео'(а) ~Е», и г=Е'(и),'ссеи)»»-»(Х); тогда имеем Ео'(г)=Ео (а) = =я'ЕТ(а)ыЛ», т.
е. Е~ (а) еиЬ» (по определению Е»). Отсюда следУет, что Е(" (х) 1('1» (а) ЕТ(а) Я Еь т. е. а ~ (Е(")-'Ьм и х фГ, т. е. г я((Е(»)-»Е,,),Г, что и требовалось доказать. Обратно, пусть ((Е»»)-»Е.)", Г чь ф и требуется доказать, что ((1»») Ч»)",Г =з ИЕ(") Ел)",Г (если ((Е»')-Ч.»)'~Г ф, то тогда (Е»')-'Т» с= Г и в качестве 1,, можно взять, например, пустое множество).
Пусть гя((1~")-Ч.,)",Г, т. е. д'1,'"1»(а)еиЕ». Отсюда получаем у'Е", (а) я Т.», т. е. Е» (сс) еи Т.о, Е»"Е' (а) = 1»'" (г) я Е.» т. е. г4Г и аеи(Е»™)-»Е.», что и требовалось доказать. Отметим, что если ((1»")-Ч,»)',ГФ ф, то и Е,»Ф ф. КОГОМОЛОГИЧЕСКИИ СЛУЧАИ Теорема 25.1. Пусть А = ( ) А„А,() А,+! — 0„1«г ~ г ! ~)Ч вЂ” 1, А,ПА, х, если (г — з() 1 (где точка х принадлежит каждому О,).
Положим Г, йо-к (О,); О, и пусть В, — такие компакты, что ЧА-к (В„0,) Г„1 «г «)Ч вЂ” 1. Рассмотрим компакты Сг=Аг()В,ЦВ е, причем Во Вн х, 0о=0л=ф, С=А() Х /н 1 ! и Юя ег-е 0 ~ Ц В,/ Ц С,. Тогда еыпол- ееч г 1 г ! немо соотмоиеемие к Ц (о (С, С,)-! (Ьь-! (С,)',0) ~ л! '4к лг ле г ! ~ (о(СА)-! (Ь'-к(А)" 0). Доказательство. Рассмотрим компакт С и предположим сначала, что А () В, = О, для всех г, 1 « г « Ь( — 1, и что В, П В, х, если г~г; в дальнейшем мы докажем, что это ограничение мож- и.— ! и — ! но снять. Пусть В= Ч' В„0= Ч' О, (рис. 68). Рассмотрим г ! г ! для каждого г, 1~г ч )Ч, коммутативную диаграмму: Ь (Аг) е — '— Ь '(С~) е —" — Ь" (СггВ кЧВг) Ьл-е(В ) г Ьн-е(В М1" "еВ„~) Ьгг '(В) Ьк"е(А)-и-= Р г(С)« — -Ьл г(С,В) Пусть г еи (о (С, А)-' ()!"-! (А)' 0) = 1-' ()!А-к (А)" 0) (в частности, г Ф 0).
Требуется доказать, что существует номер г такой, что гор,'()!А-т(С,)' 0), т. е. р,(г)ФО в ПА-~(С,). Допустим противное, пусть р, (г) = 0 для любого г; тогда, поскольку а,р, = ео,а, имеем О=а,р,(г)=!о,а(г), где а(г) !и! ен Ь~-'(В). Но тогда получаем гра(г) = Оеа(г) =0 и гр,а(г)=0. Поскольку это верно при любом г, то гр,а(г) =0 при 1м:;г «(Ч, и-! а так как В Ч' В„где В,ПВ,=х при г~г по предположению, г ! то в силу леммы 25.2 а(г)=0. В силу точности последователь- 9 А. т, Фоменко — МЭ два минимхльныа поввгхности в влги»иионных кллсс»х а ~гл, в ности Ь»-' (В) »- Ь»-» (С) — Ь»-» (С, В) отсюда следует, что г = / (л»), л» ея Ь»-»(С, В).
Возьмем элементы у,(п») еЬ»-»(С„В,, ~/ В,); тогда, так как р,(г)=0, то О=р)(т)=)у,(п») при каждом г. Расс отрим следующую коммутативную диаграмму: Ь» '(С,) Ь и '(С„В, Ч В,) -'-Ь '(В ъ Ч В„) Ь»-'(А,) -Ь»-»(А„0,, ~/ 0,) — 'Ь»-»()),, ~/ 0.) Поскольку А,() А, х при )г — э~-« 1, то О, () 0,=х при г Ф э, а так как В, () В,=х п и г чьз, то следующая диаграмма также коммутативна: Ь (В, У В,) =-Ь»- (В,,)(Р)й»- (В,) Ь -»(П ~ О„) зьЬ» (П,—,~ О+ Ь»Р,) Так как 7»"' (В„О,):з Ь»-» ()У,)" О, то получаем, что е, ам О, а тогда ф„6,=6;е, 0 на группе Ь»-'(В„, ~/ В,). Поскольку вложение (А„»)» '/ 0,) — «(С„В, ~/ В,) является относительным гомеоморфизмом (напомним, что А () В, (),), то, в силу относительной инвариантности теории Ь*, имеем, что»р, является изоморфизмом, а тогда 6,ам О, т. е. /,— мономорфизм. Выше было становлено, что (,у,(т)=0, откуда у,(т)=0 при любом г.
оскольку, в силу леммы 25.2, Ь»-' (С, В) = Я Ь»-' (С„В, ~/ В,), 1 то это означает, что и О, а тогда г=)(гп) = О, что противоречит исходному предположению. Итак, в предположении, что В,() В,=х при гФ э и А () В, 0„ мы доказали значительно более сильное утверждение, чем то, которое было сформулировано выше, а именно мы доказали, что если з я Ь"-' (С)",О, то существует г такое, что г~р,'(Ь' '(С,)",0), т. е.
р,(х)~0; иными словами, Ь»-' (С)",0 = ( ) (» (С, С,)-' (Ь»-» (С,)',0), а потому и подавно (» (С, А) ' (Ь» '(А)",0) с () (» (С, С )-'(Ь" ' (С )" 0). В общем случае первое равенство, конечно, разрушается, но оказывается, что второе включение сохраняется, что и обеспечит нам доказательство теоремы. Итак, пусть теперь А()В,;з(), и В,ЯВ, х. Расклеим лишние точки, чтобы вернуться в ситуацию, изученную выше, т. е. построим компакты С Ц1„С, А,()В,()В„, где Г А,»"эА„В„»:эВ, (гомеоморфизмы), В,ДВ, х при гчьэ, А()В,= =О„А»»»А, и построим непрерывное отображение (: С-«С, являющееся гомеоморфизмом иа А и на каждом из В, и осуществляющее необходимую склейку для получения прежнего когомологичаскии случаи компакта С.
Если положить ),=~~~, то следующая диаграмма Г' коммутативна: да" (л ) -~ — ' — -г- Р 1(С„) Ль !(С) Лх (А) то имеет место соотпои!ение Чь(Х, А) =)!"-~(А)" О, Геометрический смысл этого утверждения иллюстрируется рис. 69. До к аз а те л ь с т в о. Поскольку компакты А„В„, О, удов летворяют всем условиям теоремы 25.1, то Ц(ь(С, С,)-!()!"-'(С,)~,0) з Га(С, А)-'(Й'-'(А)" 0), 1 где С ()С.. Положим Х'=Х, Х;=Х,. А;=С„А'=А, В' = 1 = А' 1) ~() А~1=А()~ () С,1=С.
Пусть, далее, ~=)!'-'(А')'~О, 1~ ) 1. ° ЯФ Пусть а ен !'(С, А)-'()!"-'(А)" 0) сИ"-!(С), (" (а) ~0; тогда е'("(а)чьО, т. е. !ь!ь(а) чьО, )ь(а) ен(»(С, А)-!()г"-'(А)" О), а тогда, по доказанному выше, существует г такое, что )~ (а) ен „ гг е( (!, С,) ' ()!" ' (С,)'~0), т. е. ' " ' „,.( ь( "' г» !",7" (а)ФО, но тогда г,"ю", (а)чьО, "'""'( 'з"',' е! / т. е.
!," (а) ~ 0; иными словамн, » ~м. л..» .» Ь- мы указали номер г такой, что а ен (ь (С, С,)-' (Ь'-' (С,)",0), что Ф и требовалось. Теорема доказана. ю Теперь мы докажем алгебра- Рис. 69. ический аналог геометрического факта: при склейке двух (или более> компактов по нх общей границе получается компакт без границы. Теорема 25.2. П усть А = Ц А„А, () А,+, — — )), (здесь 1 ~а г ! ~гч-У вЂ” 1), А,()А,=х, если )г — з))1. Положим Г„= )!ь-'(0,)',О! пусть „— такие компакта, что 7ь-! (В„0,)=Г,. Положим С, = А, () В,, Ц В„здесь В, Вл = х, и пусть Մ— пиисие и кампакп!ы, ипо уь(Х, А)=Ь"-'(С,)" 0 Тогда, если Х= Ц Х„ Заа минимхльныа поваэхности в вхэигцнонных клхссхх о ггл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
