А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Осталось доказать, что ЦПКег1';=ф при любом д. Пусть Цчь ф; допустим, что существует элемент 1'чьО, 1'енЦ, такой, что /р~(1') О. Рассмотрим коммутативную диаграмму (где а— это мииимхльиыв поваехиости в вхгихционных кллссхх о [гл. в любое целое число) ! Тогда 0=17(1')=фь(„'ь(1'), т. е. Щ(и )=О, где и„=(„'"(1'), Отсюда и из теоремы 2.б'гл, Х в 110) следует, что существует номер р такой, что ())сс и и„'(и„)=0, где пв — вложение Ув вь в У„; тем самым, )з" (!')=т4")ь'(Г)=пьа" (и„)=0, т.
е. мы указали компакт Ув такой, что ои ие реализует элемент 1' ~ Ц, 1'чьО. а это противоречит тому, что УвеиЙ'(А, 1., 1.') при любом р (см. выше). Полученное противоречие окончательно доказывает теорему. Мы доказали теорему 27.2.1 для того случая, когда функтор И удовлетворяет аксиомам А( — Аб и непрерывен иа Ус. Этот уровень общиости вполне устраивает иас с точки зрения исследования вариациоииых задач в классах Ю, д.
Однако теорема 27.2.1 затрагивает интересный вопрос о предельных. реали. зациях, который представляет самостоятельный интерес. Можно доказать более сильное утверждение, чем теорема 27.2.1 (см. доказательство в 1311). Те о р ем а 2?.2.2. Пусть дана последоеательность компактов Х„п=1, 2, 3, ..., Х„;э А для любого и, и пусть сущест. вует компакт Хь~М такой, что р(Х„, Х,)- 0 при и со (тогда Хь з А), пусть А — ' Хь Н М, А —" Մ—" М вЂ” вложения.
(1) Пусть на (?с задан контравариантный.непрерывный функ. тор И*= 9 Иь (со значениями в 61г), удовлетворяющий аксиоЙых мам А1, А2; пусть 1.=(Е ), 1,'=(Ц), где 1. ~Ив(А)' О, Цс:Ие(М)",О, и пусть Е()1ш4=9, Е'1)Кег('" ,3 при любом и. Тогда 1 ()1ш(„'= 9 и Е'П Кег)„'=9. (2) Пусть на (?с задан ковариантный непрерывный функпюр Ич= 9 И„, удовлетворяющий аксиомам А1, А2. Пусть Е=(Ер), Фмх .где 1.
сИр(А), и пусть 1. сКег(„, при любом и. Тогда Ес с: Кег(ь„„Предположим теперь, что функтор И удовлетворяет одному йз следующих двух условий: 1) И, (Х, У) еп АВС при любых (Х, У) еи Е?с, И еи У„и все индуцированные гомоморфизмы непрерывны; 2) И'„(Х, У) амбр для любых (Х, У)~Е?с, Иеи Ж, все индуцированные гомоморфизмы Р линейны и, кроме того, Иь(Х, У) еп вийе для любых (Х, У) ы Р'с: (?с, Иеп Е. Пусть Е'=(Ц), где Цс=И (М) и пусть Е'с=)гп!„при любам и Тогда Е'~1ш(ь свояствА ВАРйлципнных клАссОВ 27.
Инварнантность варнацнонных классов относительно Я-перестроек поверхностей. Т е о~р е м а 27.3.1. Пусть М вЂ” риманово многообразие, А с: ~ М вЂ” фиксированный компакт, х ен А. Пусть б с: М вЂ” такое отнрытс)е множество, что 6 П А = ф. Пусть класс й (А, ~„Г') непуст и 1Х вЂ” произвольная поверхность (компакт) иэ этого класса. (1) Пусть пара (У, А) получена из пары (Х, А) какой-либо Я-перестройкой в размерностях о= (ЙД, где множество целых чисел (ЙД содержит все числа р, для которых В д~О(ф). Тогда имеем 1' яй(А, Е-, 0(ф)). (2) Пусть пара (У, А) получена из пары (Х. А) какой-либо полной 'Я-перестройкой в раэмерноапях.(й~), где множество целых чисел о=(ЙА содержит все числа д, р, для которых 1.,ФО(ф) и Ц ~ 0(ф), Предполозсим, далее, что вложение ох Л~1 () У1-~М (где, напомним, Х,=(Х (1 П) () х) обладает следующим свойством: й„, (Х, () У,) с: Кег сс, = Ь„(М, Х, () У1) для каждого й, (соответспаенно в случае когомологий предположим, что 1ш аь = 0 в Р<(Х,()У,), п1.
е. что 6'~(Х,(ЗУ,)",Ос- ч'(М, Х,()У,) для каждого ЙД. Тогда У енй(А, Е., Е,'). (3) Пусть класс й(А, с) непуст и Х вЂ” произвольный компакт иэ эпиго класса.. Пусть пара (У, А) получена иэ пары (Х, А) какой-либо полной 'Я-перестройкой в размерностях о=(й~), где набор о содержит все целые числа г, для которых Г„ФО(ф). Пусть вложение сс Х,() У,-~М удовлетворяет предположениям пункта 2, и предположим, что У,ПА=х. Тогда У яй(А, Е). Замечание.
Из теоремы 27.3.1 следует, что основной интерес для вариапнонных задач будут представлять полные 'Я-перестройки, так как они сохраняют классы Л(А, ~„В'), в то время как Я-перестройка сохраняют только классы п(А, ~, 0(ф)). Теорема 27.3.1 об устойчивости классов Ю, д может быть доказана, по-видимому, и для обычных Я-перестроек, однако все конкретные примеры Я-перестроек, которые мы будем конструировать в дальнейшем, окажутся полными перестройками. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы. Докажем сначала пункт 1.
Пусть рена (й~) есть любое число такое„что ~е,,чьО(ф). Разберем гомологический вариант. Предположим для простоты, что У,ПУ,=Ам в дальнейшем мы обнаружим несущественность этого предположения, Напомним, что Хт —— (Х () б) (1 х, А, = (ХПдб)()х, У=У,()У„У =Х'~б. Положим Х,=У„А,= = А () Ат Аь=В, Ц1 Ьр(Х1 А1). Ге= бр(ХЫ Аь) Ц = = Ь„(У,„А1), Ц=Ь (У„А,), где фиксированное число р нз набора о, определяющего перестройку, указано выше. Отметим, что Ц=1., и, кроме того, для троек (Х, Х„Х,) и (У, У,, Уг) выполнены все предположення леммы 26А. В самом деле, Х = Х,() Х,=(ХП 6) ()(Х",6),' А,~ Х„А, с: Хы так как Е Й7В минимлльныя повврхности в зхрихциднных клАссАх д игл. в А Ц(Х Пдб) сХ ~б, АПХ,сА» так иак АПХ,=тхс-А» А П Х, с: А„так как А П (Х ",б) = А сА () А» Х1 П Х~ =р А1П А» так каи (ХПдб)()хП(Х б)=А,=А,ПА» Г,=Ц»( Г,=Ц.
Отсюда и из леммы 26.4 мы имеем Ь (Х, А) = 1р (В, А)-'11,„(В, А1) 5,+1, (В, Аз) Ц1. Рассмотрим тройку (У, У» У,); тогда У У,()У, (по определению У)х Агс=У» А, с У„так как А () А, с Х',б, А П У1с А» так как А с У» а У,ПУ,=А, (см. предположение выше), т. е. А ПУ1=хс= А„ А П Уз с А„так каи А П (Х',б) = А с А (3 А, А,, У, П У~ с с А, П А „таи как У, П У, = А, с А,, Г, = 1.'„Г, = Ц. Отсюда и из леммы 26.4 мы имеем Ар~У, А) = 1,„(В, А)-'1(,„(В, А1) Е;+ +1,(В, А,)Ц1. Поскольку Е, й» а (.1~1.» то немедленно получаем, что йр(У, А) ~ Ьр(Х, А) ~5, (где 5, с~), т.
е. У ы й, (А, 1„0). Теперь откажемся от предположейия У, П У, А» и пусть А, с= У,П У,. Как и при доказательстве теоремы 26,1, расклеим лишние точки в компакте 1=ХОУ, и представим компакт Е в виде непрерывного образа нового компакта Е, где Й )(() У» 1: Е-р 2, 1)й и ~(р — гомеоморфизмы, и У, П У,- А» Уз )Р, н А,*.А, (причем заметим, что нет необходимости вкладывать компакт 2 в многообразие М). Тогда к компакту Й применимы предыдущие рассуждения и можно записать, что Ьр(1, А) =э ~р, (при каждом р). Теперь, применяя гомоморфйзм („ получаем в силу замечания к лемме 26.2, что Ьр(У, А) =э =э 5, » что и требовалось доказать. Гомологический вариант полйостью разобран.
Рассмотрим теперь когомологический случай. Снова рассматриваем две тройки (в предположении, что 1'1ПУ~ АД: (Х Х» ХД н (У, У» Уя) и убеждаемся, что онн удовлетворяют всем условиям леммы 25.4, причем Ц = ЯР (У» А,), Е, ЧР(Х» А,), Л; 1и '7Р(Х» Аз)=ЧР(Уи Ар). Ив леммы 25.4 получаем Чр(Х, А) ° ю БР-'(А) "~ (1' (В, А) [лР-'(В)",,(е' (В, А,)-' Д) Ц 1' (В, Ав)-'(е Д]Ц,, 7р(У, А) Ь т(А)",(Ер(В, АЦЙр-т(В)'~~(р(В, А1)-'(Ц) () Е~ (В, А,) ~(Ц))1), и таи как Ь; ~ Е,» то отсюда следует, что ур (У, А):э ~гр(Х, А) ~ =эЕр-, (где 5р,с5), т. е. У ей'(А, ~.
ф). Как и в гомологическом случае, отказ от предположения Уг П У,= Ах осуществляется построением непрерывного отображения Г: Й-~-Е=Х()У, (см. выше). Тогда 7р(У, А) =э1р, и из замечания к лемме 25.2 получаем, что Чр(У, А) ~ 5, » что и требовалось. Итак, пункт 1 настоящей теоремы полностью доказан. Переходим к пункту 2. Рассмотрим сначала гомологический случай. Пусть задана 'В-перестройка пары (Х, А). Требуется сВоистВА ВАРНАпионных клАссоВ устанд)вить, что У еяй,(А, ~., 1.'), если я, — тривиальный гомоморфизм. Поскольку каждая 'Я-йарестройка является 5-перестройкой, то в силу пункта 1 настоящей теоремы мы получаем, что Уй)д (А, Ц 0); осталось доказать, что Цс:.д (М, У)ЙК(У) для любого д ев и= (дд,), где Ц чь О, Рассмотрйм компакты А, А„ А„0д, В„где Од Ад, Ад* УВ=Х'~б(тогда А,=э(У„посколькУ Х '~ б ~ (Х Д дб) () х), А, = Хд (тогда А, =з б„поскольку Х, ~ Ад), ддд Уд, А Х.
Тогда выполнены все условия теоремы 26.1, а именно: А=Ад() А, (так как Х=Хд()(Х'~й)), А,ПА — — )Адд (так как (Х'~0)Д(ХПб)=Х()дб), хыЬ„Гд=йт д(Ьд) )д, д(Ад) = Ьг (Хд, А,) = Ь, (У„Ад) =* (д (В„ддд). Рассмотрим компак1д-Ад()Ь„1д=У,ЦУ„~,=Ад() В,=Х, () У,, С= С, () Сд У () Х, Х () У,. Из теоремы 26.1 следует, что 1 (Х () Уд 1 )Ъд (У) + 1 (Х () Уд Хд () У\) (дг (Хд () Уд) ~ 1 (Х () ()У,, Х)Й,(Х).
Рассмотрим вложение др: Х()У,- М; тогда получаем 1 (М, 1')Й (У)+1 (М, Х,() У,)Й (Х,() У,) ~1 (М, Х)Й (Х). В силу условий пункта 2 имеем д,(М, Х,()У,)Й,(х,иУ,)=,Й,(Х,иУ,)-О, так что 1,(М, У)йг(У)=зд,(М, Х)Ъ,(Х) =эЦ, что и требовалось доказать. Теперь рассмотрим когомологическии случай. Пусть задана 'Я-перестройка пары (Х, А). Требуется установить, что У я)д'(А, Ц 1.'), если 1пддд'=О. Поскольку каждая полная перестройка является обычной перестройкой, то из доказанного выше пункта 1 следует, что У ый" (А, Ц ф); поэтому осталось доказать, что Ц1) Кег(А(М, У)=(0 для любого дев еи а = Щ, где Ц ~ О).
Как и в гомологическом случае, рассмотрим компакты А, Ад, А,, д)д, В„С, Сд, С„связанные с 'В-перестройкой (см. выше). Если положить Гд-Йг-д(бд),О=Й -д(Ад)',0= =~7г(Хд, Ад)=ут(Уд, Ад) УР(Вд Е>д), то, очевидно, выполнены все условия теоремы 25.1 и, следовательно, мы получаем 1 ° (Х () У,, У)-' 1ЙР (1') ~ О) () ()1'(Х() У,, Х () У,)-'[Ь(Х,() У,) 01 1' (Х() 1', Х) Рдг(Х) О).
Если др: Х() Уд- М вЂ” вложение, то мы имеем (А (М„У)-' Рдт (У) ',01 () () дА (М, Хд() Уд)-дат(Хд(3 Уд)" О) ~(А (М, Х) д)ЙР(Х)~,0]. 274 минимАльные повеРхности В ВАРиАционных клАссАх ч !Гл, 6 В силу предположений настоящей теоремы получаем ГА (М, Х,() () У1) 1[У(Хд() У~)',0]=ф, т. е. Гк(М, У)-А[Ь(У)'~0! ~ ~РА(М, Х)-'[йР(Х)",0$. Пусть Г енЦ; тогда /А(М, Х)ГФО, т. е. Г ен('(М, У)-'[й'(У)',0], ГА(М, У)Г~О в 9(У) для любого Г ы/.;, что и завершает доказательство пункта, 2. Переходим к пункту 3.
Рассмотрим вложение (Х[)У,)/А-+. — М/А; при этом заметим, что так как х=А,ПА и У,() А =х, то компакт У, = Ух/(А П Ух) = У, по-прежнему полностью заклеивает компакт А, в размерностях (й,), т. е. мы получаем полную '5-перестройку компакта Х/А =Х с помощью 0 и Ух в объемлющем пространстве М/А. Поскольку теория 6 относительно инвариантна, то /„с=6',"(М/А)(",0)иЦ'(М, А)(",0) н Х реализует набор с в пространстве М/А. Тем самым, мы полностью свели доказательство к рассмотрению пункта 2 для того случая, когда /,=0(0)), /.'=/..
То, что М/А не многообразие, не влияет на рассуждения, поскольку вложение Хх () У, = = (Х1() 1'1)/(Х1() Ух) П А- М/А по-прежнему (ко)гомологически тривиально. Теорема'полностью доказана. Мы доказали теорему 27.3.1 для '5-перестроек пар (Х, А), однако оказывается, что классы Ю и д выдерживают и несколько иной вид перестроек, а именно: определим Х; =(Х П б)()х, А,' = Х,",б, У' = У;() У,. Отличие этих перестроек от 8-перестроек состоит в том, что Х1 ~ Х; и А, ~ А,'. Оказывается, что компакт У' снова принадлежит классам Ю, д.
Доказательство проводится по указанной выше схеме. Замечание. Пусть дана область бс=М; положим А1= =* Х () дб, пусть х ен Аы 1', — компакт, осуществляющий полную заклейку компакта А, в размерностях о=(Й1) по отношению к точке х. Так, например, в дальнейших приложениях теоремы 27.3.1 компакт У, будет содержаться в 6. Построим компакт У„который осуществляет полную заклейку в размерностях о компакта Аэ — — х() А, и по отношению к точке хан А. Для этого рассмотрим какой-либо гладкий путь 7, соединяющий точки х и х, и положим У1 7(/У,. Тогда очевидно, что компакт У, является искомым компактом. Настоящее замечание играет техническую роль, однако оно необходимо ввиду того, что мы работаем в категории пунктированных пространств.
27.4. Устойчивость вариацнонных классов. Введем в рассмотрение специальный класс экстраординарных теорий (ко)гомологий л, удовлетворяющих следующему условию. Условие К. Пусть й — непрерывная и относительно инвариантная теория (ко)гомологий на категории компактных пар, и пусть ф: Я'-А- — вложение окружности в двумерный конечный клеточный комплекс В, причем элемент фА [5'] либо равен нулю в группе Н,(В, д,) (случай 1), либо является образующей конеч- своястВА ВАРн»пионных клАссОВ ного пррядка в группе Н,(В, У) (случай 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
