А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 67
Текст из файла (страница 67)
() Хь Х:» А, содержащийся в е-окрестности выпуклой геодезической оболочки компакта А (еде в сколь угодно малое число, не зависящее от 6) и зависящий, вообще говоря, от выбора числа 6, такой, что: 1) 7"'(Х, А) Й -'(А)' 0 (соопиктственно в гомологическом случае Ь (Х, Л) =Й»(Л)) при всех т вил,; 2) существуют две постоянные С=С(к, М) и О = = О ((», М), не зависящие ни от компакта А с: В (Р„И»), ни от числа 6, обладающие следующими свойствами: р(Х», А') (С 6, р(Х ()Х,", А )«=.С 6, множество Х [ХП(А», С 6)) является % »Щ овшее изопегиметгическое няг»венство ' »83 конечным симплициальным подкомплексом класса С" в многообразии М, имеющим размерность з(й — 1(напомним, что А, = ф), и 0( чо1, (Х) =чо1»(Х («Х~)»с.
:06». Здесь Х» может быть пусто и москет оказаться, что чо1»(Х) О. В отличие от случая обычной теории гомологий Н„соотношение р(Х, А)~С(я) 1 неверно, так как даже тогда, когда 1-~0, вдали от границы А могут находиться куски пленки Х, о которых известно только то, что их размерность не выше чем й — 1 и что они полностью составлены из симплициальных точек, и стянуть зти куски в малую окрестность компакта А в общем случае невозможно. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 28.3, 1. Можно считать, что А ~й". Доказательство проводится индукцией по й. Пусть й= 2, +СО 1 ~0.
Определим функцию ф(а)= ~ чо!»(А() П„ы,««,), где 5 ОР П« —— ((х' ..., х') вне')х' 1), т. е, П« — гиперплоскость в Я". «,« с Из теоремы 10.2.3 в 1161 следует, что ~ ф(а)«(а(чо1»(А)=1)0 ь (мы рассматриваем случай а)), а позтому существует число а, 0 н:.:«г к; 1,11, такое, что ф («г) ( 1; тогда ф (а) = О, т.
е. чо1»(А () П;+, н,) 0 при каждом з ы л.. Повторяя зту конструкцию вдоль каждой оси х', 1(1»--п, в Р', мы разбиваем Р' на кубы со стороной 1,И, ни один из которых не содержит на своей границе точек из А, и так как А — компакт, то существует конечное число кубов Ям 1«1„..., Яз таких, что А с= ( ) Н,. В каж- «1 дом кубе Н, выберем точку Р„лежащую внутри выпуклой геодезической оболочки компакта А, А П Н„и рассмотрим Х, = С(Р„А,) (конус с вершиной в точке Р,) для значения з» такого, что х ~Ям. Положим Р„=х.
Соединим все точки Р, при з чья» гладкими путями у, с точкой х таким образом, чтобй все пути содержались в выпуклой геодезической оболочке А. Получаем вложение А-«.Х=Ц(Х,()у,), где компакт Х, очевидно, полностью заклеивает А во всех размерностях и содержится в выпуклой оболочке А.
Очевидно, что р (Х', А') ч-- С1 и р(Х»()Х А»()А )наС1 0(чо(»(Х) чо) (Х»()Х)~" И~ Рассмотрим теперь случай б). Пусть 1 О, 6)0; тогда 0= «ль = чо1,(А)) ~ «р(а)да. Отсюда снова следует, что существует а, о Оч-«г в~ 1,16, такое, что ф(«г)(6, а потому все дальнейшие рассуждения можно провести, как и в случае а), с заменой 1 на 6. Пусть теперь й)2, п)я+1, и предположим, что теорема доказана для всех чисел Й'~й-1 (число и в индукции не уча- 284 миним»льныв поввгхностн в в»ги»ционных кл»сс»х в7 1гл, в ствует, т. е. любой компакт А, для которого чо1»,(А)(оо, может быть заклеен пленкой Х, будучи вложен в 1с"', где п' любое).
Рассмотрим случай а). Определим функцию бр' (а') = + бб чо1», (А (') П, мм), тогда ~ ф'(а') бйб» ~ чо1», (А) = 1»-» бб — бб о (см. теорему 10.2.3 в [161). Отсюда следует, что существует Ф, 0«бт'«1, такое, что ф'(а») «1»-в. Положим П, =П;,+„„Р, = =АППм где з'внЕ. Тогда ~~то!» »(0,) ф'(а')~!»-в.
Пусть 5 1, '=чо1»,(Р,), тогда У, '1, '«! в (некоторые числа 1, могут бй равняться нулю). Рассмотрим О,, ДА» и обозначим этот компакт через (Обб)". Отметим, что Обб с: б ° М'а»б,б'! дб в- в»б с:(О, )", однако в (Р,,)' могут ока- заться и симплициальные точбн ) (»бб) ~' б'Г б ки. Далее, положим (О, ), = = О, ' (О, )в; здесь мы снова имеем, что О, „-з(Р, ) „причем (»' 1' (0,)„вообще говоря, не исчерпывает весь номпакт О,, Рассмотриме'-окрестность(А () А»-',е') компакта А !)А» ' в (св.
Пусть Рис. 71. г", (а ) = Пб П (А () А» ', е'), № = =(№)в()(№)„(№)"= П, ПА~, (№), № '~,(№)в, (№)" ~ =з №ь (№),с= № „с((ш(№~),~й — 2 (рис. 71). Тогда О, ', г, (е') целиком состоит только из симплициальных точек размерности, не превосходящей й — 2. Ясно, что (Ом' Р, (е'))П(А'()А," ')=3, и можно считать, что граница дР, (е') целиком состоит только из симплициальных точек.
Рассмотрим П, " г', (е'); тогда существует сколь угодно малая деформация (диффеоморфизм, близний к тождественному) гладкого открытого многообразия П, ',г', (а'), неподвижная на границе дР,б(е'), такая, что йп(П, ", Р,,(е'))'П(А" (А" 1) А» ~, в')) в-й — 3, где через (П, ", Р, (е'))' обозначено продеформированное многообразие П, ", г, (а'). Приведение плоскости П, в общее положение относительно А ~;(А'1) А,", е') опирается на то, что путем подбора числа а' можно добиться, чтобы обьем чо!», А Д(() П„) 1 бб был меньше бесконечности.
С другой стороны, выбором бт' йельзя, вообще говоря, добиться того, чтобы в то же время и число ~!. ~А 1А с»1 11п(()п") б " б 5»6! ОБщее изопеРиметРическое неРАвенство 285 51сио, что зтот диффеоморфизм можно рассматривать как ограничение диффеоморфизма всей плоскости П»ь которая заменяется иа диффеоморфное подмногообразие Й„ с= Я', причем П, П П (А () А," ') = )У,!, Компакт П,, П (А " (А" () А," ', е')1 состоит из симплициальных точек, и размерность его не выше чем й — 3, Й, сколь угодно близко 'расположена к плоскости П,.
Положим ОР=Й, ПА, О„=(0„)'()(0„),'*и...()(0„)'„(0„)'- =П» ПА, (0»~)»=П! ПА» (Рз!)! =Пи()(А*()А. )= =Пю П(А ()А! '). Ясно, что чо)»,(0,!) ~ чо1»»(Р, )=1," ", причем чо1»»(0!) = =1, "' может быть равен нулю, хотя 1, ФО. Итак, О, ~Й»н чо1»»А) 1! 'СОО, й)3, О, (Рм)»()(ОН)». Это Разложе.
иие, вообще говоря, не совпадает с разложением О," () О,, Поскольку П„диффеоморфно П»н то можно применить предположе. ние индукции для й'=й — 1; тогда существует компакт В, -э :э 0»ь В, ~ П»ь такой, что В, содержится в выпуклой геодезической оболочке О, в П»ь ч -'(В»ь О,) )! '(О,)",О (соот- ' ветственно Ь »(В ч 0,) й,(Р,)), х, ~0,н для любого!пеиУ„ кроме того, существуют постоянные С=С(й — 1) и 0=0(я — 1), для которых р (В$, (Р,!)') ~ С1»ч и(В; () В»., !', (О! ) () (О, )," ').:; «С1»ь если 1, ) О, а если 1, =*О, то в обоих неравенствах вместо 1, нужно поставить 6»ь т. е. сколь угодно малое число.
И, наконец, чо1»,(В,) чо1» »(В, "() В»,,')~01» ' (или «Рбь', если 1,. О). Рассмотрим компакт А, с: А, состоящий из всех точек компакта А, заключенных между двумя «гиперплоскостями» П, » и Й,. Тогда А=() А,. Положим С=А 0ЯВ,*~, С, В, »() »! ! »! ()А, ()В,!; тогда ~ч~ чо1» ! (В, ) ~ »! »-! ~О(й — 1) ~~~(1;)»-»=0(й — 1) ",'(чо!»»(0,!))» д1 » — ! » †! ч-0(й — 1) ~ч,'(чо1»»(0,))А ' и',Р(й — 1)(;»',чо1», (0,))Х-» = у! » — ! 0(й 1),(, »(!1!))А:»~Р(ь 1)1»-» Отметим, что в сумме ~ символы 1; обозначают либо 1»ч когда »! 1, )О, либо б»ь когда 1, О.
Поскольку чо1, »(С)~чо1»,(А)+ «ва минимАльные пОВеРхности В ВАРиАционных клАссАх О 1Гл. « + то!~ »(( ] В,1), то чо!»,(С)ч-!»-'+0(й — 1) 1»-' (1+О (й — 1)) !»-', (в т. е. операция приклейки к компакту А перемычек В,, изменяет его объем чо1», только умножением на единую постоянную ! + +0(й — 1), не зависящую от исходных компактов. Рассмотрим две точки х«и х» м х, я П«ь х«»яви, м и соединим нх отрезком А,ь заключенным между «плоскостями» Й, н Й«ь Далее, положим С, =С, (3 Л,, А, = А, () Ь„. Тогда две точки х,, и х,, принадлежат одной и той же компоненте линейной связности компакта А,. Этим обстоятельством мы вскоре воспользуемся. Рассмотрим теперь в Р координатную прямую х' и, заменив во всех предыдуших рассуждениях А на С«ь повторим всю эту конструкцию вдоль оси х'.
Мы имеем С, С; ()С,ь„, чо!»,(С,)==: ~чо1»»(С) ((1-(-0(й — 1)) !»-'(ОО, С,*,, С,",,'()...() С,"ь, Компакт С получен из компакта А приклеиванием перемычек В.н поэтому важно оценить, насколько увеличился разброс «плохих» точек С; относительно «плохих» точек А'. Ясно, что р (С;, А "««) ( р (В«, () А; () В,;ь А««) ~ (так ~р(В; „А, ), р(В;ь А,",)]м~пих(С(й — 1) 1, „С(й — 1) 1,]~С(й — 1)1, т. е, прирост «плохих» точек происходит только в окрестности радиуса С(й — 1) ! «плохих» точек А,. Мы должны оценить еще одно расстояние: р(С«, () С -«1 А» () А,, «') ~ так (р(В„() В»,,', (0М)* () (0,,)," Р(ВИ-»() Вр — ь«~ (0«ь») ()(бн»)«]) ~ (тах (С(й — 1)У,, С(й — 1)]е») «=С(/г — 1)(. Отметим, что в обеих оценках мы существенно опирались на предположение индукции для размерности й' й — 1.
Основной вывод, который мы должны сделать из этих вычислений, состоит в том, что при переходе от А к С, разброс «плохих» точек происходит только в окрестности А радиуса М(, где постоянная М не зависит от компакта А и определяется из предположения индукции. Строим, как и на первом шаге, функцию +со <р«» (а)!) = ~, чо!»» (С„Д П,.+и.); тогда <р»» (а1!) й4 ( то 1», (С,,) «- (1 + 0 (й — !)) 1»-» С СО, т. е. существует значение и,'~, О~ц«1«-1, такое, что <р'»(й1!) ~ % ав овшег. изопегиметгическоа немвенство 287 =-:.(1+Р(Е« — 1))Е»-» (либо ~Т 6'-', если то]»,(С,)=0). Рассмотрим плоскости П..
° =П- +,» и положим Р,«*=С, ()П„.. Повторяя процедуру достаточно малой деформации и используя предположение индукции, мы получаем компакты Р... В,нс: с: П„ь удовлетворяющие всем граничным условиям, причем Вем полностью заклеивает Рон во всех размерностях. Далее, рассмотрим часть С«ь лежащую между П, ...и П,,, Обозначим ее через А.ч и положим А,;=А,и»(]бп.ь где отрезок Л,ч* соединяет точки х, и х„... т.
е. этн две точки принадлежат одной компоненте линейной связности компакта А,,. Наконец, положим Рис. 72. С»и = В,,;, () Аен () В,:. Очевидно, что все оценки величины разброса «плохих» точек производятся в точности так же, как и на пе] вом шаге. Продолжая этот процесс вдоль осей х', ..., х", разбиваем Я' на «кубы» со стороной Е, если Е ) О, и со стороной 6) О, если Е О, причем для каждого из этих «кубов» существует достаточно малый диффеоморфизм (близкий к тождественному) на обычный куб, определяемый в 1«' следующей системой неравенств: Ф+ + Е (з» вЂ” 1)(х]<а»+Ез«, П)]+Е(з« вЂ” 1) =.х«~7711(-Е ° з», ... Каждый из кубов )7р,, содержит компакт Ср,», причем А с с: Ц Ср,«=С и выполнены следующие оценки разброса: 31»« р(С', Л")(С'(й) Е, р(С'()С," ', А'()А," ')~С'(я)Е, чо1„,(С) = =то!„»(С ()С, )~Р'(й)Е где постоянные С'(й) и Р'(Е«) получены индуктивным процессом вдоль всех осей и не зависят от компакта А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
