А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 69
Текст из файла (страница 69)
пункт 27.4). Построим по последовательности Х'„" функцию плотности Ж»(Р) и положим 8» = (Р еи М", А !Ч'»(Р)» О). Тогда, как мы докажем ниже, выполнено следующее утверждение. Предложение 29,2.1. Множество Х»=А()5» есть компакт в многообразии М. Существует новая последовательность Х„'"' еию такая, что: 1) чо1»[Х'„'Р" А]-+й», и-+Со; 2) для любой открытой окрестности У компакта А 1) 3» = Х» существует номер М=Л!(У) такой, что чо!»»[Х'„'Р'~У]~со для всех п»М(У). Поскольку, в частности, это означает, что чо!»[Х'„'Р'~(7]=0 при п)Ф, то я-мерные куски новых компактов Х"," накапливаются в сколь угодно малой окрестности компакта Х". Теперь рассмотрим открытые окрестности Уа компакта Х» такие, что Уа'=АУ»'+~ н ПУ„' Х».
Положим ю'-' ° (п!чо!»»(Х~,(7а), где а Х еааг. Тогда в силу предложения 29.2.1 имеем ы"-'(оо (см. свойство 2)). Поскольку ю»„+',»<о'-', то существует предел (быть может, равный бесконечности) 1пп ю»- ' = Л„,. Отметим, что й»»Л», где число Л» определяется по той же схеме, т. е. Л» Иш [(п(чо1»(Х~Уа)], Хеию, У;+~С=У„', []Уа У. а Ф а 1О* »ВЭ минимАльные пОВеРхности В ВАРиАпионных клАссАх О ~гл.
ь Легко видеть, что числа )р» и Л», не зависят от выбора окрестностей У' н Уа соответственно. Поскольку Х», = !!ш е"-', то существует бесконечная после- а рр довательность Х„"'еисд, составленная из таких компактов Х„"', что чо1»,[Х,"'~,ПЦ=рл„''+е„, В„~О, В,-р О, и-ьсо. Как и на первом шаге, построим по этой последовательности функцию (й — 1)-мерной плотности ЧР», (Р), Р ен М~,,Х", и положим 5»-' = ~ [Р ~ М '~, Х» ! Ж»-р (Р) ) 0) П р е д л о ж е н и е 29.2,2.
Мноясвство Х»-' = А () 5" 1) 5»-' является компактом в М. Существует новая последовательность Ха" ев рй такая, что: (1) чо!»»[Хр»~,(7Ц сь„"-р+е„', е„' ~0, е„'-РО, и-р-оо; (2) для любой Открытой окрестности У компакта Х»-' существует номер М = 7р! (У) такой, что чо1»,[Х„"" ~,(7) ( ОО для всех и Ф. Так как, в частности, это означает, что чо1~ »[Х,'а"~,(7]=0, то (й — 1)-мерные куски новых компактов Х„'"' накапливаются в сколь угодно малой окрестности компакта Х»-'. Рассмотрим открытые окрестности Уа компакта Х»-' такие, что (7аР ~ Уа+, и П УаР= Х'-'.
Положим »4 ' = 1п1 чо)»»(Х',(7а), где Х ен д. а Тогда в силу предложения 29,2.2 имеем ь»»-»(ОО. Поскольку ь»»+»,»ь»'-», то существует предел (быть может, равный бесконечности) !!ш ь»"-»=А»». Это число не зависит От выбора сжиа со мающейся системы окрестностей Уа'. Поскольку )р»» = !!ш ьр»-», а рр то существует бесконечная последовательность Х,'"'еига такая, что чо1»»[Х',"~;(7Ц=»4»+В„, е„)0, е„- О, и- ОО. Как и на втором шаге, строим по этой последовательности функцию (й — 2)- мерной плотности ЧР»,(Р), Р ен М",Х»-', н положим 5»-» = = (Р я М; Х»-» ! Чр»» (Р) ) О) и т. д. Продолжая этот процесс вниз по размерностям, мы получаем в конце концов последовательность множеств 5', 5"-', 5'-', ... ..., р', р', р р'-[р и' р, и в~т,ррр>р[, р / р+! оказывается, что множество 5' пусто ввиду 1-устойчивости класса са, На предпоследнем шаге мы имеем компакт Х' А О [) 5', Р>4 П (7»-' Х', »4=!П(то!»[Х~Р-»] где Х ен Рар ь»а<Сор А» !!шар", Х,~со. Рассмотрим последовательность Х!»-"енЮ такую, что чо1»[Х<'-»1~)7»-»[='ь»»-)-в„, ВЕРО, В„-РО, построим ! 1»1 МИИИМИЗИРУЮШИН ПРОИКСС В ВАРИАГ1ИОННЫХ КЛАССАХ О Кчз функцию Фь(Р) по последовательности Х1»-'1, а затем рассмотрим множество 5»=(Рея М~ Х'1Ф»(Р) 0».
Предложение 29.2.(й-2). Множество Х»=А() [ [ 5Р Р 3 яяляегпся компактом в М. Существует новая последоеатгльность Х1»-»' евд такая, что: (1) чо1»[Х!»-»1'~;У»-»] ю»+е'„, е„'твО, е',- О, л-» со; (2) для любой открытой окрестности У компаюла Х' существует номер )ч* = й) (У) такой, что чо!,,'[Х!»- »и'~,Я7[ с. оо для всех л ) й! (У). Рассмотрим открытые окрестности У~ компакта Х', П У~~ ~ =Х», и пусть гв4 (п1 чо1 (Х~ сань, ~), Х ~Ю, = 1пп ю'. Тогда из предложения 29.2.(й — 2) следует, что е'( (со. Существует последовательность Х', ~1 вне, для которой 'чоЦХ~, "",,У„''[=ю,'+е„, е„~О. Построим функцию Ч»(Р) и рассмотрим 5»=(РецМ" Х»!7»(Р)>0».
П,редложение 29.2.(й — 1). Множество Х' 5» () Х» является компактом в М, причем Х* ев кт. Существуеп» новая последовательность Х,',» " енд такая, что: (1) чо1,[Х1» " '~У~ = ю",+е„', е„'.=.-О, е'„-ьО; (2) для любой открытой окрестности У компакгпа Х' существует номер 1у = Л~ (У) такой, ело чо1,[Х1» 1' '~у1~оэ, а потому в силу 1-устойчивости классакг имеем Х1" " с= У для всех л:> й((У). Подчеркнем отличие предложения 29.2.(й — 2) от всех предыдущих предложений 29.2.(з), где !»азой — 2. Именно Х»он »у, чего нельзя, вообще говоря, утверждать относительно компактов Х1, где 3~1=-я; более того, если 5»Ф()), то никакой из компактов Х', 3~1~у, не принадлежит гб.
Итак, описанный выше процесс приводит нас к некоторому компакту Х» ен ю1. Определение 29,2.1. Описанный выше процесс, сопоставляющий каждой я-минимизирующей последовательности компактов Хп'ец8 (т. е. чо1,(Х„"",А)- й» лри и- со) компакт Х'е=-гб (в предположении, что й»(со и что класс Ю 1-устойчив), мы будем называть М-процессом. Вектор Л=(й», Л» „.... Л,) мы будем называл»ь Л-вектором данного М-процесса. )»!ы будем наз»1вать М-процесс конечным, если Л1 ~ оо, 2(1( я — 1.
В действительности М-процесс существует в любом классе О, для которого й» -оо (т. е. можно не предполагать!-устойчивости класса гд), поскольку минимизация одномерного объема (длины) не встречает препятствий. Однако, поскольку для исследования 10 А т. Фьм»»ко »пв мннимальныг. повн»хности в ваги»««нонна«х хласглх о «гл а метрических свойств компактов Х' мы все равно будем предполагать 2-устойчивость класса «В, мы не останавливаемся на случае размерности один. Если с самого' начала предположить, что многообразие односвязно, то зто гарантирует 1-устойчивость любого непустого топологического вариационного класса.
29.3. Конструктивное построение минимизирующего процесса и доказательство его сходимости. Первый шаг. Переходим к доказательству предложений 29.2.1 — 29.2,(й-!), где И)2. Нам потребуются вспомогательные аналитические факты, . обобщающие в нашем контексте некоторые конструкции из [161 и [361.
Лемма 29.3.1. Пусть Х вЂ” компакт такой, что Ас:Хс: М, чо)»(Х~,А)(со. Тогда выполнены соотнои«ения: (3.1.1) «р» (г„Р, Х) — «р» (гм Р, Х) ~ ф» (гм Р, Х) — ф»(гм Р, Х), если Ов--г,(г, Сй»(Р); (3.1.2) ф»(г', Р', Х) ч ф»(г'+й(Р, Р') Р, Х), где г'(Р»(Р'), г ! й(Р Р )~!»»(Р) Доказательство етого утверждения следует из теоремы !0.2,3 в [161 и из того факта, что В(Р', г')с=В(Р,. г'+й(Р, Р')). В дальнейшем мы часто будем дифференцировать функции типа ф»(г, Р, Х), которые, вообще говоря, разрывны; позтому мы подчеркиваем, что дифференцирование понимается как дифференцирование по мере (см, подробности в [16!).
Лемма 29.3.2. Пусть Х яд и чо!»(Х~ А) «(»+а<оо, еде е)0, Пусть 0 =г(Р»(Р). Определим следующие функции: ф»(г, Р, Х) = шах[0, фа(г, Р, Х) — е1, ф»(г, Р, Х) = = шах [О, ф»(г, Р, Х) — е), р,(Р, Х) зпр(г), где числаг таковы, что ф»(г, Р, Х)=О, р",(Р, Х)=зпр(г), где числа г таксвь«, что «р»(г, Р, Х) О.
Тогда почти для всех г таких, что 0 ~г()«»«(Р), выполнены неравенства: ( 0[«р»,(г, Р, Х)!»г«»-м+е, (3.2.1) ф»(г, Р, Х) ~~ ~ И-«г(!+Иаг)«р»,,(г; Р, Х)+в, еде !)=»)(И) — постоянная из теоремы 28.3.1, а «р»,,-каспии«я производная функции «р» по ареументу г; (3.2.2.) р«(Р, Х) ~ р«(Р, Х), ф», (г, Р Х) ваф» (г, Р Х) почти для всех г, О ~ г ( )!а (Р); (3.2.3) фа (гм Р, Х) фа (г», Р, Х) ~ф»(га, Р, Х) — ««««» (гд, Р, Х), если О~г«(га<Р»(Р); (3 2 4) г-»(1+И»г)»ф»(г Р Х) г»(!+И»г)».ф»(г. Р Х) являются неубывающими по г функциями; (3.2.5) «р»(г, Р, Х))н»[г — р,(Р, Х)!», если р,(Р, Х)маг( ( ««а(Р) здесь и» ° И '0' ")О; (3.2.6) ф»(г, Р, Х)~в+И '(1 — И')-»[1+р«(Р, Х))е, если О~г~й'р,(Р, Х), 0(й'(1. Доказательство. Докажем (3.2.1).
Ясно, что почти для всех г ..1«««(Р) мы имеем «р»,(г, Р, Х) чо1»»[Х[)дВ(Р, г)1. »»я минимизи»хющин п»оцесс в в»»ихционных кл»сс»хп зэз Выполним полную' '5-перестройку компакта Х. Дня этого возьмем в качестве открытого множества 6 открытый шар В (Р, г), где г с»т»(Р) тогда Л()6=9. Напомннм, что Х, (Х()6)()х, А» (Х()дб)1)х,У»=Х'~6,У=У,ЦУ„где У, полностьюзакленвает компакт А,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
