А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 73
Текст из файла (страница 73)
е. а!ш П = з и плоскскть П заполнена геодезическими, исходящими из точки Р') с центром в точке Р" такие, что (1.1.2) В(Р», ог) сВ(Р, г) и К(Р«, ог) с(П, аког), где К(Р«, ог) 5'() В(Р', ог), а (П, аког) — открытая окрестность радиуса аког геодезической плоскости П. Более того, числа ео и и можно выбрать так, что в, С()3», з, М)в», где й = 6(()„з, М), и 0(~ы 3, М)$», Доказательство этой технической леммы проводятся по схеме, нспользованной в [16] прн доказательстве леммы 10.4.3 для обычной теории гомологнй и з = й.
До снх пор мы могли рассматривать любое з такое, что 2 ~ «з =.и — 1. Лемма 30.1.1 является тем единственным утвержденнем, для доказательства которого необходимо предположнть, что з'- 3; именно это обстоятельство и приводит нас к рассмотрению 2-устойчнвых топологнческнх варнацнонных классов. Лемма 30.1.2, Пусть Π— открытое множество в М такое, что О() Х""= 3, О() 5«чь ф, где 5«с: Хо, Хо получен при некотором М.процессе, и пусть (3о 1п1Ч',(Р), где |п! берется по точкам Р ~ ОЯ5', т, е. ()о) (3,) 0 (определенне (3,— см.
(3.3.7) в пункте 29.3). Тогда для произвольной постоянной го)0 существует шар В(Р„г») с О (зависящий, вообще говоря, то во) такой, что Р, он 5'!)О; далее, (1.2.1)»р( «(()о+ ео) й, (г! для любого шара В (Р, г), где Ред5', 0«г<.',Р-«(Р), В(Р, г) с В(Р„г»). Более того, для з!о минимхльныв поверхности в злрихционных классах а 1гл,в осек В(Р, г) с В(Р„г,) с С, еде Р я Вв, Он-г<)с (Р), выполнено неравенство ~р, ~ даЬв (г). Доказательство.
Пусть е,«О-фиксированная постоян- ная. Тогда, поскольку ра= (п(Ч',(Р), Рея 5'ДО (ясно, что йа < <со, так как Ч'в(Р)<оо для любой точки Р я В', см. соотно- шение (3.3.7) в пункте 29.3), то существует точка Р,вне*()О ! такая, что р,(Р1) <)за+ 4- е„. Выберем число г,«0 такое, чтобы В(Рм гз)с:О и Ф,'(»„Р!)<(()а+ — зю)й,(гз) Напомним, что Ч',(Р,) =!пп [И,'(р) Чь'(р, Р,)1 (см. соотношение (3.3.6) в пункте р-О 29.3).
Ясно, что такое г,«0 существует. Далее, выберем г,, 1 l 1 0'< г, < — гм так, чтобы (йа+ е„) И, (гз — г!) « ~ба+ — з„' ! Ь, (г,). Поскольку 0<г,— г,<»„то Ь,(г,-г!)«И,(г,) и, кроме того, 1 [)а+ар«()а+--зр Здесь мы воспользовалнсь тем, что Ь,(г)— монотонно убывающая с ростом г функция.
Напомним, что [й,(г)1„'= — зг'-'(1+Ь,г)*-' 0 в силу леммы 29.3.2. Тогда, если для некоторого шара В(Р, г) с: В(Р„»1) требуемое соотношение (1.2.1) (где Р ен В', г<Р-'(Р)) не выполнено, то в силу леммы 29.3.3 получаем неравенства ~()а+-;з,' Ьв (г,)«ф(гм Р!) (см, выше выбор г,), ~,'(»„Р,)~Ч„(г+гз — »„Р). Здесь мы воспользова- лись тем, что г,— д(Р, Р,) ~ г+гз — г„так как г,— г) д(Р, Р,), В(Р, г) с= В(Р„г,), а тогда применимо соотношение (3.3.1) из пункта 29.3. Далее, ф, (г+гз — гм Р)~ф,"(»,— г„р), так кзк г+гз — »1«гз — г„г«0; тогда применимо соотношение (3.3.3) из пункта 29.3 и ф;(г,-»„Р) «(йа+з„') Ь,(гз-г!).
Это нера- венство следует из того, что Ь,'(г) ф;«Оа+е,' (см. предполо- 1 жение противного), г<г,<--ге<ге, т. е. г<гз — гм так как г+г,<2г,<г„а функция Ь,'(1) фз (1, Р) не убывает с ростом Г (см. соотношение (3.3.6) в пункте 29.3), т. е. Ь,'(г) ф,'(г, Р) в= вой '(гз-г!)ф, (гз — гм Р). Наконец, (()а+ар) ° Ь,(гз — гз) « «(~а+--з„'~ й,(г,), что обусловлено выбором г! (см.
выше). Окон! / ! чательно получаем [5а+-;е, '~ И,(гз) «[)а+ — з,'! И,(г,), что не- возможно. Полученное противоречие дойазывает лемму. Лемма 30.1.3. Для любой точки РенУ (где Усачев результат неко»порога М-процесса) и для любого з, 3 в- з в" Ь, выполнено неравенство Ч», (Р) «1 (если В' „-ь !',О), 3 а м е ч а н и е. Доказательство леммы 30.1.3 в некоторых пунктах, носящих аналитический характер, аналогично схеме рассуждений, использованной в [36] для доказательства леммы о плотности и в [161 для доказательства теоремы 10.4.3. Зто зы свинства ахнкции плотности з 1и неравенство для функции плотности верно, восбще говоря, только для минимальных поверхностей.
Данное утверждение, как было уже неоднократно продемонстрировано выше (см., например, главу 3), имеет далеко идущие геометрические следствия. Доказательство леммы 30.1.3. Пусть РенЯ', —.— (пРР,(Р), тогда () ) р, 0 (см. соотношение (3.3.7) в пункте 29.3). Пусть $) 0- произвольное число, и пусть е»= е»($, р, з, М) и и и(5, р, з, М) — числа, существование которых утверждается леммой 30.!.1. При атом надо положить ()» = р =- (пРР,(Р). В силу соотношения (3.3.8) из пункта 29.3 имеем ~, )Ч',(Р)Ь,(г), т.
е, Ь, ' (г) ~р, ив (!. Так как в силу соотношения (3.3.4) из пункта 29.3 имеем у, ~ф;, то 8 ч-Ь,'(г) ~р, ~Ь,'(г)»р,'. Рассмотрим открытое множество б такое, что 0ПХ'+' (О 0ПЯ'Ф(0. РеибПЯ', и пусть [)о»»!и! 1р (Р), Р еи0П Я . Тогда ясно, что ()»а))о. Поло- жим е„' вз (где число е, взято нами из леммы 30.1.1). Тогда мы оказываемся в ситуации, к которой применима лемма 30.1,2, и получаем, что существует шар В (Р,, г,) с= б такой, что Р, ~ Я' П 0 н ф;(г, Р)~-(()о+а»)Ь,(г) для любого шара В(Р, г), где Реп Я' и В (Р, г) с В (Р„гз). Поскольку Ь,' (г) ср, ~ ро, если р ~ 0 П Я, то окончательно получаем: ро»цЬ,'(г)<р, (Ь,'(г)ф»~()о-)-з» для любого шара В(Р, г)сВ(Рм гз)сб.
Доказав зтот факт, мы видим, что оказались в ситуации, когда применима лемма 30.1.1, т. е. (еслн положить ()» ()о) для каждого шара В (Р, г) ~ с=.В(Р„г1), РенбПЯ', существуют точка Р" еи Я' и геодезиче- ская з-плоскость П с центром в точке Р' такие, что В(Р', иг) с= ~В(Р, г) и К(Р", иг) с=(П, $иг), Рассмотрим последователь- ность Х~ '+ ', где р(Х„''~ ПВ(Р», сг), Я'ПВ(Р», иг)1-»0 при п-»со (см. выше) Это означает, что можно выбрать номер У такой, что для всех и) Ь( имеем (1.3.1) К (Р», иг) с: (П, 2е»иг), где К„(Р', иг)=Ф '+и ПВ(Р", иг) и чо1,[К„(Р», иг(2)1 = чо!»[К„(Р», иг)]) [)оЬ,(иг(2) '=~ тз()оЬ,(игЛ).
Поскольку ф, ~ ° и-(ро+ е»)Ь,(г), то при всех п)М мы имеем ~р,(иг, Р", ХГ '+ и )( ~(ро+2е») Ь,(иг). Следовательно, для каждого и) У существует число р„, иг(2я:,р„»-иг, такое, что выполнено неравенство (1.3.2) чо1, д [Х» П дВ (Р', р»)1 ~-, 2 (ро+ 2ео) (иг)-'Ь, (иг). В самом деле, допустим противное (здесь и в дальнейшем мы для краткости опускаем индекс (Ь вЂ” з+ 1)' в обозначении Хм '+ и ): пусть чо1,, [Х„П дВ (Р', р)! ~ 2 (()о+ 2е,) (иг)-' Ь, (иг) для любого р, иг/2~р~иг. Тогда УГ ~ чо1,[Х ПдВ(Р', р)1др - -2(ро+2аз)(иг)-'Ь,(иг) -Фо+2а )Ь,(иг)„ з!з минимлльные повеюхности в вхюихционных кльссьх о (гл.ь т. е. мы получаем ~рр(ог» Р' Ха)= ~чо1, р[Х»ПдВ(Р' р)]4'~ 6 юр чо!,[Х»ПдВ(Р», р)]р(р)(ро+2ею)йр(ог), -а что противоречит (1.3.1).
Итак, (1.3.2) доказано. Поскольку А;(Р', ог) с=(П, 2$ог) (рнс. Уб), то можно считать. что пересечение Х,П[дВ(Р», р,)',(/" '+'] состоит только из дсснмплициальных точек, где д ~ а — 2. Напомним, что Х„~,У» '+~ есть конечный симплициальный подкомплекс размерности д+1~з — 1. Такая структура пересечения может быть получена сколь угодно малым шевелением симплнциального подкомплекса Х„'~У„' '+~. Отсюда немедленно следует, что (1.3.3) чо!,[Х, ПдВ(Р', р,)] =чо1„,[Х»ПдВ(Р' ра)]'и 2(ро+2ео)(ог) 'й,(иг). Выберем в шаре В(Р', ог) нормальную координатную систему т, центрированную в точке Р', и определим следующие компакты: [Х.ПВ(Р, р.)], ~,- [Ф.ПВ(Р, р.)], А.о-т'[Х»ПдВ(В', ра)], р[ао-т-'[Х»ПдВ(Р', ра)], П»р т (П)» 1 ао ~а [С (Пю» Ааю)]» 1 аю /а [С (Пю Ааю)]» А."о - ~апА»ю - 1'ао П По, А."ю - ~апА» - 1'аю П Пр, А'о = А.о 0 Аю, Ааю = Аао 0 А."ю, У„т(г',о), У =т(У,»»), Аа т (Аао), А 'т (Аао), Г» = т (Гао)» 1а т (1 ао)» Аа» т (А„'о), Аа — — т(А„"о), Аа т(А»о) А!- (А;.).
Здесь через и обозначена ортогональная проекция (са-»П, С(П„А»,) — цилиндр етображения и: Аао-~п(А»о), п(А»о) с: По ~а есть радиальная проекция на границу дВ(0, ра) внешности р а~р, р, рт — роро а»р р»»., рта. р слоя) или, что то же самое, растяжение шара В [О, р„. Уà — 25~Р) на весь шар В(0, ра). Так как К,(Р», ог) е= (П, 2$ог), то отсюда имеем У»ос= (По, 2(1+о)оог) $иг) с= (П„5$р„) (см. условия (М)).
Отметим, что для компакта У„о аналогичное включение не выполнено. Из леммы 10.2.2, из теоремы 10.2.2 в [16] и на соотношения (1.3.1) (см. выше), как и при доказательстве теоремы 10А.З в!з а зо! своиства ехнкция плотности в 116), следует, что (1.3.4) чо1,(Г )и;;Ег(1!о+2е,)/4(ог)$, где Е! 8Сиз,(ог)-'(1+7)„Р„У(! — 2Щ-'" (в предположении, что 1+7)ир,и=5/4 (см. пункт 28.1) и С!=Си(з)). Далее, в силу (1.3.3) имеем то1, (Г„) = чо1, (Г,) (так как б!п7 (Г„'~Й„) ~ з — 1 и д(т(А„и'~А„и) ~з — 2), Мы хотим доказать, что проекция п(У„и) полностью покрывает шар П, П В (О, р, к' 1 — 25$и). Допустим противное: пусть проекция п(У,,) не содержит некоторую точку 1~„ен П~() В(0, р„У 1 — 25$~). Положим К=/,(Я„)яПиПВ(0, р„), и пусть д„обозначает радиальную проекцию из точки К области В (О, р„)"Я„' на дВ (О, р,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
