А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Пусть ф„=у,,/„п и 2ли= ф. (У,и) 2.о = = ф„(У»,). Отметим, что А,*,с — — ф„(А»и), так как и (А»и) с= с В (О, р„),В(0, р„)/! — 25$и). В самом деле (рис. 77), ОТ = = р.созф=р„3/1 — 25ви, т. е. Т ендВ(0, р„~/1 — 25Зи), что и требовалось доказать. (и. Рис.
76. Рис 77. В то же время' ясно, что п(А„,), в отличие от п(А„,), не содержится, вообще говоря, в В (О, р„)',В(0, р„)/1 — 274и). Докажем, что компакт (Х„'~У„)()(2„()д»Г,) принадлежит классу гд. Мы уже отмечали, что цилиндром отображения ах А„,— П,П П В(0, р„) является компактС(По, Аии)() 1П,ПВ(0, р„)!. Построим гомотопию Р„стягивающую компакт А„и в плоскость Пс вдоль проекции гк Р„(Г, х)=(1 — 1)х+(п(х), где вектор хин А„и, х— радиус-вектор, исходящий нз точки О; вектор и (х) е= Пм Р„(0, х) = х, Р,(1, х)=п(х).
Ясно, что Р„(1, А и)=п(А,и) с сВ(0, р„);В(0, р, )' 1 — 25$и). Докажем, что (Х,'~У„)() Ц[С(П, А„)1) п(У„)1~О. Выполним гомотопию Р„(!, х) только до значения 1= 1/2 и рассмотрим компакт (Х„' У„) () Л„() () Р„(1/2, У„)-Х„, где Л.=(Р(1, А„), 0=-1==.1/2). Ясно, что Р„(1/2, У„) гомеоморфно У„и, в частности, Р„(1/2, А,) — А„ т. е. А„= А х(0, 1/2). Пусть У„= А„Ц Р(1/2, У„), Х„= = (Х„'~У„Щ У„; тогда определены следующие отображения: вло.
жение 1,: У,-» У, и проекция 1„: У„- У„, причем (и(! — — 17, 7! А. т. Фа»емко З!4 миннмальныв поввгхности з ззгилпионных классах О ~гл. ° ! (з гомотопно 1 — „, т. е. (, является гомотопнческой эквивалентностью, Построим непрерывное отображение г: Х„-1 Х„положив / х, если х я [(Х„~,У,) Ц Ц'~1г„ ! (,(х), если хен У,. Тогда отображение 1'. (Х„, )г„)-~.(Х„, У,) является относительным гомеоморфизмом. Из следукицей коммутатнвной диаграммы (аналогичная диаграмма строится н в когомологическом случае): Ьч+1(Хлэ Уа)-~ Ьч(Ул)-~-Ьч(Ул)-ч.йд(Хяв Ул)-+ Ь~ 1(Уа) ! ! ! 1 .! Ь„,(х„, 37„) Ь,()г„) й,(Х„) Ьч(Х„, $7„) й,,(У„) немедленно следует, что гомоморфнзмы 1,: Ьч (Х ) -~ йр (Х,) являются изоморфнзмами для всех д ~ Е. Поскольку нложейие 1: Х„-~.М гомотопно отображению Ц: Х„-» М, то Я,Ь,(Х„) =(,й,(Х„), где й Х,-~-М вЂ” вложение, т.
е, Х„вил, что н тре. бовалось доказать. Далее, компакт (Х„'~У„)Ц[С(П, А,)Цп(У„Я получается нз компакта Х„гомотопией вложения 1 (т. е.' нужно выполнить до конца гомотопию Р, ((, х)), следовательно, (Х„'~У,) Ц[С(П, А,)1 ц Цп(У„) вне. Применяя к этому компакту гомотопию ~„, мы получаем, что компакт (Х„'~У„) Ц Г, Ц [(„и (У)1 принадлежит классу Ю. Наконец, выполняя последнюю гомотопню — выдавхиванне из К на границу дВ(0, р,), мы получаем, что (Х„,У„) Ц(д„г.) Ц[И. (У.)1- -(Х„,1 „) Ц(д„г.) Ц р„(У„) =(Х„.,У„) Ц(д,.г„) Пг„.Е.
Ясно, что (я,Г,)ЦЯ„~ (й„Й,) ЦЕ„но так как Г, с дВ(Р', р„), то д„Г„ав1'„. Так как Е„ееЕ„~сППдВ(0, р„), то чо1,(Х,е) = О, а потому чо1, (Е, Ц я Г,) =чо), (й„Г ) = чо1, (й,.Г„) = чо1, (Г„) = чо1, (Г„) ( 2, ((Зо + 2еэ) Ь, (ог) $ (см. (1.3.4)). Пусть чо),~Х;~(l", '( Х'е'|~=оэ'„+е„', е,') О, е„'-ю-0; тогда то1,(а„) = 1,[[(Х. У„) ц(й.г.) цг 1, ий- ()("')! «а ~ ы* + е,', — 2-'-Щю, (иг) +2~ ([)о -(-2еэ) й„(ог) й.
свояств» эчнкции плотности В)Ь Здесь мы воспользовались соотношением (1.3.1), а именно: чо1,(У.)= чо1,(У„) = чо1,(К„(Р", р„)!ч(чо(,Я,(Р', ог/2))- '/»()а/0(ог/2) =()ю(ог)'2-'-'~1+(Лог)/2) '= ~ ()а (ог)' 2-'-' (1+ й,ог)-' = йо2-'-»/», (ог). Следовательно, чо1, (»г„) - ь»'„+ е„' — й, (ог) 12»»()а — $ Фо+ 2з») х х8С, (з) р, (ог)-'(1+ т)»р„)'(1 — 25Р) пз] Здесь е,=е,($), о=о($), р„(ог)-'«;1, а потому прн достаточно малом $ выражение в квадратной скобке приблизительно равно 2-'-' (3а, а потому эта квадратная скобка определяет число положительное н, кроме того, не зависящее от п. Отсюда сразу следует, что чо!,(ьг„) «ы'„-)-е„' — т, где т ) 0 н не зависит от и, т.
е. существует номер /ч', такой, что прн всех и) л/, мы будам иметь чо), (Й,) = ы', — (т — е,') ' ь»', — — ( оо, что невозможно, поскольку (Х,'~,У,Щ(д„Г„)()2, ензг, а число ь»', построено по окрестности (/» '(Х'+'). Полученное противоречие означает, что проекция п(У„„) полностью покрывает шар В(0, р,,р 1 — 25$»), а потому в силу леммы 28.3.1 имеем чо(,(У,,»1 = чо(,(У,,») ~ )У,Р'„(1 — 25в»)-'~', т. е. чо1,(У„)~У,Р* (1 — 25з») н»(1+»)ьог)-'.
Устремляя $-~-0, а~со, р,-~-р, а затем используя произвольность числа г, мы н получаем, что Ч",(Р) ~ 1, что и доказывает лемму. Извлечем важное следствие нз этой леммы. Оказывается, система неравенств Ч, (Р) ~ 1, Р вн 5', 3 «з «й, обеспечивает минимальность всех поверхностей 5', а именно: чо1,,(5')=Х,. Лемма 30.1.4 Пусть компакт Х»=Х»(М) получен в результате некоторого М-процесса и 5'с:Х», 3«з«й, Х»~Х'= = Х'+' и 5'.
Тогда выполнены равенства чо(,(5») = чо1,(Х" ~,Х"') = чо1,(Х»'~Хам) г,„где»,,— з-я компонента ) вектора М-процесса (при 3 ~ в «й — 1), и чо(„(Х»",А) = чо!»(Х»~А) =г(». Более того, Ч',(Р) =1 почти всюду на множестве 5' и»Р, =чо1, 15'() П В(Р, г)! почти для всех г«й» '(Р). Если )„=О, то 5'= ф 3 а меча н ие. В этой лемме мы впервые воспользуемся конечностью М-процесса. Все построения, которые проводились до снх пор, выполнялись для произвольного М-процесса. Кроме того, в этой лемме мы впервые воспользуемся тем обстоятельством, что Хзеег.
Доказательство леммы 30.1.4. Доказательство будем вести нндукцией по числу з, начиная с з = 2. Поскольку 5' ф и »э 0 ввиду 2-устойчнвостн вариацнонного класса, то первый 11ь В16 миннмхльныв повврхностн в варн(сцнонных клАссах о сгл.е шаг нндукцнн уже выполнен по тривиальным соображенням. Итак, пусть теперь лемма доказана для всех подмножеств 5', где 3 «а' «а — 1; в частности, зто означает, что чо1,,(Х",Х') = = чо(, ! (5в-с) = Л, ( оо.
Отсюда следует, что чо1, (Х'",Х"') = чо1,(Х'" Х"') = чо1,(5'). Докажем, что чо!,(Хв",Хви')~Л,. В самом деле, допустим противное: пусть чо1, (Хв,Хи+с) < Л,. Тогда, поскольку Л, = = 1(П! «(4„ГдЕ Сев„«(а!+с, тО СущЕСтВуЕт НОМЕР П, таКОй, Чта л са чо1,(Хв~,Хи(в) ас'„„. Рассмотрнм систему окрестностей (С„' '(Х''), определяющих в М-процессе числа 4»'„. Тогда имеем чо1,)Х"41" ') «чо1в (Х",Х") < «4'.„что невозможно, так как Х*~ Ю. В силу леммы 10.2.3 в 116] для каждого р) 0 мы можем найти счетное семейство непересекающихся шаров В(Рь р(), где бг( » р, Р( ен 5', В (Р(, г() П Х"' = ф для любого с', причем такое, что 44(В Вс /С(В(вь „4)и/ !! В(вь В(), рь! где р=1, 2, 3, ...
Из леммы 30.1.3 следует, что К урга=,)" у,гс(1+И.р()-'(1+И,г()в«(1+Ивр)в,У, 'Ии(г)== с ! ( ( ! са св- (поскольку ср (Р;) ~ ~1) «(1+ И р)' )~ ~вр, (рс, Рд =* ( ! (1-(-й,р)' Ч~ ~1!СП ) (П( 4Рв(Г(4 Р(, ХВ '+ )1-я ! п со !а~и ча(1+И,р)и Вщ (п( У,'вр,(гс, Рс, Х," ,'+и):: асора( ч-(поскольку шары В(Р(, р() не пересекаются) ч:; =(1+И,р) !пп [чо1,(Х'„'-*+",Х'"'))= л со = (1+ Усвр)' В П! (а(4„+ Е„') = (1+ Ир)в Л„ л са Итак, мы нмеем,У, 'увг( «(1+ йир)' Л, <- со (в силу конечности ( ! М-процесса), т.
е, ряды ~ у„гс сходятся, Напомним, что для с ! каждого р «О мы подобрали, вообще говоря, свое семейство шаров В(Р„г(). Используя специальный выбор шаров (см. (1.4,1)), СВОЙСТВА ФУНКПИЙ ПЛОТНОСТИ 317 мы получаем чо!,' (5')» ~Ч~ у,г,' ла (1+ йср)') „откуда, устрем<=< ляя р к нулю, получаем Уо(,(5с)~)<,. Сравнивая это неравенство с предыдущим, имеем Уо1,(5') =Х,. Теперь рассмотрим пересечение 5сПВ(Р, г), где г(У' (Р), и выберем счетное семейство шаров (В(Р<, г<)), как н в (1.4,1), но так, чтсбы В (Р<, г;) ~ В (Р, г) для каждого номера <.
Поскольку Чг,(Р)~1 на 5'ПВ(Р, г), то, повторяя приведенные выше рас- суждения для 5'П В(Р, г), мы получаем (1.4.2) уо1, [5с Д В (Р, г)] ~ <Р, ~ ( 1пп Ы чо),~ Х<»-*+и'ПВ(Р, г)[, а »Эл Пусть теперь Реи5', гс. В»-*(Р), и пусть г выбрано так, что чо!,15'ДдВ(Р,г)]=0, чо!,[Х'„" '+и ()дВ(Р,г)]=0для каждого а, выбранного из какой-либо бесконечной подпоследовательиости в (и).
Такие значения г всюду плотны на полуиитервале !О, Я»-с(Р)]. Пусть, кроме того, В(Р, г) П(с'„(Х ~ )=ф. Поскольку Ч',(Р)) 1 на множестве 5"«В(Р, г), то, повторив все предыдущие рассу- ждения для 5";В(Р, г), получаем (1,4.3) чо)ДР' В(Р, г)]~ а~ 1пп <и! Уо!с[(Х<»- +<У««Р- ) В(Р л со а~а а Откуда следует, что то1 г<5 «В (Р, г)] < 1пп Ы Уо! [(Х<»-'+ О'««У»-') В(Р л со а~а Здесь мы воспользовались выбором числа г, Итак, )с чо1,(5») =чо1,(5с«В(Р, г)]+То!с[5'ПВ(Р, г)]~ а-!!Тп !и! чо1, [(Х<»-'+и'«,0' — ')«,В(Р, г)[-1- л сола а -(-1пп <п! Уо1,[(Х<» '+и' «(I» ')ДВ(Р, г)1» и а>и ~ 1пп 1п! уо(,[Х<»-'+ и' '«(Г» — *[ло Вт (»<')=)<„ л со О.ла и и л со а откуда следует, что неравенства (1.4.2) и (!.4.3) являются в дей- ствительности равенствами, а потому <р, = УС!,15с() В(Р, г)] почти для всех г(Я» (Р), В частности, Ч',(Р)=1пп(у,'г"'УО1,]5с() 0 ПВ(Р, г)]).
Осталось доказать, что Ч',(Р) =1 почти всюду на 5'. Обозначим через 2 подмножество в 5', на котором Ч',(Р)~ 1 )1)- —, я<=1,2,3,...; тогда Е,„замкнуто в М««Хс+', Пред- положим, что Уо!,(2 ))О, и пусть число е выбрано так, что О~е~чо1с(Е )/2<п. Покроем множество 2 открытым в много- З1З минимьльныв поввгхиости в вхьихциониых клхссьх о <гл, ь образин М множеством С, где С ~ М'~,5Р+', так, чтобы чо1,!СП(В'~,2 Д(е. Тогда, в силу леммы 10.2.3 в 116)„для любого р)0 можно найти счетное семейство непересекающихся шаров В(Рь !'!), где Р! ен Е„, г<(Р- (Р,), 5г<(р, В(Рь г!) с: С а . г~!Ц В<!ь .,>3~( ! ! В!Рь жф Р=в, ! З....
!! <! р+! Ясно, что семейство В(Р„г!) покрывает все множество Е, ча исключением, быть может, множества ~ с=Я, где чо1,(ь„)='О. Тогда мы имеем чо1,(2„)+е»(поскольку чо1,!СП(У~,2 )1Се)» ~ ~ чоЦВ'() В (Р„г!)) = ~ Ч!,(го Рь В')» ! ! ! ! СО ;и (поскольку Ч', (Р) =- 1+ т-') = ~ , '(! + т-!) й, (г,) ! 1 СО ы (1+пг!) ~~ ~чг<(1+Ьг!)-'»(1+т-!)(!+Ир)- ~ч', ус!Ли ! ! ! ! » (1+т-!) (1+й,р) чо!ь (Е ).
Так как это неравенство должно выполняться при любом е)0 и при любом р) О, то чо(,(Е„!)»(1+т-') чо1,(3 ), откуда получаем, что чо),(У )=0 при любом т. Так как Ч',(Р)»1 на В!, то отсюда вытекает, что Ч',(Р) =1 почти всюду на множестве В'. На последнем шаге при е й все рассум<дения будут аналогичны проведенным выше, однако не нужно будет использовать окрест; ности У"„П 0'„=А. Можно, впрочем, считать, что У", замкнуты а и К4,еаА. Лемма доказана. 30.2. Каждый страт является гладким минимальным подмного. образнем, за исключением, быль может, множества особых точек меры нуль. Как и в случае обычной теории гомологий (см. !16!), можно доказать следующее утверждение. Лемма 30 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
