А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Пусть о'с" Хь=.!(ь(М), где %процесс конечен. Тогда суи(ествует подмножество Е,~ В* такое, что чо1,(Е,)=0 и 8' '~Е, является и-мерным топологическим подмногооброзием в многообразии М. Тем самым, введенный нами выше )<-вектор получает простую геометрическую интерпретацию, а именно: он составлен из объемов подмногообразий В''~,2, ~ М. Лемма 30,2.2. Пусть В! с=. Хз(М), 3~(в=у, где М-процесс 1! — ! ве н ~*к'-!" х~,~! !8'~, и й— -з ясества У' в М, а множество 2! определено леммой 30.2.1.
Тогда э»я док»э»твльство глав»явная миннм»явности $19 «аясдое множество К' является дифференцируемым яодмногообра. вием в многообразии М. Кроме того, К' является минимальным подмногооброзием в смысле классической дифференциальной геомет. рии, т. е. средняя кривизна равна нулю. Доказательство этой леммы опирается на результаты [35), [361, [37) и проводится по отдельности для каждой размерности по аналогии со схемой доказательства теоремы 10.7.1 в [161, поэтому мы не будем здесь на этом останавливаться подробно. $81. Докааательство глобальной минимальности построенных стратнфицированных поверхностей 81.1. Доказательство основной теоремы существования глобально минимальной поверхности, Итак, пусть все предположения теоремы 7,2.1 выполнены.
Рассмотрим класс поверхностей (Х)» и докажем, что он иепуст. В самом деле, пусть Х' Х'(М) есть компакт, полученный в результате какого-то М-процесса; тогда, если вариационная задача имеет смысл, т. е. если М-процессы конечны, иэ леммы 30,1.4 немедленно следует, что чо!»[Х'" А)= =чо1»[Х',А)=чо1»(У) с(»<оо, где»(»=(п1чо1»(У'~,А), Увив. Итак, (Х), => (Х»(М)) для всех М-процессов.
Пусть теперь Х ем(Х)» — произвольная поверхность из этого класса, Мы должны найти подмножество 5»с: Х, удовлетворяющее требованиям теоремы 7,2.1. Рассмотрим бесконечную й-минимизирующую последовательность Х'„", где Х'," яя Х при любом и; тогда чо1» [Х'„"~,А) =б» и к этой последоввтельности можно применить М-процесс. На первом шаге этого процесса мы должны построить функцию плотности тр»(Р), которая, очевидно, в данном случае определена однозначно, поскольку все предельные переходы, фигурировавшие в определении функции Ч(»(Р), превращаются здесь в цепочку тождественных преобразований, поэтому однозначно определено подмножество 3» = (Р ея М~ А ~ Ч» (Р) ) О). Напомним, что о» (О, если Ỡ— — О, и 5»Фф, если б» О.
Ясно, что 8» ~ Х, так как Ч', (Р) яя О, если Р ~ Х. Второй шаг нашего М-процесса оппеделен уже, вообще говоря, неоднозначно (как и в общей ситуации) Тем более неоднозначно ведет себя М-процесс в меньших размерностях, что и приводит к появлению многих глсбально минимальных решений (в общем случае теорема единственности абсолютного минимума' места не имеет). Из предложений 29.2.1 — 29.2 (й — 2) следует, что в результате мы получаем некоторый компакт Х'=Хэ(М), обладающий разложением Л»(М)=А 03»()о»-'()...()Б», причем Х()Х'(М) ~ =эА()3»=Х»(М). Итак, мы выделили в компакте Х однозначно определенное подмножество 3» и включили его в некоторый компакт вида Х'(М) (функция Чг» обрубила с компакта Х все куски Зво миним»льныв поввгхностн в в»яи»ционных кл»сс»х е» пл.
« меньших размерностей и оставила только его й-мерную часть, которая непуста, если Ы»)0). Подчеркнем еще раз, что примененный нами М-процесс, быть может, изменил компакт Х в размерностях з(Й вЂ” 1, но для нас это изменение несущественно, поскольку мы остались в прежнем вариационном классе. Поскольку 5»~Х»(М), то в силу леммы 30.1.4, т. е. при з=й, имеем чо)» (5») = чо1» (Х» (л4)',А)с чо!»1Х (М)',А] =чо1» (Х'~,А), а в силу лемм 30.2.1 и 30.2.2 подмножество 5' удовлетворяет всем локальным свойствам, сформулированным в теореме 7.2.1.
Итак, мы получили полное описание класса (Х)». Этот класс составлен только из таких компактов Х, что для каждого из них существуег М-процесс, обладающий следующим свойством: Х П Х»(М) =э ~ А () 5», т. е. й-мерная часть Х участвует в некотором М-процессе. Тем самым, пункт (1) теоремы 7.2.1 доказан. Переходим к пункту (2), Начиная с этого пункта доказательство резко усложняется. Рассмотрим класс (Х)», и пусть «1»,= =)п1чо1»,(У'~,А'~5»), Уев(Х)», 5»=5'(У). Существование однозначно определенного подмножества 5' (У) ~ У доказано в пункте (1).
Тогда существует последовательность Х„такая, что Х„ек (Х)» н чо1»,(Х„'~,5„")=А,+э„- г(» „где э„~О, е„-+О, 5»=5»(Х„). Поскольку все М-процессы в классе Ю конечны, то для любого Х»(й4) ея(Х)» мы имеем чо1», ~Х'(М)",5»1=Л„-,(М)«оо (см. лемму 30.1,4, шаг 2); отсюда следует, что «(д » ~Л»,(М) ~ ~оо. Требуется доказать, что (Х)»,~ф. Конечно, мы располагаем мощным средством «разглаживания объемо⻠— М-процессом, однако примененйе его в данной ситуации невозможно, как это будет видно из дальнейшего.
Мы применим его только для того, чтобы «разгладить объемы» чо1, при 1 ~ й — 1. Построим по последовательности Х„функцию Ч'» ,'(х ), Можно положить Х„= = Х'„". В данном случае это построение снова неоднозначно, поскольку для получения сходимости можно выбирать различные подпоследовательности в последовательности (Х„). Рассмотрим компакт А()5», где 5»=(Р ев М",А ~Ч'»~(х„)(Р) ) 0~. Компактность А() 5» следует из соотношения (3.3.7) пункта 29.3. Пусть (/„' — сжимающаяся система открытых окрестностей таких, что (7':э(7„'.» и 1'1 У„'=А()5'. Докажем, что для любого а сущеста вует номер )У (а) такой, что компакты А () 5» =А () 5»(Х„) (напомним, что 5" (У) определено для любого У ев (Х)») содержатся в окрестности (7„' прн всех л')й((а), где и' пробегает некоторую бесконечную подпоследовательность в (л).
Подчеркнем, что раньше, например, при построении М-процесса мы могли гарантировать аналогичное включение для л-мерных частей Й-минимизирующей последовательностр только после перестройки последовательности Х„'" до последовательности Х„"" (лемма 29.3.4) Ф »П ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГЛОБАЛЬНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ 321 В данной ситуации мы ие мажем применить лемму 29.3А, так как перестройки в размерности л могут разрушить фиксированную нами сходимость Объемов к минимуму в размерности й — 1.
Однако, как мы сейчас докажем, необходимость в топологической перестройке компактов в размерности л в действительности отпадает ввиду имеющейся уже минимальности поверхностей в этой максимальной размерности. Итак, допустим противное: пусть существует номер а такой, что 5„ П(М'~,У(с)Ф (ьс для всех л, начиная с некоторого номера л =л». Тогда существует точка Р» ен М '~Ц, являющаяся предельной точкой для некоторой последовательности точек Р„ ~ ен 5» П(М'~ус)Г далее, существует число В > 0 такое, что В(Р», К)Пресс (О для всех номеров т)т», где т»~а+1, так как ПУ' =А ()5', (У~с: У„'. Поскольку В(Рсь ЯП(А()5»)= Ф то Чс»~(х„)(Р)=0 для всех точек Р »=В(Р„йс), Отсюда, в силу (3.3.9) из пункта 29.3, мы имеем существование числа Я» О, )чс,<Р(Р») (см.
леммУ 29.3.3) такого, что ф»(ЯИ Р,)~0, где Щ»р1~(х 1, т. е., в силу определения функции»р», имеем 0 !ПП ( ЗЦР Чс» (Г (О)1 6 »~~ас — г!<6 ЦРс. ОД<6 гдв ф~ (г', (Ы = Игп чо1 » [В (»а, г') П Х,,| = 1ип чо1 ~ [В Щ, г') П 5» [. сс сс сс ссс Подчеркнем, что равенство чоЦВЩ, г')П Х„»1 ='чо)»[В(оь г') П5» ~ вытекает из того, что Х„,ен(Х)» (см.
пункт (1)), т. е. чо!»(Х„,~,А) чо1*(5» ). Итак, существуют последовательности Щ и г| такие, Е Р,, В и 1 [Вжьг,)П5"„,! 0,1 . П у г1-»-В,)0, то можно считать, что 4 ен 5'„, (в случае необходимости можно заменить ф на близкую точку Щ и уменьшить г~). Рассмотрим теперь фиксированный номер 1 и компакт Х,,ен ен (Х)». Как и при доказательстве пункта (1) настоящей теоремы, мы можем применить М-процесс к й-минимизирующей последовательности Уа, где 1'Б~Х„, (здесь номер 1 фиксирован, а (1 1, 2, 3, ...), В результате этого М-процесса (отметим, что для каждого номера 1 будет, конечно, свой М-процесс) мы получаем некоторый компакт Х;,=Х'(М) такой, что А()5», С=Х,,()Х;,, и Ч'»/(ч~,х„)(Р)~1 иа множестве 5»(Х„',) 5»(Х,)=5"„(см.
лемму 30.1.3). Обозначим для краткости функцию плотности ввв миним»льиые повеехностн в в»еи»цнонных кл»осах и егл.ь Ч» !(г ° х„) через Ч7, Так как $ ен 5» (Х„,) - 5» (Х„',) (см. выше), то в силу леммы 30.1.3 имеем 1~Ч»»" (ф) 1пп !Л»'(г)»р»"'о (г, ф)1 г ь (см. (3.3.6) в пункте 29.3), где ф»+ш=ф+!(г х„). Поскольку функция Л-' (г)»р»+п1(г, Я~) -неубывающая с ростом г (см, (3.3.6) в пункте 29.3) в пределахотО до Я»Щ), то 1»-Л»'(г)ф+еп(г, Щ для всех г, Ок,:г(ЕЕ»Я). В то же время Еа- Р„а потому Й'(Е)~)-~ЕЕ»~(Р»), т.
е. существует (для номеров Е)Е», где Еь — не-. который, быть может, большой номер) число г„О с, гь с ' (ш!и [Я„В»(Р»)), такое, что 0<гь(В»(Щ при всех Е) Еь н, что особенно важно, число г, не зависит от номера Е. В дальнейшем мы снова считаем, что номер Е фиксирован, но !~ !». Отсюда мы получаем, что 1~Л» ' (гь)»р»+ьо(г». 4), т. е. Л.(..) ф+и (гь. а-ИшГ .р В>(', ®~. ь-»~У .-гчс», г(ег сйсь Это означает, что существует последовательность точек ф и последовательность радиусов ге таких, что ишф=ееь 1ип(г)) гь)0 / Ф / Ф и ф»ш(г), ®= Л»(г,) — у~, где Иш уе О. Напомним, что Узап Х„, Е ю ° а~ ° р-1,2,3, ..., т. е. д(.;, Е,)-чо!.~В(Ь, Е)ПХ.,~- ! ~В(е~,, е)П5й,1Л-Л ( ) — у. Здесь мы снова воспользовались тем, что Уаее(Х)„а потому чо!» 1В(Р, г) (! У»1 чо!» 1В (Р, г) (15'(Уь)Е (см.
пункт (!)). Переходя к пределу по Е, мы получаем ввиду локальной евклидовости почти всюду множества 5»,и в силу лемм 30,1.4,. 30.2.1 и 30.2.2, что чо1» ~ВЯ, гь)Д5~,! ~Л» (гь), а поскольку гьс Вм то имеем О~Л,(г) арча!, ~В(Е)ь ") П5й,1 -.чо1, ~В(()„г,) П5„,Д. Мы напомним, что Е)Е, и так как Иш г~=Я„гь(Я„то можно Е м считать, что г, ~ гь при Е ) Еь. Однако выше, исходя из предположения,'что Р, я М',(Е', мы получили, что чо(, '(В(Яь г ) П 5"„,1 -» 0 при Е-» оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
