А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 70
Текст из файла (страница 70)
В качестве У» возьмем компакт У»07 (см.теорему 27.3.1), где у — путь, соединяющий х сх еэ А,=Х()д6, аУ,— «шапочка», существование которой доказано выше втеореме 28.3.1. Так как почти для всех г, О~г()!»(Р), мы имеем чо!».,(Л») = чо!», (Х () дб) = чо!»»(Х () дВ(Р, г)) = ф»,,(г, Р, Х) (оо (поскольку чО1»(Х) (со), то, в обозначениях теоремы 28.3.1, получаем чо)„,(А,)=Р-'=(ф»,,)<»-цп»»м ~со, т. е.
1=(ф»„)'л»-». В силу теоремы 28.3.1 можно считать, что компакт У, содержится в выпуклой геодезической оболочке компакта Ам т. е. в шаре В(Р, г), 'а также, что чо1»(У»)=чо1»(У») ='61». Поскольку Х»() У» стягивается по многообразию М в точку, то в силу теоремы 27.3.1 мы получаем, что У У» () У»зэк, а потому чо1»(У',А) > .,э»й».
Допустим, что (3.2.1) не выполнено, т. е. ф»(г, Р, Х)) >И" +е, а так как (8~6)()(ЗП6) $, 3 Х~,А, то чо1, (о) чо!, (8 6)+то!» Я 6) > чо1, (Б",6)+ О!»+а~ >чо)» (8'~6)+то!» (У,)+емче!» [(8~,6) () У»!+а чо!»(У)+е) )И»+з, а потому чо),(5))»!»+е, что противоречит выбору о. Напомним, что чо!»(Я) й»+з. Отметим, что здесь мы использовали конечность числа и». Второе неравенство в (3.2.1) доказывается совершенно аналогично, поскольку в качестве У, с= В(Р, г) можно взять конус У, = = С (Р, А,). Пусть ш — нормальная координатная система с областью определения В(0, Я») с=Р' и такая, что ш(0)=Р; тогда положни А»» иг'(А»).
Так как конус У» полностью заклеивает Аы то снова по теореме 27.3.1 имеем У У,()У»~О. В этом случае чо!,(У,) =чо1» (У») «(1+т(,г)»яо!,[С(О,,А»»)~» ~ (1+»!»г) !юг чо1 .»(А»») ~(1+«( г)ы-'й-~ р»,~ ~(1+Ь»г) л-»гф» „ как это следует нз утверждения 10.1.13 в [181, нз теоремы 10.2.! н леммы 10,2.1 (с) в [181, а также нз определения постоянной й». Итак, (3.2.1) доказано. ,Перейдем к доказательству (3.2.2). Если в (3.1.1) устремить г, к г„разделив неравенство на г»-гм то почти для всех г, 0«~г(К»(Р), будем иметь ф».,*~»р»,„а потому н ф»,,(»р»„ что н требовалось. Так как ф»«»р»,тоеслн»р» О, то и ф, О, т. е.
ру ~р» (см. определение р» и р,"), что н завершает доказательство (3.2.2), 1О' ззз миним»льные повеохности в з»ои»иконных кл»сс»х о п.л, о Неравенство (3.2.3) немедленно следует'из (3.1.1) и опреде- ления фы ф,. Поскольку ф»~ф» и ф»~ф»,тоотсюдаследует,что (3.2.7) ф» ч--а . »д и ( й-'г (1+й,г) ф,„, (ф»..)»д " Ясно, что ф*+е(р(ф»+е), где р=й-'г(1+й»г); отсюда ф»ч ~ ф» == рф»+ з (р — 1), где 1» ~ 1, Доказанное неравенство выпол- нл',о почти при всех г.
Теперь мы докажем (3.2.5). Из (3.2.7) следует, что ф»~0х l х(ф»,,)»л»-'а, т. е. (йф»»);)0ц-»н», а тогда ~(йф»»);а(г~ 0"-"'" х о х(г — р»), поскольку г)(йф»»);Фа»»О при гс р». Отсюда находим о а 5 (йф»),а(г= '1 [йф»);бг, йф,')0'-'и'(г — р,), если р~(Р, Х)-.а;г( о м (йо(Р). так как йф»»! =О. Отсюда окончательно следует: ф»~ р: (й-»0'-») (г — ра)», что и требовалось. Напомним, что »»- й-»0»-» ~ О. Докажем (3.2.6).
Пусть О<й'(1, О~г(й'з, где з(р,. Используя (3.2.1), получаем ф»(г, Р, Х) ~ф»(й'з, Р, Х)~ ~з-а(1-й')-' $ й-Ч(1+й»1)ар»,(т, Р, Х)а(1-~-ею„- »» а;.[1-(-й»р,(Р, ХДй-'(1-й')-'~р»(з, Р, Х)+зе-= чцз+й-а (1 — й')-'(1+р,) з, что и требовалось доказать. Теперь мы докажем (3.2.4). Рассмотрим функцию Г(г) г-»х х ! +Ь»г)'ф», требуется доказать, что /',~ О (отсюда будет сле- довать монотонность /(г), гак как' Ь»(г)-гладкая функция, а ф» — непрерывная функция). Ясно, что Ь.-(1+й ) 'г И(1+йг)ф..— йг-'ф») (1+ й»г)» айг»»[й»г (1+ й»г) ф» г — ф»аа ~ О в силу (3.2.7).
Монотонность г(г) доказана. Докажем вторую часть неравенства (3.2.4). Сначала мы установим, что —,[й»'(г)~Я~О, т. е. что [й»' (г)1' ф,+й»'(г) ф»„--- О; здесь Щ' (г) = у»'г-'(1+6,г)'. Ясно, что [й» (г)1; ф»+ й»а (г) фа„, ° у»'й(1+6»г)»-'г»-'[ — ф»+й-'г (1+й,г) ф»г1~0, Ф 3»! мннимнзнРуюшнй пРоцесс В ВАРН»цнонных кл»сс»х б ввт что следует из неравенств: ф, ~ф»„, ф»~й-»г(1+1»г)ф,„ т. е. ф» ~ й-»г (1+ й»г) ф»,„— ф»+й-аг (1+ 6»г) ф»,, ~ О, что и требовалось доказать. Поскольку функция Ь~'(г)ф», вообще говоря, разрывна, то для доказательства ее монотонности требуются дополнительные соображения.
Определим непрерывную функцию )( = 1 .')ф»,,(1, Р, Х)й и положим е ф»-д; тогда ф»*=д+е, т. е. а у — регулярная часть функции ф, а е — ее сингулярная часть. Так как -~- [Ь» ' (г) ф»1 ~ О, то -а- [й»' (г) )(1 ~ — [ — !»»' Гг)1,'е (г), поскольку е,' О почти всюду.
Отметим, что функция Д»' (г))1 непрерывна. Интегрируя зто неравенство, получаем 33 ~ '3;; [)»»' (г) Х1аг )»»' (га) Х (га) — л»' (г») Х (г») ~ 33 /3 ~ — ~ [Ь»' (г)); е (г) й — ~ (»( [)»»1 (г) е (г)1 — п»1 (г) ае (г)) 11 33 — )»»' (га) е (га)+ )»» ' (г») е (г») + 5 )»» ' (г)»(е (г). Отсюда следует 33 6» ' (га) ф» (га) — 6» ! (г») ф» (г») -» ~ )»»1 (г) де (г).
/! Отметим, что йо чь е,' »(г. Докажем теперь, что де (г) ~ О. Действительно, 11ш [е(г;) — е(г!)1 11ш [ф»(га) — ф»(г!)1 — 1!п» [ ф»,,(г)»(г~О, н н 31 3 1 3 1 ° )1 так как ф»(га)~ф»(г!), а предел интеграла равен нулю. Лемма доказана полностью. Лемма 29.3.3, Пусть Х"'аз»о, то(»[Х„"'~А)= д»+а<со, е„)О, е„- О, п-~-оо, и пусть !р„-, »р,- — функции, построенные по послгдоеательности Х,"' (см. выше). Тогда: (3.3,1) функции !р- и»Р»а нг убыаа»от по г и, кроме того, функция »р» (г, Р) полунгпргрыана саерху по г а точке (г, Р); (3.3.2) »р» (г, Р) и-.
! 1П1 ! п1 ф» (г, Р, Х'Р") ~ » е»~» ~1!ш зцР »Р»(г, Р, Х»"').~»Р»(г, Р); » 33 Р>Л звв мииим»льинв повв»хности в в»»и»ционных кл»сс»х о [гл.в (3.3.3) ф»(г„Р))др»(гд, Р), если 0 ~гд(г»( В»(Р). Таким образом (см. (3.3.2)), др»(г, Р) др»(г, Р), когда либо др»(г, Р), либо др»(г, Р) непрерывна по г в точке (г, Р); (3.3.4) др»~др» к др», если О~г(Я»(Р); (3.3.5) ф»(г', Р')ч др»(г, Р), если г'(Я»(Р') и г'+И(Р„Р')« У(Р)' (3.3,6) в каждой точке Реп М',А функции М(г) ф»»к(г, Р) и й»'(г) <рх~(г, Р) являются неубывающими лог функциями. Далее, сущгствуепд предел 1!ш рд»' (г) др» (г, Р)1, в частности: Ч'„(Р) = » 0 = Иш ьцр Рд»'(г)др»(г, Р)1=!!шрд»'(е)др»(е, Р)1.
Кроме того, » ьь<»<» » о функция Ч'»(Р) полунепрерывна сверху', (3.3.7) существует положительное число (!» такое, чпю если Ч'» (Р) '- О, то Ч'» (Р) ~ р» ) О, так что множеапво В» = ° (Р еМ'~А ~Ч'»(Р)>0) замкнуто в М',А, др»(Р))~»>0 на всем множестве 8» и Х» А () Я» — компакт в М. Кроме того, Чд»(Р)(оо для любого Р вв М~А; (3.3.8) <р»(г, Р)~Чг»(Р))д»(г), если 0(г(р»(Р); (3..3.9) если Чг»(Р)=0, то и »Р»(г, Р)=0 для всех г таких, что О»"=г(р(Р), где р(Р) — некоторое положительное число; (3 3.10) пусть Ран В», Рдя В», 0(г(В»(Рд), (В(Р„г))— не более чем счетное семейство непересекающихся шаров таких, что В(Рь г,) ~ В(Р, г).
Тогда дР»-(г, Р)) ~к~~»Р»(г„Р,). Доказательство. Пункт (3.3.!) следует из того, что зцр и !п1 счетного семейства неубывающих функций суть также неубывающие функции. Аналогично получаем и полунепрерыв- ность сверху. Докажем теперь (3.3.3). Пусть р)0 таково, что 4р(г,— г;, тогда , »р»(г, Р)) 1п! Ф (г', Ф), ».-н<».
»(», о,) <» др»(г„Р) м ьцр др»(г', Ог). н-»,<», г(»'. ог)<» Далее, если г')㻠— р, й(Р, Щ(р, г'(гд+р, И(Р, !,дг)(р, то й((Ь„ф) ( 2р и ф» (г', (),) ~ ф» (г'-б(4, ()г), Щ'~ ~ др» (㻠— Зр, Щ ~ др» (г", !гг). Здесь мы использовали (3.1.2). Требуемое соотношение получается при переходе к пределу. Совершенно аналогично проверякпся и неравенства (3.3.2). Далее, (3.3.4) и (3.3,5) следуют из (3.1.!), (3.1.2) и предельного перехода, а (3.3.6) вытекает:ив (3.2.4) и (3.3.1). э и) минимизирхющии плоцесс в в»гилционных кл»сс»х и хвз Теперь докажем (3.3.8). Ясно, что р» (г, Р, Х'„")= лс ° г-» ° (1+Ь» ° г)-» ° [ль»(г, Р, Х'") — ал), где е„~О, ал- 0 (см.
(3.2.1)). Интегрируя по г от г» до г (где Ол-г»л г), затем, устремляя л к бесконечности, а после этого устремляя г» к нулю, получаем с у- '1 Щ-» (1+)с»1)-ъса (1 Р) Щ о откуда Г, ~р» ~ Ч»» (Р) ~ йу~(»-'(1+Ь~()-»-'п( о г са» (Р) ~ [)»» (1)1с»(Г Чс» (Р) Ь» (г) о что н требовалось. Здесь мы воспользовались соотношениями (3.3.6), (3.3.3), (3.3.2). Докажем (3.3.7).
Рассмотрим отдельно два случая: 1) Вт р(Р, Х„"') 0; 2) 1пн р(Р, Х,"') р(Р)лО, где и про» сс л сс бегает некоторую бесконечную подпоследовательность. В слу. чае 1) из (3.2.5) получаем ~р»)к»г»=р»у»г» для всех г, Оч г«: «Я»(Р), где р» — — му»'=й-»у»'Ю-»- О, т. е.
Ч»» (Р) мф»у»'г-»(1 +й»г)» ~~р»у»'г-» (1+6»г)» ) р» (1+я»г)», откуда прн г-».0 окончательно получаем Ч',(Р) ~ [)»'- О. В слу. чае 2) из (3.2.6) имеем ф»(г, Р, Х„"')«е,+я-'(1 — я')-'[1+ + р»(Р, Х,"')1ел, где Ол=г«л'р»(Р, Х,"'), 0«й'«1, Устремляя а к бесконечности, получаем: ф» =0 для 0 «г «Кр(Р), а потому и»Р»(Р)=0. Итак, мы доказали, что лР»(Р) = 0 тогда и только тогда, когда 1пн р(Р, Х'„")=О, а в этом случае выполнено нера» сс венство Ч'» (Р) ~ р») О. Далее, если Р ~ 8», то Ч'» (Р) = 0 «оо', если же Р ед8», то ф»«оо (см.
определение ф»), а тогда и )»»'(г)ф» с.оо при 0«г й»(Р). Поскольку функция й»'(г)ф» ие убывает по г, то отсюда следует, что Чс»(Р)с оо, что и требовалось. Так как М компактно и 3» замкнуто в М'~,А, то А () Б» — компакт в М. Из проведенных выше рассуждений уже легко следует (3.3.9). В самом деле, пусть Ч'„(Р) 0; тогда из доказательства (3.3.7) видно, что р(Р) 1(ш р(Р, Хч'))О (в противномслучае Ч'»(Р)) л сс )~»)0), а тогда ср» 0 для О~г~й'р(Р), О~й'л-),«, зоо минимАлъные поВКРхности В ЛАРиАционных клАссАх о !Гл ь Осталось доказать (3.3.10). Ясно, что выполнена цепочка неравенств ф»- 1пп зцр»р»(г, Р, Х'")~ л оо р,лл ~ В щ (п1 чо1» [Х,"' П В (Р, г)) ) л оо»~л =-... 1!щ !п1 ~ чо1»[ХР'П В(РИ г~))) л оо»~ л ~ "~ ~1(тп (п1 чо1*[ХРРДВ(РН г»))~ 'З,'ф»(г», Р»), л ооллол что и требовалось.
Лемма доказана. Л е м м а 29.3.4 (лемма о перестройке). Пусп»ь Х'„Р ен !В— исходная минимизирующая последовательность, т, е. чо!»[Х'„"~,А)= =й»+ел<со, е,лО, е„-РО, п-~оэ, и пУсть Х»=А [)В» и »р», ф», 'Р» — функции, построенные вьиие. Тогда существует новая последовательность поверхностей Х'„'" ен Ю такая, что чо1»[Х»ч"'~А)=й»+е„', е'„)О, е',-РО, п-лоо, т. е. компакты Х',"' по-прежнему образуют йминимизирующую последовательность„ причем ф» авф»-, Чг»мь»У» и новые функции <р» (не совпадающие, вообще еоворя, с функциями <р») по-прежнему не убывают по г и удовлетворяют соотноигенилм (3.3.1), (3.3.6), (3.3.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
