А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 66
Текст из файла (страница 66)
К вопросу о 2-устойчивости мы вернемся еще раз при изучении бордизмов по модулю р. Отметим, что на односвязном компактном замкнутом многообразии М любой непустой класс У, д является 1-устойчивым. ПрЕдЛОжЕНИЕ 27.4.2. ПуетЬ йь=ИРА — тЕОрия гОМОЛОгий сингулярных бордизмов по модулю р, где р — простое нечетное число. Тогда теория ИР удовлетворяет условию К на категории Р' с= Ус. Доказательство. Пусть йс 5'-  — вложение окружности 5' в двумерный конечный клеточный комплекс В, где у,15А1 либо равен нулю, либо является образующей конечного порядка в группе Н,(В, х).
Если ~р„15')=О, то очевидно, что все гомоморфизмы а: ЙРА (5') -ь ЙА' (В) тривиальны. Пусть теперь а = = ~р„15'1 — образующая конечного порядка т в группе Н,(В, л.), та=О. Допустим, что т и р взаимно просты; тогда, так как группа ЯРА(5') изоморфна группе ЙА ~(х), то каждый элемент у ея ЙРА (5А) имеет порядок р, а потому представим в виде у= т~р', где <р' ~ ЙРА(5'), а так как та=О, то элемент у=лир' также переходит в нуль при гомоморфизме а, следовательно, все гомоморфизмы а тривиальны. Пусть теперь т зр, где з) 1 — целое число. Тогда существует отображение у: В - К (л,, 1) такое, что сквозное отображение Р ь- В -е- К (Ур„ 1) гомотопно тождественному отображению окружности 5' в одномерный остов 5' ~ ~ К (У,„, 1).
Далее, поскольку порядок каждого элемента у ен еп ЙРА(5') равен р, то гомоморфизм (д»р),: ЙАР(5')-»-ЙРА(К(ЕР„1)) является моиоморфизмом, а тогда моиоморфизмом является й ~рь, что и требовалось доказать. Предложение доказано. Следствие 27.4.1. Пусть М вЂ” замкнутое риманово многообразие, и пусть пг(М) п,(М)=0 и В'чьΠ— произвольный набор подгрупп в ЙР(М).
Тогда класс ЯР(х, О, Л') непуст и 2-устойчив, Доказательство немедленно вытекает из предложений 27.4.1 и 27А.2. 2 28. Общее изопериметрическое неравенство 28.1. Выбор специальной системы координат. Пусть М вЂ” полное риманово многообразие, гладкое или класса С', где г)4. Напомним, что система координат ьк 0" — ~М" (где 0" ~ Р' — стандартный открытый шар с центром в начале координат) класса С' называется нормальной системой координат, центрированной в точке Р~М, если в(0)=Р, йу(0) бу, гда йу-компоненты 280 миним»льныв поверхности в вхрилциоиных кллсс»х р ~гл.
о метрического тензора в системе координат о», и если радиусы шара Р" изометрично переходят при 'отображении о» в дуги геодезических, исходящих из точки Р. В дальнейшем через В(Р, )г) мы будем обозначать открытый и-мерный шар с центром в точке Р еи М и радиуса Я, а через С(Р, А) — конус над А с вершиной в точке Р, составленной из всех геодезических отрезков, идущих из точки Р в А (прн условии, что С(Р, А) ~В(Р, гг)). Известно (см. 1351), что любое полное рнманово многообразие М класса С', г~ 4, удовлетворяет некоторым метрическим условиям, которые мы сейчас перечислим и будем называть в дальнейшем условиями (М).
1. Для любой точки Р ~М существует система координат т=т(у', ..., у"), центрированная в точке Р, такая, что йу(0) = = 6у, й, „» (0) = О. 1 ( й ( я, где Ьу — компоненты метрического тензора в системе т, а Йи» вЂ” частные производные этих компонент. Далее, существуют пять постоянных (не зависящих от точки Р енМ) Во, Со, »1», Ко, К„которые удовлетворяют формулируемым ниже соотношениям. 2. Если Р, ~ М и т — центрированная в Р, система координат, удовлетворяющая условию 1, то в любой точке Р ~ В (Р„4Яо) выполнено неравенство 5', ~ Чойу ~+~ Чояу(оа К„где через Чз обоу значен градиент вектор-функции г.
Кроме того, постоянные Яо и Со связаны следующими неравенствами; (1+СФ ) ~ьим)»Г а(1+С го)о 1+С 16К б где РвнВ(Р„4Р»), г=,'у(,,'у' — длина отрезка у геодезического радиуса, соединяющего Ро с Р, ~Ч,'(У)о 1. 3, Пусть т и В(Р„4Я») выбраны так, как в условиях 1 и 2; тогда можно задать в каждой точке Р ен В (Р„4йо) нормальную систему координат о»р такую, что (1+»)»г)-о~йу Я, Р, гор) УУ~ ( (1+»1»г)о, где ~Ч , '(У)о * 1, (е и В (Р, Йо), г =* ) у ( ~ Но, у — геос девический отрезок радиуса шара В(Р, Яо), соединяющий Р с Я (в системе о»р), !ГУ~»Щ, Р)Х'рУ(»»!:а;Чо () ) !(»", ду((е, Р, о»р)— компоненты метрического тензора в точке ф вычисленные в координатной системе о»р, Рассмотрим функцию перехода У(Я, Р, Т) о»г'о»р(9.
Тогда вторые производные этого отображения равномерно ограничены (по модулю) постоянной К» для каждой точки Ро ~ М и при всех Р, Я, Т ен В(Ро, 4)го) 28.2. Сямплициальные точки поверхностей. 0 п р е д ьл е н и е 28.2.1. Пусть Х с: М вЂ” некоторый компакт. Мы скажем, что точка Р ~ Х является симялициальной в-точкой, если суи4ествует числа а) 0 такое, что замкнутая окресгл- Ф 28! Овщее изопеРиматРическое неРАВенстВО 28! ность (У (Р, а') = Х П В (Р, е') точки Р в компакте Х допускает представление в виде конечного з-мерного симплициального подкомалекса класса С' в многообразии М (определение подкомплекса класса С" см.
в 8 6) для любого числа е', 0(е'( е. Иными словами, точка Р принадлежит хотя бы одному замкнутому з-мерному симплексу подкомплекса ХДВ(Р, е), вложенного в М, Множество всех симплициальных точек компакта Х (для всех возможных з) мы обозначим через Х„а множество Х Х, обозначим через Х«. Тогда можно сказать, что точки множества Х' — это «плохие», не симплициальные точки компакта. Мы получили однозначное представление компакта Х в виде объединения Х= Х*() Х„ где Х* Д Х,= ф, множество Х, открыто в компакте Х, а Х" замкнуто в Х. Обозначим через Х,' множество всех симплициальных з-точек компакта Х; тогда д!ш Х,' =з (в каждой точке Р ев Х*,) и возникает однозначное представление множества Х, в виде объединения Х, = ХР!) Х,' '()...!) Х,' (здесь некоторые из множеств Х'„0<2(р, могут быть пустыми), р = =- б!ш Х„причем Х,"ПХ,"=ф, если аФ(1.
28.3. Иаопериметрнческое неравенство. Напомним определение й-мерной сферической меры Хаусдорфа. Мы будем обозначать ее тем же символом чо1„, который используется для риманова объема. Пусть 5 — подмножество в М и й)1 — целое число. Если 5 *ф, то положим чо1»(5)=0. Пусть 5~ ф; тогда мы определим сначала числа ~Л',(5), где г)0 — фиксированное число, положив по определению Л»(5)=!п! Я у(й)г», где 1«'(оо, ! ! у(й) — й-мерный объем единичного й-мерного шара Р» в евклидовом пространстве 1«» и !п! берется по всем покрытиям множества 5 не более чем счетным семейством открытых шаров В(РН г2), причем г«(г для любого 1. Поскольку при стремлении г к нулю числа Л,(5) не убывают, то можно определить внешнюю меру Хаусдорфа *Л'(5), положив 'Л" (5)= 1!ш Л»(5). г ~-0 Пусть ВС=М-некоторое подмножество.
Мы скажем, что множество 5 ~ М измеримо по Хаусдорфу, если для любого В выполнено следующее равенство: 'Л" (В)='Л' (5 П В)+'Л" (В П (М',,5)). В этом случае вместо 'Л" (5) будем писать чо1»(5). Если р(д, то уо1 (5) )чо1«(5), и если чо1„(5) (ОО, то чо! (5) = О. Пусть на Ус фиксирована теория (ко)гомологий 6. Докажем простое, но важное свойство меры чо!,. Л е м м а 28.3.1.
Луста П ~ Р' — некоторая й-мерная плоскость, проходяи1ая через точку Р, и А=5'-'=ППдВ(Р, г), П=Р»=П() В(Р, г). Пусть хан А и У ~ А — произвольный компакт в 1«" такой, чпш 7'"(У, А) ~ ф (соответственно в гомоло- заз миним»льныа повагхности в в»ги»ционных кл»сс»х о ~гл, в гическом случае предположим, что Ь (У, А) ~ ф) для некоторого т ев Е.
Тогда чо1, (У)» чо1, (О). Док азательство. Рассмотрим ортогональную проекцию р: (У, А)-~-(О, А) и положим У' р(У); тогда ясно (см., например, замечания к леммам 25.2 и 26.2), что 7"'(У', А) =»7'"(У, Л) (соответственно Ь (У', А):з Ь (У, А)=~0), а поэтому компакт У' должен содержать весь компакт О (иначе можно было бы осуществить деформационную ретракцию У' иа 3»-'), т. е. чо1»(У')» » чо1»(О) и, кроме того, чо1»(У)»чо!»(У'). Лемма доказана, Теорема 28.3.1 (теорема о шапочке). Пусть М" — полное риманово многообразие класса С', г» 4, и пусть й» вЂ” постоянная из условий (М). Пусть А с: М вЂ” некоторый компакт такой, что А ~ В(Р», Я») для некоторой точки Р», и пусть х ев А — фиксированная точка. Пусть я — целое число, 2(й~п — 1, и пусть компакт А представлен в виде объединения А = А, () А» (см.
пункт 28.2). Предположим, что 0 чо1»,(А) =1 '(оо (отсюда следует, что А, = А', ()... () А'„где з = я — 1). Тогда мы утверждаем, что; а) Если 1,»0, то существует компакт Х = Х' () Х»()... () Х,', содержащий А, сам содержащийся в е-окрестности выпуклой геодезической оболочки компакта А (где е можно считать заданным наперед сколь угодно малым и фиксированным числом) и такой, ипо: 1) Ч'"(Х, А) =Й -'(А) ',0 (соответственно в гомологическом случае Ь (Х, А)=Й»(А)) при всех тевл„т. е.
компакт Х полностью заклеивает А во всех размерностях; 2) существуют две постоянные С *С(к, М) и О=О(я, М), не зависящие от компакта А с: В(Р», й») и от точки Р» и обладающие следующими свойствами: р(Х', А»)ч:;С1, р(Х'() Х,", А'() А, '))=С(, множество Х ", [Х П(Л !) А» ', С()1 является конечным симплициальным подкомплексом класса С' в многообразии М, имеющим размерность з~й — 1 (заметим, что Х» может быть непусто даже в том случае, когда А,' ' = ф), и, наконец, 0 ( чо!» (Х) = 1» (Х ' 0 Х,") = О(", б) Если 1=чо!»»(А)=0 (тогда заведомо Л»» ф и А= = А,"()...0 А'„ач.:',й — 2), то для любого 6,»0 существует компакт Х = Х (6) = Х () Х," ()...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
