А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Наша цель — полностью заклеить компакт С пленкой Х, удовлетворяющей всем условиям теоремы, тогда автоматически мы заклеим и компакт А. Приступим к заклейке С, Напомним, что С,», =Вр,«-« .« .()Л,«,,()В..». где В... =э Р,~,« =эхр,, и Вр,, полностью заклеивает Р,» по отношению к точке хр,, Две точки хр, -« ...и х..., соединены отрезком А...«, а потому принадлежат одной компоненте линейной связности компакта Ар,, и С содержится в а-окрестности выпуклой оболочки компакта А, поскольку таким свойством обладали все приклеенные нами перемычки В,» (рис.
72). Сделаем важное замечание: одномерный симплициальный подкомплекс Е] = Ц () Е],«,», очевидно, стягивается по себе ]«;р«;» (» 288 минимАльные пОВеРхнОсти В ВАРиАпионных клАссАх ф игл, ь в точку, что позволяет заменить отмеченные точки в группах (ко)гомологий. Для каждого компакта Ср,,с=Яр,и выберем точку Рр,и, расположенную в выпуклой оболочке компакта Ср,л, и рассмотрим конусы Х,~,»=С(Р..., С,~ ~). Тогда 7"(Х.1 .и.
С.л .»)=й '(С,,)' О, х,, ~0,, (соответственно Ь,и(Х,и,, С,~,л)=6„,(С,1,.)). Ясно, что С,л,»-1 ЦА,»,и-л,и ('в частности, А Ц ('((Л„)=ДА, = ° » 1М ! Р ° 1 Ар,, л,»ПАА, — „ф, если (з» вЂ” уи(»1, 7~-' (Вр,»-1,», 0р,л-л,л) = Й" ' (0р,л-л,л) "~ О (аналогично и в случае когомологий), Ср,,-1,, = Вр,л-~ а ~ Ц Ц Ал л-1» Ц В ~ а-~ и, И ВСЯ ЗТВ КВРТИНВ РВСПОЛОЖЕНВ В ЦИ линдре (з', ..., з ') вдоль прямой х". Рассмотрим все точки хр, -1, ~0р, -1,» (при переменном з») и точку х, ~ б...и-м причем последняя может и не принадлежать Ц0...»-~,, Поскольку все зти точки принадлежат Ь, то точки хр ~1,» мОжнО соединить путими г,1,»-л,л с тОчкОЙ х1 где все пути ур, -1, содержатся в б и в цилиндре (з'...з"-').
Положим А'; =Ар, -1, Цх,1, -и А' ( ) А',», О,' «и =-0р, -1,»ЦХр,-О В,»=В,~,»-1,«ЦУр, -~,а, 'тОГДа ОЧЕ- видно, что 0', А', (1А', „А', ПА„'а х,, —, если ~зи — уи~) ) 1, Мы хотим заклеить компакт С,'» В; 1 Ц А',, Ц В;» = = С1 а-1 лЦТ1 а-з а ЦУ и и-1 а ПО ОТНОШЕНИЮ К ТОЧКЕ Х ь л-ь КОМПаит Хр,;~,„ЦЕЛИКОМ Заипснаап С 1 л-и л ПО отношению к хр, -,, Так как б стягивается по себе в точку, то компакт Х,»=Х,, —, Цу,, л, Цу,~,-л, „оче- ВИЛНО, ПЕЛИКОМ ЗВКЛЕИВВЕТ С,л а-ь л Цу 1 и-~ илЦТ 1 «-л а по отношению к точке х,л,,-~, именно Етого мы и добивались. Итак, мы имеем С'=СИ, -1=ДС,', С',»=В,'л, ЦА,'»ЦВ',, В;а и содержит 0',и и, очевидно, полностью заклеивает 0;, (см., например, замечание к теореме 27.3.1), Х,', =э С» и полностью заклеи- м Ея .
ОБШЕЕ НЗОПЕРИМЕТРНЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО 289 вает Сл. Отсюда следует, что выполнены все условия теоремы 25.2 (в случае гомологий — теоремы 26.2), а потому. компакт Х' ( ) Х;„полностью заклеивает компакт А' = () А;, во всех мл размерностях по отношению к точке х,м,,-ь Это означает, что Х' Хм,,— полностью заклеивает А'=С...— в каждом цилиндре (з'... Ел-»). Фиксируем цилиндр (з»... »"-'); тогда С,м,л-м= ( ) А...-м, -м и мы полностью возвращаемся в ситуал-м цию, аналогичную только что разобранной. Продолжая этот процесс, мы в конце концов получаем компакт Х, полностью заклеивающий компакт ()А.
=А()Ь, а потому и подавно заклеиваюм! щий А, причем все группы (ко)гомологий центрированы уже в точке х ее А. Итак, мы построили некоторую поверхность Х, полностью заклеивающую компакт А и содержащуюся в а-окрестности выпуклой оболочки А в Р. Проверим выполнение метрических требований. Пусть Р ен С вЂ” э-симплициальная точка; тогда весь отрезок С(ф, Р), вложенный в конус С((~, С), состоит из точек, которые являются либо все одновременно з-симплициальиыми, либо все одновременно (э+ 1)-симплициальными, иными словами, операция взятия конуса переводит симплициальные точки снова в симплициальные. Поскольку р(С", Ал) С'(й)( и р(Сл () С»-', Ал () А»-') ~ л--С'(й)(, то р(Х', А*)*м-(1+С'(й))(и р(Х*()Х», А*()А,'-'):; ((! +С'(й))1(напомним, что р(Х*, С') ~! и р(Х" () Х», С" () С»-')~ :а.:(, так как длина образующей каждвго конуса Х,м,л не превосходила (), поэтому можно положить С(й)=1+С'(й). При построении С = Ц Ср,л было доказано, что то(», (С) ~=; ,У, то!»-,(С,»,л) -= »)' (л) 1»-'.
Поэтому достаточно проверить л неравенства на объемы то1» для каждого куба Яр,л Если Яс:йл, то1»,(Л)(оо и СЯ вЂ” квкус над 2, длина образующей которого не больше чем 1, то чо)»(СХ) л--(й-'чо!»,(А) (доказательство см., например, в [161, теорема 10.2.1). Отсюда следует, что чо!» (Х) - ~Ч '„Й-'чо)»»(С,м, )~й-Ю'(й)(», поэтому можно м л положить Р(и) л-Ч)'(й). Случай а) разобран полностью. Случай б) разбираетея по аналогичней схеме, но только с заменой( на 6.
Теорема о шапочке доказана полностью. Если ( достаточно мало, то й-мерная часть компакта Х накапливается в малой окрестности компакта А' ',) А,'-', Этим обстоятельством мы будем часто пользоваться. м1 10 А. Т. Чмлммммл- ЗЭВ МИНИМАЛ«гНЫГ ПОВЕРХНОСТИ В ВАРИАЦИОННЫХ КЛАССАХ О «ГЛ 6 а=)(ш ( р ).(', а), 6 0 )г — г' <6 16(Е, О«)<6 Е=11ш~ (п( Ь(г.,«), 6-О~ ~г-г,<6 16(Е. О«) <6 ()) =1гп (зпр ф.(. (), Х.,)), «- «Р>! фе(г «Рг« (Г фД (» ф„(г, 5 = 1нп ( «п( «р~ (г, (). Х«Р)1. «-~~ ~61« 9 29.1.
Минимизирующий процесс в варнационных классах .Ь(А, Ь, 6.'), Ь(А« Х) 29.1. Минимизирующая последовательность поверхностей. Функция плотности, связанные с поверхностями. Сосредоточим основное внимание на классах е», поскольку исследование классов д проводится по аналогичной схеме. В этом параграфе мы построим минимизирующий процесс (который назовем М-процессом), позволяющий по каждой минимизирующей последователь НОСТИ ПОВЕРХНОСтЕй В КЛаССЕ Ег ПОСтРОИтЬ НЕКОТОРУЮ ПОВЕРХНОСТЬ из этого же класса, которая, как окажется, будет глобально минимальной.
Предцоложим„что класс е» непуст и что существует целое число з, 3 ~ з < л — 1, такое, что число «(, = = «п1чо1,(Х~,А), Х е= «В, меньше бесконечности. Если такого числа з не существует (т. е. если чо!,(Х~,А) ОО при любом з и при любом Х ~ Еу), то постановка нетривиальной вариационной задачи невозможна. В дальнейшем через й мы будем обозначать наименьшее нз всех таких целых чисел з, что «(,< ОО. Поскольку «(А = (п1 ч О1, (Х ~, А)„Х еи д, то в классе «В существует бесконечная последовательность компактов Х„"', л= 1, 2, 3,..., таких, чтото!,(Х,"'",А) «(А+В„, где В„)0, е„-+О, л-Роо. Положим )«6 (Р)=ш)п1«((Р, А), )т«1, где РеяМ, «1(Р, А) — расстояние точки Р до компакта А.
Пусть Х~М вЂ” некоторый компакт, ие обязательно принадлежащий тополагнческому классу е» и такой, что чо1„(Х',А) < ОО. Определим следующие две функции: «р (г, Р, Х) ~чо1 «(ХПдВ(Р, Щ«((, О ф (г, Р, Х) =чо1„[ХДВ(Р, г)1, где )««6(Р)~0, 0<»<)16(Р) Фиксируем нэ многообразии М счетное, всюду плотное подмножество Я), н пусть в М задана бесконечная последовательность компактов Х„, Х ~ А, «« = = 1, 2, ..., таких, что чо1,„(Х«'~,А)<со (при каждом с«). Тогда из последовательности Х можно выбрать (вообще говоря, неоднозначно) подпоследовательность Х«, 1* 1, 2, 3, „., такую, что «Р функции ф,„(гг Щ Х„) сходятся при /-+ОО для каждого «и для каждого г, 0<» <Я«(Щ, к некоторым функциям ф„(г, Я«).
Построим по последовательности Х„следующие функции: % РЛ МИИНМИЗИРУЮШИИ ПРОЦЕСС В ВАРИАЦИОНИЫХ КЛАССАХ О ХВ! Обозначим через у„объем единичного т-мерного шара 1г-, выберем и зафиксируем положительное число й так, чтобы 1+6 г»(1+»)ог)» -' при 0(г~Р», число й„определено неоднозначно, однако это не отражается на дальнейших построениях. Определим гладкую функцию 6„(г) у г (1+6 г)-, Оа-га,!то. Определение 29.!.!. Пусть Ро(Р)>0 (т. е. РепМ',А). Функцией Ч'„(Р) т-мерной плотности последовательности поверхностей Ха, а'= 1, 2, ..., на многообразии М назовем следующую функцию Ч' (Р) Иш зпр [Ь~'(г)»р'(г, Р)].
Р-ООС~<Р Подчеркнем, что, вообще говоря, функция Ж (Р) определена неоднозначно — по одной и той же последовательности Х„можно построить много функций плотности, — однако если Хааа Х при всех а, то функция Ч' (Р) определена на многообразии М однозначно (в частности, 'Р (Р)=-0 при Р~ Х). 29.2. Краткая схема построения минимизирующего процесса. Рассмотрим в топологическом вариационном классе Ю й-минимизирующую последовательность Х,"', й, » со, и предположим, что класс Ю 1-устойчив, Это — единственное условие, позволяющее осуществить в классе го Р4-процесс. Напомним, что если многообразие М односвязно, то любой непустой топологический класс ю является 1-устойчивым (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
