А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Мы скажем, что теория И удовлетворяет условию К на Р' с: Ус, если в случае 1 (для всех таких компактов В) все гомоморфизмы ~р»„,: И»(5')- — И„(В) 'тривиальны (соответственно в когомологическом случае тривиальны все гомоморфизмы <р$: И»(В)- И»(5')), а в случае 2 (для всех таких В) гомоморфвзм ~р», (при каждом И) илн тривиален, или является мономорфизмом (соответственно в когомологическом случае гомоморфизм ~р$ либо тривиален, либо является эпиморфнзмом). Здесь через [5'1 обозначен фундаментальный целочисленный класс гомологий окружности.
Условие К легко проверяемо. Так, например, очевидно, что теория И, = У, неориентированных бордизмов удовлетворяет усло. вию К. В дальнейшем мы покажем, что теория бордизмов по модулю р также удовлетворяет условию К. П р е д л о ж е н и е 27.4.1. Пусть М вЂ” компактное замкнутое гладкое многообразие, и пусть п,(М)=п,(М) О. Рассмотрим непрерывную и относительно инвариантную теорию (ко)гомологий И на Ус, удовлетворяющую условию К на Р' «Ус, и пусть (,' Ф 0(ф) — произвольный набор подгрупп (подмножеств в случае когомологий) в И (М) (соответственно в И" (М)',0). Тогда класс И(х, 0(ф), Г) непуст и 2-устойчив. Доказательство.
Непустота И(х, 0(ф), Г) очевидна. Рассмотрим сначала гомологический случай. Пусть Х ен Ус, Х ен И,(х, О, С') и У «Х — такой подкомпакт, что У Х',У вЂ” конечный симплициальный комплекс в М, где б(ш У(2. Рассмотрим последовательность П„, составленную из замкнутых полиэдральных окрестностей компакта У в М, и пусть П„выбраны так, что П П,= У. Если мы докажем, что П„я Иь (х, О, 1,') при каждом п, А то в силу теоремы 27.2,1 компакт У = 1пп П„также принадлежит И,(х, О, Г).
Поскольку П„()У=ОХ, то П„()УыИ,(х, О, Ь') при каждом и. Положим У„=(П„() У)',П„; тогда можно считать, что У„, так же как и У, является конечным симплициальным комплексом в М. Фиксируем и и положим П,() У=Х', П„=У', У'= У„. Если б(ш У'=1, то У' состоит из конечного числа отрезков откуда следует, что У'~И,(х, О, Ь'), что и требовалось доказать. Пусть теперь й1ш У'=2. Тогда всегда можно построить настолько мелкое разбиение У' (если это потребуется), что каждая замкнутая двумерная клетка этого разбиения будет гладким двумерным диском 0', вложенным в М. Для наших целей достаточно показать, что из компакта Х'=У'()У' можно безболезненно для реализации набора С' удалить произвольный такой диск 0»«У'. Итак, можно считать, что Х,=У,() Ум где У» — — 0', УА Х»'~Ум Х» ен И, (х, О, Ь'), Я = дУ1 5'.
Рассмотрим вложв- зтв миним»льныв поверхности в в»ри»иконных хл»сс»х (р ~гл.э ние ~р: 5'- У,. При этом возможны следующие случаи: А) ф»15'1 = 0 в группе Н,(У„У); Б) ф,(5')чьО в группе Н((Ум У). Если имеет место случай А, то существует двумерный подкомплекс В ~ У, такой, что <р 15'1 0 в Н,(В У), где ~р: 5' -  — вложение. Поскольку теория л» удовлетворяет условию, К, то все гомоморфизмы ~р»„. Ь»(5')-~й»(В) тривиальны; следовательно, положив 1)=Е, В=В, А =У~', А =Ни С,=Уь С =Н,()В, мы, в силу теоремы 26.1 (все условия которой выполнены), получаем Ю, (М, У,)Ь»(У,)+(,(М, В() Н»)Ь»(В() Н»):з(„(м, Х)Ь»(Х) ~ :з1.». Так как многообразие М 2-связно, то( (М, Х)Ь»(В() Н») =О„ т.
е. С'~1т(,(м, У»), У»~й,(х, О, С'), что и требовалось доказать. Теперь рассмотрим случай Б. Так как ~р, (5') чь О, то ~„(5') = У',тсь где с~ — образующие в группе Н,(У, У). Поскольку У,енР', то можно построить непрерывную деформацию 7(5») в 1; так, чтобы новое отображение (уже не вложение, вообще говоря) <р'.
5'- У, переводнло окружность 5' в одномерный остов У» и ~р' (5') Ч 5„', где 5„' — окружности одномерного ' остова. Деформацию ф в ~р' можно продолжить до деформации диска Н, в многообразии М. Ясно, что полученный компакт Х;=У, () Ф( (где Н; — продеформированный диск) снова реализует набор Г'. Поскольку п,(м)=0, то каждая из окружностей 5„' стягивается по многообразию М в точку, а потому можно рассмотреть компакт Т '() С54, где СЯ„' — конусы над окружноа стями 5„' в М.
Поскольку компакт Т полностью заклеивает компакт ~р' (5'), то в силу теоремы 2б.1 мы получаем, что компакт У,', полученный из компакта У, заменой компакта Л", на компакт Т, снова принадлежит классу И,(х, О, Г). Итак, сохраняя старые обозначения, можно считать, что Х,= У,() Жм где У»=СЕ и 2 =5'=дН„Н,=Х,'~У,, Х,е=л,(х, О, Т.'), и вложение»р: 5'-». У, таково, что»р» 15'1чь 0 и этот элемент является образующей в группе Н,(Ум Е).
Пусть Н Х»- М, 1: У»-~М вЂ” вложения, и пусть В ныл, У ю ы Г; тогда (' = (ч (а) „а ен Ь, (Х,). Требуется доказать, что Г ев еи 1т ) . Допустим противное, пусть 1' ф 1т(„. Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму: Ь„(х,) —, Ь» (м) —, Ь, (м(х,) Ь,(У, —,.-Ь,(М)-„-Ь,(М/У,) э'Ьь» Ь» (Я) — Ь» (Нд) зз Ь» (Н»/2) — Ь» д (Е). сВОястВА ВАРИАцнонных клАссОВ 277 Здесь , — изоморфизм и Х,/У, = НВ~Я = 5', поэтому гомоморфизмы и н, расположены в точной последовательности тройки (М, Х„ У,).
Поскольку Г = 1,(а), то ~р„(1') = О, а так как 1' ей ~ 1т $ Р, то а„(1') чь О, )(э (1') = Г и т, и (1') = О, т. е. а, (Г) = п,(в). Так как Н, = Р', то ЛА(Н1) = О и д — мономорфизм, а потому д(в) чьО, так как вФО (напомним, что н„(в)ФО). Ясно, что ф„д(в)=д'и (в)=д'а,,(Г)=О, т. е. мы построили элемент $енй,,(2), $чьО, такой, что ф,($)=О, где ф: 5'-~У1— вложение, Рассмотрим элемент и=ф,„(5'1енН,(У„Е). Напомним, что мы сейчас находимся в ситуации Б, т. е. я~ О и а— образующая в группе Н,(У,, У). Возможны два варианта: Б,) а— элемент бесконечного порядка; БВ) и†элемент конечного порядка. Разберем сначала вариант Б,.
Поскольку У, ен Р', то существует непрерывное отображение 1: У,- К(У., 1)=5' такое, что 1„(а) = = 15'). Здесь мы воспользовались тем, что порядок образующей а равен бесконечности. Но тогда сквозное отображение 1ф: 5' -~-5' гомотопно тождественному и, следовательно, все гомоморфизмы фРгс й (5')- ЛР(У,) яВЛяЮтея МОНОМОрфИЗМаМИ Прн КаждОМ р Еи У„ что противоречит доказанному выше факту существования элемента $ ен йх А(2) такого, что ф„ ь В (В) = О. Итак, в случае Б, предположение о том, что!' ф 1т 1„, приводит нас к противоречию.
Перейдем к варианту БВ. Поскольку та=О для некоторого т ен Е, то существует двумерный подкомплекс В ~ У, такой, что ~р, [5'1 я Н, (В, У) имеет порядок т и является образующей в группе Н1(В, У) (здесь <р: 5'-~. — вложение). Так как теория л удовлетворяет К, то гомоморфизм ~р„ьР: й„т(Е)- й„,(В) является либо мономорфизмом, либо тривиален. С другой стороны, $ФО и $енКег~р» А „, а потому ~р„, не может быть мономорфизмом и,'следовательно, тривиален.
Положим Р Е, В=В, А,=У,, А,=У„С,=А,()В=У1() () В = У, (так как В с: У,), С, = А, 1) В, С, = У, () В, С = С1 Ц С —— = Х,()В=Хм А=А,()А, УА()НА —— Х„А,ПА,=Р. Тогда компакт В целиком заклеивает Е= 5' в размерности й, т. е. Ь„(В, Р) = йь х(Р), а тогда в силу теоремы 26.1 (все условия которой выполнены) мы получаем Еч (С, С,) Й, (С1)+1, (С, С,) Ь„(С,):» ~1В(С, А) йА(А) мвй„(Х,), поскольку А =С= Х,. Это означает, что а=а,+а„где а,я1,(Х, У,)л,(УД, а, ен1,(Х, В() () Н1)ЙА(В 1) НА).
Применяя к полученному выше включению гомоморфизм 1„, мы получаем Г=(, (а)=1, (а,)+Е,(а,), где.1',(а,) ен ы(, (М, У,)Ъ,(У,), а(,(а,) О, так как(„(М, В() Н,)л,(В()Н,) = О, поскольку б(ш В() Лl, 2 и пх(М) н,(М)=О, так что комплекс ВОНА стягивается по М в точку. Итак, 1'ен1гп(„что противоречит исходному предположению. Утверждение доказано. Теперь перейдем к когомологическому случаю.
Доказательство проводится по схеме, изложенной выше. Можно считать, что вло- 278 мнним«льные повегхности в в«ги«иконных кл«сс«х'6 [гл. е жение !р: 5'-~У, с точки зрения групп целочисленнык гомологий описывается либо случаем А), либо случаем Б).~ Так как в случае А) ~р, !5') =О, то 1тф" =0 в группе Н'(5', Я) и можно указать двумерную пленку В ~ У, такую, что ~р: 5'-~ — вложение и 1т ~р« = 0 в Н,(В, д,). Тогда в силу условия К все гомоморфизмы у$ тривиальны и в силу теоремы 26.1 компакт У, реализует Г, что и требовалось.
Пусть теперь реализован случай Б). Как и раньше, можно считать, что вложение «р: 5'-э У, реализует образующую в группе Н,(Уь д,), Воспользуемся прежними обозначениями для компактов и рассмотрим коммутативную диаграмму Л«(У,)-;Л" (Х,) —,Л«(Х,/У,) ~, )««- (У,) Л«(~)- — Л«(Н,) "— 'Л«(Н,7~) - — 'Л~-~ (~) Пусть ВчьО, У енЦ и 1«(1')чьО, где й Х,— М вЂ” вложение. Мы должны доказать, что 1«(Г) чь О, где 1': У« -«- М вЂ” вложение..
Допустим противное; тогда 1«(Хм У,)1«(Г)=0, т. е. а«(о) =О, о =!«(Г) чьО. Ясно, что о=р«(««) и ы«т«(««)=0, где т' — изоморфизм (так как Х,(У, = Н,!Е). Тогда т' (в) = 6 (з), где $ ~Ф 1т «р« (в противном случае т«(ы)=6«р«(з) =т"6'()(), т. е. а=р«6'(у) = 0). Итак, мы показали, что гомоморфиэм «р«, не эпиморфен. Поскольку мы находимся в ситуации Б), то возможны два случая: Б,) н Б,), Если и — свободная образующая (случай Б«)), то, как и раньше, построив отображение 7: У,— К(д„1), мы получаем, что ф3, обязан быть эпиморфизмом, что противоречит полученному выше утверждению.
Пусть теперь реализуется случай Б,). Тогда сушествует двумерный подкомплекс В с: У, такой, что лкр«!5'1=0 для некоторого т ен д„где ~р: 5'-«В — вложение, и в силу условия К получаем, что гомоморфизм ~э3,: Л«-«(В) И«-'(Х) обязан быть либо тривиальным, либо эпиморфным, однако эпиморфность противоречит существованию элемента $ ~1тф", следовательно, гомоморфизм Ц, тривиален. Применяя теорему 26.1, получаем, что У« по-прежнему реализует Б', что и завершает доказательство. Мы сформулировали предложение 27.4.1 только для случая реализующих классов Л(х, 0(гО), Г); однако из доказательства этого предложения видно, что аналогичное утверждение о 2-устойчивости выполнено и для произвольных классов Л(А, 1., Г), Л(А, Е). Б заключение сделаем важное замечание.
Рассмотрим класс Л(А, 1«-м Ц), где Ц,сй':~" (А)(,0), ЦсЛ$«" (М)(',О). Тогда может случиться, что класс Ю является (Л вЂ” !)-устойчивым, несмотря на то что теория Л вЂ” экстраординарная теория (ко)гомологий. Элементы ВяЦ н 1енЦ ь являющиеся (Л вЂ” 1)-устойчивыми, похожи на элементы обычной теории (ко)гомологнй (см., % 261 ~ ОБщее изопеРимвтеическое неРАВенстВО 27З папримеР, предложение 27.4.1, из которого видно, что условие 2-устойчивости в действительности означает, что теория и ведет себя на двумерных комплексах в большой степени как обычная теория (ко)гомологий).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
