А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 63
Текст из файла (страница 63)
е. г й (а- и(с')) = О, а = и (с') + ь', где ь' ен Кег ($), По доказанному выше и(с"), т. е. а и(с'+с") ~', и,(с,'+с,), что и требовалось г доказать. Переходим теперь к общему случаю: пусть А П В, ~ Р, и хеи еи В,Д В,. Расклеивая лишние точки, мы можем вернуться в предыдущую ситуацию, обладая компактами С () С„Р, Р,„В, г В„А, А, и отображением /: С- С, осуществляющим исходную склейку. Получаем коммутативную диаграмму: Здесь, по доказанному выше, Ъ»»(1) ~», /ЮЪд»(Я;)). Пусть ~ г с~Й»»(С) и с=(, (а); тогда с»,е,(д)=/,!,(д)=/ (Т(„)(т)=~(„,(Я/ )т ~',(, (сг), Г где с, ее И»»(С,), что и завершает доказательство.
266 минимАльные пОВеРхнОсти В ВАРНАционных клАссАх о игл, 6 Теорема 26.2. Пусп»ь А= Д А„А,ПА,+»=О, (здесь 1ч: г ! ч».г -»к' — 1), А,Д А, х, если ~ г — з ~ > 1. Положим Т,=Ь»»(Т),), и пусть В, — такие компакты, ч»по Ь»» (В„)7.) = Г,.
Положим С, А,()В»ОВ, (1(с~У вЂ” 1), здесь В» — — Вм=х, и пусть Х, — такие компакты, опо Ь» (Х„С,) =Ь„, (С,). Тогда, если Х и ( ) Х„то имеет место соотнои»ение » Л»(Х, А)-Ь»»(А). Доказательство. Поскольку выполнены асе предположе- ния теоремы 26 1, то имеем ~', »,(С, С )Ь»»(С)':~»„(С, А) Ь»,(А). Положим Х'=Х, А'=А, Х;=Х„А;=С„1„'=Ь»»(С,) *= Ь»(Х,', А;), В'=С=А'Оп ) А,'~. Тогда в зтих новых обозначе- 1 ~ ниах мы имеем»'ь (В', А') Ь»»(А') ~ ~1ь (В', А;)1.„т. е. Мы по- 1 падаем в ситуацию, когда применима лемма 26,3.
Применяя ее, получаем, что Ь»»(А) =Ь~ »(А') с= Ь»(Х, А), что и требовалось доказать, $ 27. Замкнутость, ннвариантность н устойчивость вариационных классов 27.1. 8-перестройки поверхностей в римановом многообразии. До сих пор все наши построения происходили в категории компактных пар, Теперь наступил момент, когда мы введем в рассмотрение рнманово многообразие М и будем изучать компактные пары (Х, А), вложенные в это многообразие. Определение 27.1.1. Пусть (Х, А) с:.
М вЂ” произвольная компактная пара, х ы А, Ь вЂ” непрерывная и относительно инвариантная теория (ко)гомологий на Ус, и пусть о=(Ь») — фиксированный набор попарно различных целых чисел, 6 — открытое множество в М такое, что ПДА ф (через П обозначено замы- канис С вМ). Рассмотрим следующие компакты в М: Х» —— (Х П б) Ц ()х, А, (ХДдО)Ь)х (тогда А»с Х»), У У»() У„где УА — — Х~,б, а У» — такой компаюп в М, что б»,(У„А») ~ Ь»,(Х„А») для каждого Ь» ен о (соответственно в случае когомологий должно выполняться включение Ч~»(г'», А») ~ Ч»(ХЫ А,)). Мы будем говорить, что компакт У 'г» () У» получен 8-перестройкой компакта Х (с помощью открьипого множества б, компакта У» с: М и теории (ко)гомаеоеий Ь) е алгебраических размерностях а = '»Ь»), и будем своиств» в»ьикционных кл»ссов хвт обозначать его через У, (Х).
Будем говорить, что компактная пара (У, А) получена Я-перестройкой пары (Х, А) (рис. 70). Множество компактов У, с указанным в определении 27.1.1 свойством, непусто: так, например, можно взять в качестве У» компакт Х„тогда 1'=Х. Поскольку У»~ А,, то точка х также должна принадлежать Уь т.
е. У»С~6. Среди множества всех 5-перестроек пары (Х, А) естественно выделен класс перестроек, обладающих важным дополнительным свойством: они целиком заклеивают компакт А,. Такие специальные перестройки будут играть важную роль, а потому мы оформим зту ситуацию в виде следующего определения. Определение 27.1.2. Пусть (Х, А) ~М вЂ” компактная пара, и пусть задана 3-перестройка этой пары У= У,(Х).
Предположим, что компакт У, обладает следующим дополнительным свойством: Ь», (У'„А») -з й»,, (А,) (патветственно в случае когомологий Ч~((Ум А»):зВ '(А,)" О). Тогда мы будем называть такую Я- х перестройку полной 'Ю-перестройкой компакта Х в размерностях о= (е»), а компакт У будем обозначать через л л» 'У,(Х). Компакт У, с указанным в определении 27,1,2 свойством может и не з,/ существовать (например, если множество д6 высекает из компакта Х Рис. 70. множество А„на котором оседает какой-либо нетривиальный (ко)цикл многообразия М), однако в наших дальнейших приложениях множество 6 мы будем выбирать достаточно малым, что гарантирует существование таких компактов У„например, можно взять У»=СА» 27.2, Замкнутость вариационных классов относительно предельных переходов.
Рассмотрим множество всех непустых замкнутых подмножеств в римановом многообразии М, обозначим зто множество через 9 (М). Пусть й (х, у) — расстояние на многсюбразии М между двумя точками х и у. Тогда множество 6(М) можно превратить в локально компактное метрическое пространство (а в том случае, когда многообразие М компактно,— в компактное метрическое пространство) путем введения в 8(М) метрики р(Х, У) (где Х, Уый(М)) последующей формуле: р(Х, У)= зцр й(х, У)-)- »ах +зпр й(Х, у), где через й(г, В) обозначено расстояние точки г »нУ до замкнутого множества В. Все введенные нами вариационные классы О и д являются подмножествами в пространстве 8(М), а потому наследуют метрику р(Х, У), превращаясь в метрические пространства.
В дальнейшем все сходимости в пространстве 6(М) мы будем понимать Заа мннимхльныя поваяхности в влгилционных клхсслх о ~гл. » как сходимости в метрике р(Х, У). Оказывается, что классы Ю и кт являются замкнутыми подмножествами в метрическом пространстве 8 (М), К доказательству этого важного для приложений факта мы и переходим. Теорема 27.2.1. Пусть М вЂ” риманово многообразие без края и А с: М вЂ” фиксированный компакт. Пусть Х„, п = 1, 2, 3, ...,— некоторая последовательность компактов в М, причем все компакты Х„принадлежат одному и тому же классу Ю (или д), построенному по некоторой теории Ь, непрерывной и относительно инвариантной на категории компактных пар.
Предположим, ипо оуи(ествует компакт Х», Х» ~ М и Х» ~ А, такой, что р (Х», Х„)-». -» О при и-»-со. Тогда компакт Х, принадлежит тому же самому классу Ю (или со), что и компакты Х„. Доказательство. Рассмотрим сначала гомологический случай. Пусть Е»: А-» Х». Е»: Х»-» М, Е»а А-~Х„Е„: Х„- М, и=- =1, 2, 3, ..., суть вложения, и пусть Х„т В = Ь, (А, Е, Е'), где Е.=(Е ), Е'=(Е»).
Нам дано, что Е,с= Кег(Е„,)=Ь,(Х„, А) и Ц ~ 1ш Ц„) с Ь» (М). Требуется установить, что Е„~ Кег (Е„). Рассмотрим новые компакты У„~ Ц Х<,] 1) Х», и пусть Е„': А- У„, сь >» Е„'. У„-»-М вЂ” вложения. Поскольку Х„с: У„, то Еь ~ Кег Е„', и Цс1шЕ„'„т. е. У„енй (А, Е., Е'), Ясно, что У„':зУ„+х при любом и и что выполнено соотношение Х» 1)У,=!ип У„, где л через 1Ьп У„ обозначен обратный предел обратного спектра ...
~ У„ -з У„„ =з... Далее, ясно, что гомоморфизм Е„ является обратным пределом гомоморфизмов Е'„„ и, в силу непрерывности теории Ь, на категории ЕЕс, мы имеем Ь (Х»)=Ь„(Е(гп У„) И~п Ьр (У„), откуда получаем, что Кег Е»» = Иш Кег Е„'„а поскольку Ер ~ Кег Е„'„при любом и, то Ер с: Кег Е»„что и требовалось доказать. Теперь мы докажем, что Цс:1ш1»».
Поскольку теория Ь' точна на ЕЕс, то Ц с= Кеги„„где а„,: Ь, (М)-» Ь,(М, У„), а потому достаточно установить, что Ц ~ Кег а»„, где а»„. Ь (М) -». -»-Ь (М, Х»), 1ш1»» — — Кегаь . Так как (М, Х») Иш(Й, У»), то сх»» = Ишс»„„и тогда требуемое утверждение следует из приведенных выше рассуждений для набора Е.. Рассмотрим теперь когомологическнй случай.
Сохраним все обозначения, введенные нами выше, н докажем сначала, что У„ы Ь» (А, Е, Е'), где Е () 1ш Е„*(О и Ц() Кег Е» Е;О. Установим, что 1гп Е'„» () Е„= (Е). В самом деле, допустим, что существует Е+О такой, что ЕенЕ», и Е Е (у,), где у,ыЬ»(У„), Пусть»рз: Хв-» 1'» — вложение (вто вложение определено прн В,Щ '~ сВоистВА ВАРИАционных клАссоВ 13 ~и); тогда из коммутативной диаграммы лР(А) РЯ;,) (здесь т — любое целое число, т~п) следует, что 1=(р~р„"'(рр), т. е.
1~1т1", что противоречит выбору элемента 1. Рассмотрим теперь все такие номера д, что Ц чь ф, и докажем, что 1'„" (1') чь 0 для любого 1'~Ц, 1'~0, В самом деле, допустим поотивное: пусть существует элемент 1'енЦ, 1'~0, такой, что 1„'(1')=О. Тогда нз коммутативной диаграммы 5'%> ' грр йг(х ) (где пг~п) следует, что 1'". (1') О, что противоречит выбору элемента Г. Итак', У„ый'(А, Ц Е') для любого и. Теперь установим, что Л П 1гп (рР ф, где 1сс А - Х,.
Допустим противное: пусть существует элемент 1чьО, 1~ЕР, такой, что 1 1;(г), где аеяйр(ХР). Тогда нз теоремы 2.6 гл. Х в 110) следует, что существует номер а такой, что я=~4(и ) для некоторого элемента и енМ(У„), где ~р„: ХР-~-У,„— вложение. Отсюда и нз коммутативной диаграммы ЬЮ ~ Ри) лР(у ) следует, что 1 1о (з) = 1~о$а„(пч) * 1~а (иск), т. е. Ер П 1ш (~а чь ф (так как 1чьО), что противоречит доказанному выше утверждению, что У ен й'(А, (., Г) при любом а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
