А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть Я(, ) — тензор кривизны римановой симметрической связности в касательном расслоении ТИ многообразия й(. Двумерной (секционной) кривизной вдоль площадки, натянутой на векторы Х, У ыТ„)ч', называется величина р„(Х, У)= — ()с(Х, У) Х, г')„. Здесь скобки обозиачаютскалярное произведение в Т„И. Говорят, что многообразие й' имеет неположительную секционную кривизну (по двумерным направлениям), если р (Х, г') <0 в каждой точке х я)ч'; Х, г'ев Т„)ч'.
Отметим, что риманову метрику неположительной кривизны можно ввести на замкнутых двумерных ориеитируемых поверхностях рода у~1. На сферах 5" при п)2 метрик неположительной секционной кривизны ие существует. Довольно просто построить пример отображения, которое не имеет гомогопного ему гармонического отображеии.я. Для этого нужно рассмотреть гладкое отображение двумерного тора в двумерную сферу степени +.1 (см., например, [1011). В этом примере римановы метрики иа торе и на сфере могут быть выбраны произвольно.
Теорема 24.5.1 (см. [1031). В следующем ниже списке пере«ислены те гомотопические группы сфер, которые допускают гармоническую реализаиию, т. е. каждый элемент которых (каждый гомотопический класс) содержит гармоническое отображение: 1) и (5л) Я п=1 2 7' 2) и+~(5л) Е, и 3 4 ... 8; 3) пг(5~)=Яэ~'4) пв(5е)=Ем', 5) пэ(5ь)=Ее~' 6) пм(5ь)=Ее.
Далее, существуют группы, в которых лишь часть элементов имеет гармоническую реализацию. Например; 7) в группе пь (5') =Е г4х Вл»и»циокные методы В топологических з»длч»х !Гл. б гармонически реализованы элементы вида -+ й», где А — целое число; 8) в группе п,(5') =Я+У»» гармонически реализованы злементы вида (.+. к», О), где й — целое число; 9) в группах и„+»(Б") =Е»4 при п = 5, б, ..., 1О реализованы гармонически лишь единицы (кроме группы п»(5»), которая реализована гармонически полностью, см. выше). Будем называть отображение ~! Б"-«5» гармоническим поли- номом, если /=Р~ „где Р: 7""-«Р~" таково, что функции Р (1=1, ..., р+1) являются гармоническими однородными полиномами (одной н той же степени однородности).
В этом случае отображение 1 также оказывается гармоническим (см. 1(031). Джойном двух отображений евклидовых сфер 1;. Б" — 5» и !». Б -«Бе мы будем называть отображение ),»1»: 5"" "-« -«5»+е"', которое в декартовых координатах (х, у) ен Р+'хР +' н (х', у') ~ Р'+'хР»+» имеет следующий вид: 7» в ~» (х, 'у) = () х ) /» ( — ) ) у ~ ~» ( — ")) Т е о р е м а 24.5. 2 (теорема о джойне). (См. 11031.) Пусть 7;. Б"- 5» и Г»: Б -«5» лвляютсл гармоническими полиномоми степеней однородности й, и й, соответственно. Тогда: 1' 2 — ! (1) если й~)0(п — 1), А, 6(т — 1), где 0= —, то суи(ествует гармоническое отображение Ф: Б"' +» -«5»+в+', гомотопное джойну ~,э/,; (2) если я» = й», и = т, то также суи(ествует гармоническое отображение, гомотопное джойну ~, э~».
Доказательство теоремы о джойне будет дано ниже. Здесь мы покажем, как нз этого утверждения следует теорема 24.5.1. Обозначим через 1„тождественное отображение 1„: Б"-«Б", через л»1: Б"+» -«5»+» обозначим й-мерную надстройку над отображением 1: Б" ~-5», определяемую формулой Е»/=.(»,в!. Через й». Б'-«Б' (где й — положительное целое число) обозначнмограниченне на окружность единичного радиуса отображения комплексной прямой Ф: С-«$, Ф(г)=г".
Через Н;! Б'-«Б', Нб Б'-« -«Б' обозначим расслоения Хопфа. Очевидно,.что отображения 1„ н й» являются гармоническими полиномамн. Можно показать, что отображения Н, н Н, также являются гармоническими полиномамн (см. 11031). Гладкое локально-тривиальное расслоение вп М-«У, где многообразия М н М римановы, назовем рима- новым расслоением, если для любой точки хея М ограничение дифференциала проекции (йп)„на подпространство У„в ТМ, ортогональное к слою, проходящему через точку х, является ортогональным линейным преобразованием пространства У„на Ть!„!И.
Нетрудно показать, что расслоения Хопфа Н, и Н, рима- новы (это следует, например, нз того, что онн являются расслоениями на орбиты действия групп изометрий расслоенного про- ТРи геометРические зАДАчи х43 странства, именно групп У(1) с= 80(4) и 8р(1) с= 80(8)). В[103) доказан следующий факт. Лемма 24.5.5 (см. [103)). Если и: М-+ йГ яеллется гармоническим риманоеым расслоением и отображение ): М-~ Н' гармоническое, то отображение Г ° ги М вЂ” М' также гармоническое, Это утверждение позволяет получить гармоническую реализацию перечисленных выше элементов гомотопических групп сфер. Используемые ниже явные выражения для представителей гомотопическнх классов через комбинации отображений )'„, с(м Н„Н1 можно найти в [105).
(1) и„(5") =У„где элемент к ~ У. представляется отображе~л-1б, (2) п„.,(5")=ЕЕ при п~3; единица группы представляется отображением ле-аН,. (3) Взяв джойиы НЕОНЕ и Н,еН„мы получаем реализации элементов групп и,(5з)=л,з и иы(5') =л:з (4) Класс к ~ Е„= п,(5') представляется отображением Н,еб,. (5) Гармоническое отображение, гомотопное ЕА-АНИ реализует единицу 1 ев Е„= п„„(5"). (6) Пусть (ХНА)' — гармоническое отображение, гомотопное ЕН;, тогда 'отображение (лНА)' Н, гармонично по лемме 24.5.5 и представляет элемент 1 еи Ее = и,(5з).
(7) Отображения (Щ)' ° (+ Н,) и (Х'й„)' ° (~ Н,) также гармонические согласно лемме 24.5.5 и представляют элементы вида + й'я У,=п,(5з) н (+й', 0) ен У~Ем=и;(5А). Здесь к — целое число и через (ЫА)' и (Е'б,)' обозначены гомотопные соответствующим надстройкам над ЙА гармонические отображения, Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы о д ж о й н е (теорема 24.5.
2). Имея два гармонических полинома Г~'. 5"- 5Р и1,: 5"- 5е, для которых выполнены условия теоремы 24.5.2, мы должны построить гармоническое отображение Ф: 5"+""'-~ 5Р'е+', гомотопное отображению ~,ч~,. Следуя [103), мы будем искать это отображение в виде Ф(к, у)=[з(па(() Г,~-„-)), соза(г) ),(Я, (6) илп где 1=1п( —,~ ~( — со, + со), сс(1) — гладкая функция на Р ~Ф такая, что 0(а(() п(2 и существуют пределы при (-~+ со, а( — х.)=0, а(+ .С)=п!2. Можно проверить, что для того, чтобы представить джайн г"„ег, в виде (6), нужно взять а(1) = = агсз(п (е9(е'+е-'))и', откуда следует, что отображение вида (6), где функция а(() удовлетворяет перечисленным выше условиям, действительно гомотопно джойну (, я (,. Далее мы будем предполагать, что л, т~1.
Случай п=О (или т=О) соответствует однократной надстройке над отображением г, (или ~,) и разбирается совершенно аналогично. Кроме того, мы будем предполагать, что отображения «» Гз не постоянны, т44 вхгизционныа матоды в топологичаскнх злдлчлх пл. з Сейчас мы редуцнруем проблему нахождения гармонического отображения (6) к задаче решения обыкновенногодифференциального уравнения второго порядка. Известно (см. 11041), что если В Ф-+У' — изометрическое вложение и ~~ С (М, У), то)'гармонично тогда и только тогда, когда поле средней кривизны Н(Ц) ортогонально к Т(1(М)) в ТМ'. В применении к сферам это означает, что для гармоничности отображения Ф; Ял~- +1-+уж+~~ т)гам необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Н(Ф)= = ~рФ, где ф ~ С (Я"+"") и Ф рассматривается как отображение в евклидово пространство (кг+т".
В этом случае, как было отмечено выше, Н(Ф)'=Л,Ф', (=1, ..., р+д+2, где Л,— оператор Лапласа на сфере. Теперь заметим, что отображение Ф(х, у) (см. (6)) определено, вообще говоря, в Р"."+"~,(0), и используем связь между оператором Л, и оператором Лапласа Лэ в Р"' +', которая задается следующей формулой: если феи С (Рн'"+'), то б,(ф',; )=~'(асаф) — д;; — (и+т+1)д д—,1~ „,„„. дгэ дг 3 эл+а+1 д Здесь —, — производная вдоль радиус-вектора.
В силу того, что дФ вЂ” =О, мы получаем, что для того, чтобы отображение Ф э,+„+1 дг было гармоническим, необходимо и достаточно выполнение равенства (блФ)',з н +1=УФ!э+ +1, (7) где <р~С (Я"' "). Обратимся теперь к отображению з!па(1)х х~ ( 1: Рм™~,10)- РУ". На произведение функций оператор х ц х(/ ' Лапласа Ья действует следующим образом: и+! би(з)па 1,)=1,биз(па+2 ~~ — д„г- а-.т+з(па бл)ь (8) %~ дмпа дй с-~ /х1 Отображение 11( — ) можно рассматривать как композицию ~~ д Ягн.1" (0) а Яа Ь (~Р+1 аг (х) 1х)' Рассмотрим формулу средней кривизны композиции двух отображений: Н (/, ° (3) = 4, (Н ((3)) + (г А Д) (ф, 43).
Легко установить, что проекция р гармоническая, т. е. Н(р) О, Кроме того, на касательных пространствах сфер дифференциал ар является конформным преобразованием с коэффициентом конформности 1/г', где г — радиус сферы. Другими словами, если а, Ь я я Т„$ (г), тО (43 (а), 4(р (Ь)) = -, (а, Ь). Таким образом, блЛ Я ТРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 1 = Н (!в й) =,—, Ь,|в. Поскольку Гв — гармонический однородный полипом степени однородности кв, то это означает, что функции 1,'~ являются собственными функциями оператора Лапласа Л„ соответствующими собственному числу А,, = к,(кв +н — 1).
Следо! х1 вательно, Ь,"(в=)о], и бегв ~(,„т) = — „, ХвГА, Рассмотрим второе слагаемое в (9). Оно равно нулю в силу нулевой однородности Г! х 1. Действительно, ~!х~!' — Х вЂ” —;— до!па дй . 'Р х' % . ! д) г — сова'а 7 '~~ йсозй' — ' О. х л~в( в~в дх' !х, 'дг в ! Прямым вычислением мы находим далее Лез!па. Проводя под- счет для отображения сова(1) Гв! е ): 1с"" в",(0)-Р!ко+в, полу- М.У 1! чаем следующие выражения: бе(з!па 1в) +;, ( )! Х, Ып а (Мп й) йв — (сов а) а ° Г(и — 1) (л — 1) )) )х~в !х!в~у,'в !у!в ~х,в ]) бе(сова Гв)= Авсова, (сова) а +(в!па) а .
Г(т — 1) (л — 1)11 = — -1- + ' 1, ~ ]!Г 1ея !х~в'и" 1 ~ЕР !хй  — (з!и а) а ~ — — ]1Гв где Х,=к,(й,+н-1), Ач=йв(йв+т — 1), йв, й,— степени одно- родности полиномов Г, и Гв соответственно. Подставив з эти рав в венства величины !х~в —, !у!в= — н использовав услос+ !' вс),в вне (7) пропорциональности беФ и Ф на сфере 5"+ +', мы при- ходим к следующему уравнению на функцию й(1), эквивалентному условию (7): й (1)+ (е'+ е-')-' (1(н — 1) е-' — (т — 1) е'] а (1) + +(Аое' — Аое-!) з!и а(Г) соз а(Г)) = О. (9) Заметим, что условия теоремы о джойне, а именно: йв~д(л — 1) и йв)8(т — 1) — можно переписать в виде (п — 1)в~41„, (т — 1)в< 4вч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
