А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 55
Текст из файла (страница 55)
' Пусть С= ( ) 0(Ь), и пусть С=ехр(С) с:.М"; тогда (см. пункт ЬЯК 17.4) множество С гомеоморфно С в случае односвязного М и дополнение М',С есть в точности множество всех первых сопряженных с точкой е точек в М (где е=ехр(0) — центр шара). Итак, любое компактное односвязное симметрическое пространство М можно получить из л-мерного шара С, профакторизовав его граничную сферу дС по некоторому подходящему действию компактной я-! А группы. Поскольку все (сх~ многообразие М целиком заметается максимальным ! тором Р =ехр(Р) при вращении этого тора вокруг точки е присоединенным действием Н, то почти все Рис.
63. интересующие нас события мы будем изучать иа этом торе, размерность которого называется рангом симметрического пространства. Выясним структуру минимальных эквивариантных поверхностей в симметрическом пространстве. Выше мы привели полный список всех эквивариантных минимальных конусов коразмерности один вевклидовом пространстве. Оказывается, эти конусы являются «линеаризациями» глобальных минимальных пленок, расположенных в симметрических пространствах ранга два.' Более точно: евклидово пространство й" мы естественно отождествим с касательным пространством В к симметрическому пространству М =0)Н; минимальный конус СА"-з оказывается тогда касательным минимальным конусом.
ассоциированным с особой точкой минимальной гиперповерхности, содержащейся в М", причем многообразие А"-э совпадает с однородным пространством Н/Н вЂ” главной орбитой присоединенного действия стационарной группы Н на многообразии М (рис. 63). Эти замкнутые минимальные поверхности допускают очень простое описание в терминах некоторой гладкой функции, заданной на многообразии М", а именно: минимальные поверхности являются ее поверхностями уровня.
Более точно: пусть ~ (() — гладкая функция, заданная на максимальном торе Р ~ М (ниже мы предьявим зту функцию), размерность которого в нашем случае равна двум. По этой функции 7 (г) можно построить новую функцию ) (х) на всем многообразии М, положив )(х)=!()), где 1=йхй-' для некоторого й ен Н. При этом выбранная нами вначале функция 7'(() на торе должна быть инвариантной относительно группы Бейля, 2зо выилииоиныг мгтоиы в топологичгских злдлчлх (гл. в которая действует иа этом торе. Другими словами, функция 1(х) постоянна на орбитах присоединенного действия группы Н на М.
Рассмотрим поверхности уровня 1(х) = сопв1 тем самым определено слоение многообразия М на замкнутые гиперповерхности, являющиеся многообразиями без особенностей, за исключением единственной гиперповерхности, являющейся минимальной. На ней лежат особые точки описанных выше типов (конусы). Поскольку функция 7(х) была Н-инварнантной, то все ее поверхности уровня также Н-инвариантны. Какие функции 7 (() достаточно задать на торе Р, чтобы получить полное описание набора всех минимальных конусов коразмерности один? Оказывается, достаточно рассмотреть функции вида 1ке(гв), Р=2, 3,4, ..., на торе Р. В частности, если р=2, то мы получим минимальные конусы над произведением сфер, подробно изученные в пункте 24.2. Итак, все эквиварнантные особенности минимальных поверхностей коразмерности один описываются целыми степенями комплексной переменной г на двумерном торе со стандартной комплексной структурой, Рассмотрим подробно только случай конусов над прямым произведением сфер, т.
е. при р = 2. Рассуждения при р ~ 2 проводятся аналогично. Возьмем основную серию 6)Н = = (50(г+ 1) х $0(в+ 1))КБО(г) х50(в)), положим М =6/Н. Тогда М вЂ” компактное симметрическое пространство ранга два: М = =5'х5', У=50(г — 1)х$0(в — 1), и, следовательно, главная орбита действия Н на М такова: Н!У= 5"-'х5' '. Если рассмотреть касательное пространство В = Т, (М), то обнаружим, что конус над А"-' = С (5'-' м 5*-в) совпадает с рассмотренным в пункте 24.2. Поскольку мы ищем )У-инвариантные минимальные гиперповерхности в М, то достаточно изучить геодезические на двумерном торе Т'~ М в метрике в()1 — — о'(а)в(вв. Известно (см. пункт 17.4), что й' — обычная евклидова метрика на торе, поэтому осталась только вычислить функцию объема.
Прямое вычисление показывает, что о(х, у) =в|и'-'(х) вшьл (у), где х, у — декартовы координаты на торе. В данном случае легко усматривается, что М/У есть плоский квадрат со сторонами (О, и), являющийся открытой клеткой К вЂ” камерой Вейля. Здесь имеются только два различных корня а1 и а,; они ортогональиы и имеют одинаковую длину, хотя и различные кратности: г — 1 и в — 1. Мы должны изучить поведение геодезических на квадрате (О, и) с метрикой а(', = в(пв"-'(х) ° в(п"-в(у).
Будем считать г и в непрерывными параметрами и положим г+в=л=сопв1. Если г=в, то диагональ х=у, очевидно, является геодезической; на рис. 64 изображены линии уровня функции ) на торе. Тор представлен в виде факторизуемой плоскости. Одна из линий уровня является объединением вз1 ТРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ двух диагоналей-геодезических (в метрике Ж>). Так как линии уровня выходят на границу квадрата ортогонально, то построенная нами функция инвариантна относительно группы Вейля. Так как оси Ох, Оу соответствуют корням а, и а„ то тор получается из квадрата ( — и, и) отождествлением противополо>кных сторон с сохранением ориентации.
Пусть Г) з, тогда линии уровня функции г' начинают искажаться всоответствии с рис. 66. Прямое Рис 66 Рис. 64. вычисление показывает, что геодезическая х=у деформируется в геодезическую, задаваемую уравнением у1я у = —, х 1д х. На рис. 66 жирными линиями отмечены геодезические у и стороны основного квадрата; геодезические входят в вершину квадрата под углом а, (да=3' в/г.
Если же Г(з, то картина получается симметричным отражением относительно диагонали. Пусть з непрерывно изменяется от О до со. На рис. 66 показана соответствующая эволюция геодезической, изображающей замкнутую минимальную гиперповерхность в 5'х5*. Полученная нами функция )(х) иа торе имеет один минимум, один максимум и два седла; все критические точки невырождены, и седла функции описываются векторным полем игам рсе(г') (нуль второго порядка). Прообраз геодезической у при проекции ги М-~-М/У есть в точности Лl-инвариантиая минимальная поверхность коразмерности один в 5гх5х.
Продолжим функцию 1(х) с тора на все многообразие 5'х5' до йг-инвариантной функции Г(х), значения которой заполняют отрезок 10, 1], Тогда гиперповерхности уровня этой функции расслаивают М и при )(х)=1)2 мы получаем >т'-инвариантную минимальную замкнутую поверхность — прообраз траектории у, — содержащую ровно две особые точки. Подмногообразие ()=О) является сферой 5', подмногообразие ()=1) — сферой 5", оба эти подмногообразия минимальны и являются экстремальнымй 232 влгиационныв мвтоды в топологических зхдхчлх !гл.
з изолированными орбитами действия группы У. Если 1(х) =с, с чь (О, ! !!2, 1), то гипер поверх ность ) (х) = с не имеет особых точек. У-инвариантиая поверхность 11 (х) = 1!2) — не глобально минимальна, однако минимальна относительно любых вариаций, носитель которых охватывает не более «половины» всей поверхности (рнс. бб). ачгчг гчгчл !2 Ряс.
66. Аналогичным образом доказывается, что все остальные особенности, описанные выше, могут быть включены в замкнутые минимальные поверхности в соответствующем симметрическом пространстве. Все эти гиперповерхности — поверхности уровня гладких функций, инвариантных относительно действия группы М и группы Вейля, Линии уровня этих функций на двумерном торе могут быть представлены иак интегральные траектории векторных полей вида йгабР,е(хя); тогда минимальная гиперповерхность, содержащая коничесхие особенности, будет задаваться сепаратрисной диаграммой вырожденного седла (нуль, порядка р) потока ' дгаб Ве (хг).
24.4. О существовании нелинейных Функций, графики которых в евклидовом пространстве являются мииимальнымн поверхностями. Пусть х"=((х', ..., х"-') — гладкая вещественнозначная функция, определенная на евклидовом пространстве )2 '(х', ..., х '); тогда ее график в пространстве Р'(х', ..., х") есть подмногообразие коразмерности один. Предположим, что этот график — локально минимальная поверхность, т. е. функция ) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению: л-! ф' +"х (')'( ! ! Вопрос: если функция ( определена на всей гиперплоскостн Р ', то обязана ли она быть линейной? Эта задача называется проблемой С, Н. Бернштейна, который дал положительный ответ на втот вопрос при п=З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
