А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 57
Текст из файла (страница 57)
согласована с метРикой). Перейдем теперь к расслоению Ноги(ТМ, )*Т1ь') и определим в нем риманову связность 7 следующим образом, Пусть а, Ьи тРи геометРические зАПАчи 237 (5) ев С (ТМ), Ь ~ С (Нош(ТМ, 1'ТЫ)); тогда положим (7.Ь> Ь -7,Ь (Ь> — Ь (7.Ь>, где 7 — связность в расслоении ТМ. Перечислим основные'свойства втой связности, Доказательства этих свойств, как и в предыдущем случае, аналогичны схеме рас- суждений, проведенных в з 2, или могут быть извлечены из (102).
Форма 76 является билинейным (относительно сложения и умно- жения на скалярные функции) отображением из прямого произ- ведения С™(ТМ)хС" (ТМ) в пространство С (1*ТН>. Кроме того, если Ь' ен С (Нрш(ТМ, 1*ТЫ)), ф я С (М), то имеем равенства 7,(5+6') 7 Ь+7 й', 7,(фЬ)=(а ф) й+ф7,6, (Ь, Ь'>=(7,5, Ь'>+(Ь, 7„К> Последнее равенство означает, что введенная нами связность ри- манова. Определение 24.5.2, Второй фундаментальной формой А (1) отображения 1: М вЂ” Н называется градиент дифференциала этого оошбраженич, т. е. выражение вида 7й1.
Этот градиент является гладкой билинейной, формой на прямом произведении ТМхТМ со значениями в индуцированном расслоении 1" ТЫ. О п р е д е л е н и е 24.5. 3, Средней кривизной Н (1) отображе. ния 1; М-~ЬГ называется след второй квадратичной формы этого отображения, т. е. выражение вида Н(1) =(г А (1) еи С (1'ТХ).
Как будет показано ниже, зти два определения естественно обобщают на случай произвольного гладкого отображения оире- деления второй квадратичной формы и средней кривизны для случая погружения многообразия М в многообразие У. Если 1: М -«-Ь) — погружение, то определения 24.5.2 и 24.5.3 превра- щаются в определения, сформулированные в $ 2. Докажем теперь основные и необходимые для дальнейшего свойства второй фун- даментальной формы. Лемма 24.5.1.
Вторая форма А(1) является симметричной формой на ТМхТМ. Доказательство. Поскольку форма А(1)(а, Ь) на прямом произведении ТМхТМ, очевидно, линейна относительно умно- жения на скалярные функции, то равенство А (1> (а, Ь) = А (1) (Ь, а) достаточно доказать для локальных базисных векторных полей ез, ..., е„. Воспользовавшись приведенными выше определениями и свойствами римановой связности 7, получаем следующие ра- венства: А (1) (еь е7) = (7, й1> е7 — — 7, й1 (е ) — й1 (7 А) = 7~(ЯЕ„) — й1(7,е~)=1иЕ +Р1,7ЗЕ,— й1(7се,).
»зз ВАРиАционные методы е топологнческнх ЗАдАчАх ~гл. з Таким образом, утверждение леммы следует из симметричности связностей Ч и Ч в расслоениях ТМ и ТЮ соответственно. Лемма доказана. Л е м м а 24.5.2. Если ~ — изометрическое погружение многообразия М в многообразие Н, то форма 'А(Г) и средняя кривизна Н (г) совпадают со второй фундаментальной формой А и средней кривизной Н подмногообразия ~(М) в многообразии Н (см. определения в $ 2). А именно, если а, Ь ~ Т„М, то АЯ (а, Ь) = = А,<ю(4(а), 4(Ь)). Доказательство. Пусть О=~(Р) ы/(М). Введем вокрестности У(Р) точки Р в многообразии М нормальную (геодезическую) относительно точки Р систему координат х'„ ..., х". Тогда, если еь ..., е„ вЂ” базисные векторные поля в этой окрестности, то х'(Р)=0, (еи ет)р=бо, (Ч~е~)р О.
Введем затем локальные координаты у', ..., у" в окрестности г'(У) ~г(М) по следующему правилу: у'()(Р))=х'(Р), Р'енУ. Пусть Е„... ..., ń— базисные векторные поля в этой окрестности. Поскольку отобРажение 1 — изометРНЯ, то мы полУчаем соотношениЯ (Еь Ет)о= = бу, 1, ) ~ и. Дополним координаты у', ..., у" до набора координат у', ..., у""» в некоторой окрестности У с: Н такой, что У П Г'(М) =г (У), причем так, чтобы у' Я) = О, (Еь Е~)о — — бу, г'(У)=(у"+»=0, 1 1, ..., й). В этих координатах отображение! задается следующими формулами: (х', 1=1, ..., и, У() У() (О, ( и+1,..., п-»-й.
Кроме того, отображение ( — изометрия; следовательно, получаем, что (Ч~Е~)а 0; 1ч=1н=п, где через ( )г обозначена ортогональная проекция на Т((М) в ТЮ. Найдем явный вид второй формы А(1) в точке РевМ в введенных нами выше координатах.
При этом мы воспользуемся определениями 24.5.2, 24.5.3 и указанными выше свойствами выбранных нами систем координат. Получаем А (Г) (еи е~) =(Ч,сне~ ФссЦ(е~) ЧьЕ Ч~Е, =Ф~~уЕ». Поскольку (Ч~Е~)о = 0 при 1, ( =. п„то мы получаем, что А()) (еь ет) =(ч,Ет)н, где через ( )" обозначена проекция на нормальное расслоение к Г(М) в ТФ. Стоящая справа в последнем равенстве величина равна, по определению, значению второй фундаментальной формы подмногообразия ~(М) в Н на векторах Еи Етев Тог(М). Совпадение средних кривизн Н(() и Н теперь прямо следует из изометричности погружения (.
Лемма доказана. Перейдем к выводу уравнений Эйлера — Лагранжа для функционала Дирихле и к изучению вполне геодезических отображений и локально минимальных погружений, ТРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ Лем ма 24.5.3. Уравнением Эйлера — Лагранжа для функционала Дирихле (2) является следующее уравнение: Н(Г)=0, где НЯ вЂ” средняя кривизна отображения 1. Другими словами, отображение !' гармонично тогда и только тогда, когда его средняя кривизна равна нулю.
Доказательство. Рассмотрим локальную вариацию отображения ~~С (М, У), т. е. такое гладкое отображение Р: Мх[0, е)-а-У, что Р(х, 0)=7(х) и Р(х„!) =1(х) вне некоторой компактной области й ~ М, удовлетворяющей условию Я () дМ = ф. Отображение 1 является гармоничным (см. определение выше), если [ — ) 1л[)!1 О, [с=Р!мх!!! для любой локальной [д! )!-о вариации Р.
Рассмотрим рнманово многообразие Мх[0, е1, где отрезок [О, е] снабжен стандартной евклидовой метрикой. Введем в окрестности У точки Р ыМ нормальную относительно точки Р систему координат (см. доказательство леммы 24.5.2) н дополним ее координатой Г до нормальной системы координат в (/Х[0, е). Пусть е„..., е„, -- — базисные векторы. Тогда, исходя иэ опред деления 24.5.1 и того факта, что в точке Р матрица метрического тензора является единичной, мы получаем в этой точке следующие соотношения: л л 3 й!"! [' = ~ Щ (е!), Щ! (е,)) = ~ (!1Р (е!), йР (е!)), ! - ! ! ! и и ~ 2Г-[Ф!)'= д ~~~„д —,(йР(е!), !1Р(е!))= ~~~~ (ЧСйР(е!), бР(е,)), 1 Л ! и ! ! ! где Ч вЂ” связность в расслоении РиТ!Ч.
В последнем равенстве мы воспользовались тем, что эта связность риманова. Из леммы /д!) 24.5.1 и равенства ~Ч!~ — )) =(Чсе,)р — — 0 мы получаем, что и Iд! Ч! йР (ед = Ч! йР ~ —,). Следовательно, выполнено равенство '!д!) ' л 2 !и [ ~С" !! ь=,4и ( ! 1д!), (е!)) ~ !-! л л ~~~' е! (йР (~— ), йР (ед)! — ~ (йр (д! !!, Ч, ЙР (ед) [ ! 1 ! ! = — б!ь — (о, Н())). Здесь !в ~ Л'(Т*М) — внешняя 1-форма, действующая по следующей формуле: !в(а)=-(о, й!" (а)), б!ь — кодифференциал этой формы, о=йР' -!, 'с:-С ((иТН) — направляющее векторное поле '!д! ) ,'с-л 240 вьгихционныа методы з топологичаских зхдлчьх [гл. в вариации Р. Таким образом, е К2ОЕЭ вЂ” ~~НЯ, )*1 — (Г 1.
м Известно, что эб=ебэ, где е= ~-1; следовательно, бвэ1= ьбго=гбэв и по теореме Стокса имеем ~ бы э 1=а ') б*в = м м = е ~ во=О, поскольку носитель формы ю — область 11 — не пеам . ресекается с границей дМ. Таким образом, отображение( гармонично тогда н только тогда, когда ~ (Нф, о) э 1=0 для любого локального поля о ~ С (1'ТМ).
Лемма доказана. Из доказательства леммы 24.5.3 и из самого определения локальной вариацин видно, что для случая компактного многообразия без края требование локальности излишне н вариации можно брать произвольными (в смысле величины носителя).
Определение 24.54. Отображение )~С (М, Н) называется вполне геодезическим, если оно переводит геодезические многообразия М в геодезические многообразия Н. Лемма 24.5.4. Отображение 1~С (М, М) вполне геодезично тогда и люлько тогда, когда А(г)=0, т. е. когда втораяфундаментальная форма тождественно равна нулю. Доказательство. Пусть у(1) — геодезическая в многообразии М, т. е. Чуу=О. Рассмотрим кривую Г (1) =Г(у(1)) в многообразии Ф, тогда Г =а1(у). Следовательно, по определению связностей 7, 7 имеем Ф Г = Ф „;, Ф (у) = Ф; ИУ (у) = ГР др) у = А д) (у, у). Поэтому, если А(/)=О, то кривая Г(1) — геодезическая в Н, н наоборот, если Г(1) — геодезическая в б(, то А(()(а, а)=0 для любого а~С (ТМ).
Отсюда следует, что А(1)=0, поскольку А(1) является симметричной формой. Лемма доказана. С л е д с т в и е 24.5.1. Вполне геодезические отображения и локально минимальныг погружения являются гармоническими отображениями (в последнем случае имеются в виду изометричные погружения). Доказательство. Если 1 — вполне геодезическое отображение, то по лемме 24.5.4 имеем АД=0. Следовательно, Н(()= = 1гА())=0 Если 1 — локально минимальное погружение, то Г изометрично отображает М на 1(М) и средняя кривизна многообразия )(М) в Н равна нулю.
По лемме 24.5.2 это утверждение эквивалентно равенству нулю средней кривизны Н(1) отображения ). Утверждение доказано. э м1 ТРи Геометгичаскис Злдлчи Одной из главных геометрических проблем теории гармонических отображений римановых многообразий является проблема нахождения гармонического представителя в гомотопическом классе, а именно: можно ли данное отображение 1 ~ С (М, У) непрерывно продеформировать в гармоническое отображениеР В терминах предыдущих обозначений этот вопрос формулируется так: существует ли отображение Р ~ С (М х[0, 1), Ф) такое, что Р~мх~о> =7, Р~мх10 — гармоническое отображение) Ниже мы перечислим некоторые важные случаи, когда ответ на поставленный вопрос положителен, и подробно остановимся на нахождении гармонических отображений в гомотопических классах отображений сфер, т.
е. на вопросе гармонической реализации элементов гомотопических групп п,(5"). Легко построить примеры таких гомотопических классов отображений М в У, в которых нет гармонического отображения (представителя). Пусть.М, Ф вЂ” гладкие римановы компактные замкнутые ориентируемые многообразия. Положительный ответ на поставленный выше вопрос о существовании гармонического отображения, гомотопного данному, можно получить в следующих частных случаях (см., например, [101)): 1) дпп М=1; 2) б(ш И=1; 3) б)шМ=2, п,(Ф)=0; 4) многообразие й( имеет неположительную секционную кривизну. Поясним пункт 4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
