А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Лемма полностью доказана. Для простоты будем считать, что параметр ( вдоль геодезической является натуральным, т, е. ~у(() ~1. Несложныевычисления показывают, что 224 вхривционнык мвтоды в топологических зхдлчхх 1гл. в уравнения: ! ' ! С,!У+*+С,!в ' при 40+1)О, С,')г 1+Св'гг! 1п! при 40+1 О, С!)г! сов(в!п!)+С,)г7(в!п(в!п() при в=)/!40+1!. См., например, !1001. Отсюда сразу следует, что либо натраектории у вообще нет сопряженных точек (с точкой д), либо их бесконечно много и они сгущаются к точке О, имея эту точку своей 4С предельной точкой, Если †„, ) 1, то сопряженные точки есть, в противном случае их нет.
Изучение коэффициентов А и С позволяет в каждом конкретном случае решить, какая из этих двух возможностей имеет место. Рассмотрим последовательно все случаи таблицы 2. Серия 1 (см. таблицу 2). Здесь О=30(г)х80(в)с$0(г+в), г)2, в)2, Р'/О ((х, у) ен Р: х)0, у= О), о'=х"-'Ут-'=хРУ"' У= вгг — х Гт э гг — геодезическая. Легко вычислить, что йв и = — ~ —, + —,), Поэтому 2 + коэффициент С имеет вид С= „ , а для коэффи()гв!Гр)т циента А получаем А— Поэтому р+т+2 (!1+()гт(р)в ()г~п~р)т) — 0 С 4(р+т) Ав (р+т-)-2)! ' . Поскольку сопряженные точки существуют 4С тогда и только тогда, когда †„, ) 1, то в качестве необходимого и достаточного условия существования сопряженных точек полу- чаем 16(р+т) )(р+л!)в+4(р+т)+4, т.
е. 5 — 2)г2 <г+в< (5+2)г 2 (р=2г — 2, т 2в — 2). Мы рассматриваем только тот случай, когда г) 1, в) 1. В соответствии с этим получаем, что при г+в(5+2)г'2 782 сопряженные точки есть. При этом мы считаем, что г и в являются непрерывными параметрами. При стремлении г+в-!-5+2)Г2 (слева от этого критического значения) сопряженные точки начинают приближаться к точке О. При г+в)5+2)г2 сопряженные точки исчезают. Серии 5 — 12 (см. таблицу 2). Все соответствующие конформ! — р ныв метрики приводятся к виду 4(вв у (х'+у') р . (!(хв+Ну'). еев ЕАриАциониые методы а топологических зАдАчАх ггл. 6 прямая у= 1/ ~ х. Заметим, что в прежней метрике тангенс угла Р наклона геодезической равнялся бг — — 1г —.
В серии 2 имеем Гр+м Г р р=2, т=2я — 4; в серии 3 имеем р=4, т=4й — 6; в серии 4 имеем р=8, ги=8й — !О. Как н в случае серии 1, применяя яв- 1!р т1 ную формулу для )16 „, легко вычислить„что )('„'лэ — — — 1„-; + —,1, Для коэффициента А получаем хр'"'-'хэЛ(1, З)(1+46)=~У)=1, ~ '+ +'1' р+и+1 отсюда А=-~х ' )= — - . Так как С= г УЛ(1, В) (1+66)' т) ЕЛ(1, 6)1~ + 66~' А' (Р+т+1)' (Р+т+1)6' вательно, сопряженные точки существуют тогда н только тогда, 4С когда „вЂ”, ) 1, т. е.
в тех н только в тех случаях, когда 7 — 4УЗ (р+т =7+4У3 ~г г 2,072 13,928 Итак, в серии 2 прн 2й~9+4)гЗ 15,928 сопряженные точки есть. При 2й~9+4$'гЗ сопряженных точек нет. В частности, если рассматривать только целые Й (т. е. геометрический случаИ), то сопряженных точек нет, начиная с й=8. В серии 3 прн 4й~9+4ргЗ 15,928 сопряженные точки есть, а при 4й) ~9+ 4У 3 нх нет.
Для целых й сопряженных точек нет, начиная с 1=4. В серии 4 по смыслу задачи имеем й.= 2. Поэтому здесь прн всех целых Й сопряженных точек нет. Теперь мы, пользуясь полученной информацией о распределе. нин сопряженных точек, выясним качественное поведение геодезических для всех метрнк нз таблицы 2. Серия 1. Считаем р и т (г и з) непрерывными параметрами, т/р=сопз1. При г+6 ~ 5+2)Г2 картина распределения геодезических, исходящих нв точки д, имеет вид, показанный на рис. 59.
Геодезические 41,) н д)',)' выходят на границу фактора С (а) под углом п)2. Геодезические, отличные от дЯ и дЯ', сразу не могут выйти на границу, поскольку любая геодезическая, отличная от Од, должна выходить на границу под углом п!2; поэтому эти геодезические возвращаются обратно к геодезической Од, пересекая ее в точке, сопряженной с точкой д. С ростом г +з точки Я н Я' стремятся к О, н при г+6=5+2)г2 7,82 сопряженные точки исчезают (рнс. 60). Далее картина остается качественно неизменной, единственной геодезической, выходящей на границу фактора, является отрезок Оу.
ТРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ Серию 6 см. на рис. 61. Покажем, что наличие сопряженных точек влечет существование вариаций, уменьшающих объем локально минимального (при вариациях с малым носителем, не затрагивающих начала координат) конуса. На факторе, очевидно, существуют вариации, уменьшающие длину геодезической, входящей в начало координат. и ~-- Я х Рис. 69. Рис. 60. Напомним, что длина кривой в Я")СГ равна объему ее прообраза .в Р". Поэтому, взяв вариацию на факторе, получаем вариацию усеченного конуса со стационарной границей, уменьшающую его объем. Продолжив эту вариацию тождественно на область у вершины конуса, получаем искомую вариацию (даже не смещающую вершины конуса!),, уменьшающую объем конуса.
24.3. Представление эквивари- йс антных особенностей в качестве / особых точек замкнутых минимальных поверхностей, вложенных 2 в симметрические пространства. Оказывается, что минимальные конусы, изучению которых был 0 посвящен пункт 24.2, являются ~ — л касательными конусами, аппрокси- Рис. 6П мирующими поведение некоторых замкнутых минимальных поверхностей в их особых точках. Решим следующую задачу: каковы те глобально минимальные замкнутые поверхности, в которые можно естественно вклеить описанные выше локальные особенностиг Иными словами, как продолжить (проинтегрировать) эти особенности до замкнутых минимальных поверхностей в римановом многообразниг В качестве примера приведем полное описание всех стационарных (локально минимальных) 8» 22З влгивпионные методы в топологическнх звдвчвх )гл, в замкнутых гладких 50 (и — 2)-инвариантных подмногообразий в стандартной сфере 5"-'.
Пусть М 5" с= Р'+в, б = $0 (и — 1) действует посредством представления р=(„,®26ь где ! ! — стандартное действие на (св-! и В! — тождественное представление. Ясно, что 5в!б — двумерный диск 0' со стандартной сферической метрикой Ьв с(Вв+ +созв В Йрв, где  — радиус, а !р — угол поворота в полярной системе координат; при 6 0 мы получаем границу диска 0'. Прямое вычисление дает сУ,'=з(пв"8(сЮв+созвйс(!рв). Для полного описания всех б-инвариантных минимальных гиперповерхностей в 5" нужно найти все замкнутые геодезические на диске 0' (В, гр) с метрикой !11,'.
Зто исследование выполнено в [97), 1991. Положим по=сов-'(1Д/и+1). Замкнутые геодезические на 0в могут быть двух типов: 1) диаметры, т. е. ~р=сопз1; 2) траектории вида зю !р +' Ж г, в Ев ав1 в сов 8 1гг . ° / в!пв" (8) совв (8) — ! в)пв" (Вв) с(пв (6в) где агав. Прн а-~ао геодезическая стремится к пунктирной окружности на рис.
62. Следовательно, соответствующие б-инвариантные минимальные поверхности имеют вид: 1) гиперсферы экваторы 5"-' с= 5"; 2) подмногообразия. пл 5вх5 '~5" с самопересечениями (рис. 62). В этой задаче удается полностью опи- сать поведение геодезических на двумера га„ном диске, на границе которого метрика / Й,' аннулируется, т. е. фактически мы рассматривали двумерную сферу 5', на которой фиксирована метрика с одной особенностью.
В общем случае симметричесРис. 62. ких пространств (см. ниже) сфера, ока- зывается, заменяется на двумерный тор, на котором также задана риманова метрика с особенностью. Пусть М" = бгН вЂ” компактное симметрическое пространство. Рассмотрим соответствующее разложение Картава для алгебры Ли группы движений (см. описание в пункте 17.4).
Подгруппа Н действует на Мы(г посредством вращений о=лоЬ-', расслаивая многообразие У (как и ранее, через М мы обозначаем картановскую модель симметрического пространства, вложенную в группу изометрий) на орбиты. Пусть  — касательная плоскость к картановской модели в алгебре Ли и К с:  — камера Вейля симметрического пространства (см. пункт 17.4). Рассмотрим присоединенное действие Н на плоскости В: б-~ЬЬй-!. Из каждой точки й ы К вырастает тги гкометгичяскив задачи орбита 0 (й), ортогональная плоскости Р с: В, где. Р— картанов- ская подалгебра в В (максимальная коммутативиая плоскость).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
