А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 49
Текст из файла (страница 49)
сфера 5„' является границей вполне геодезического диска О,', ~ 5,*, О,",=(х еи 5."; а'~0). Пусть 0' — стандартный диск в евклидовой метрике, 5'=*д0', 1" — стандартное отображение 0' на полусферу, тождественное на границе дО', 1' — единственное изометрнчное вложение полусферы 1" (О') в 80(1бг), совпадающее иа 1" (5') с фиксированным изометричным вложением 1,: 5'- 5„'; положим (в=у ° 1", 1,: 0'-~80(16г).
Рассмотрим пространство П, всех непрерывных отображений 1: О'- 80(1бг) таких, что )~в~ — 1ы Пусть П,' с= П, — подпространство, составленное из всех отображений 1 класса Н,' (Ое), На П,' рассмотрим функционал объема чо1,1 ~ Р'бе( й бо и функционал Дирихле 0 Я ое 6 )е — ~ уу(хч х~)~ бо. Тогда чо!в1~0Щ при любом1енПв 0~ к ! Через б, обозначим стандартный изоморфизм и, (Пч) ж ~ и. чв (80 (16г)) Теорема 23.4.1, Рассмотрим группу 80(16г) и пространства Пе и П;. В пространстпве П,' рассмотрим множество %' всех тех точек 1, на которых функционал Дирихле Ои достигает абсолютного минимума.
Тогда." а) множеспмо )Р гомеоморфно группе 0(г); б) вложение 1: У-ь П„'-ь.Пе индуцирует изоморфиэм гомотопических групп (1„),: П,(0(г))-ь.п,(Пе) при з~г — 2, поэтому (г — 2)-мерный оспюе пространства П, гомопшпически эквивалентен (г — 2)-мерному остову группы 0(г) и композиция [)ч (1 ),: п,(0(г)) " = пмз(80(1бг)) является изоморфиэмом лериодичности Ботта при з~г — 2. Замечание. Так как пз(У(2т))=0, то пространство П, связно.
Так как п,(80(!бг)) Е„то Пе несвязно и состоит из двух связных компонент; как будет видно из доказательства, и множество %' тоже состоит из двух компонент, причем каждая компонента пространства П„содержит по одной компоненте множества йГ и стягивается (при г-~со) именно нз эту компоненту.
Доказательство теоремы. Рассмотрим в группе 80(16г) множество й, всех комплексных структур 1, антикоммутирующих со структурами 1„1,, ..., 1ъ т. е. антикоммутирующих с каждой точкой шестимерной сферы 51 с= 5,' (а'= О). Так, например, 1, еи Пе. Хорошо известно (см. [Ц), что Йе состоит из двух связных компонент и гомеоморфно группе 0(г), кроме того, П, содержится в плоскости, ортогональной к векторам Е, 1,, ..., 1ъ Ясно, что 51() 1)е=(1е — 1ч), а потому 01() 52е —— 1ч (одиа точка). Поставим в соответствие каждой точке х ~ П, вполне геодезическую сферу 51(х), имеющую своим экватором сферу 5,'. Если хек П„то х ортогонален векторам Е, 1„..., 1, (х1,= — 1,х, 1~в~7), а вектор Е ортогонален всем комплексным структу- ЗО4 влеилционныз методы в топологнчвсхих зхдхчлх Егл. з Рам. ПоэтомУ сфеРа, натЯнУтаи на базисные вектоРы Е, Ем..., Еех, является центральным плоским сечением в сфере 55 и вполне геодезична в группе 50(16г), В сфере 5'(х) рассмотрим диск 0к (х) = (у ы 5' (х); у = у'Е+...
+ у'11 + у х; ук ) О) . Тогда каждому х ~ й, однозначно соответствует вполне геодезический диск 0'(х) такой, что д0'(х) = 5к, и если хкФ х„то 0'(х1) П 0'(х,) = =5,'. Точно так же, как и в случае унитарной периодичности, можно определить вложение Е 0(г)байк-«П„'-«П„так как для каждого диска 0'(х), хай„существует единственная нзометрия а (х: Е" (О') -+. 0' (х), /а (х) ° Е" ~5. — /к', тогда Е (х) = е (х) Е". емма 23.4.1. Вложение Е; 0(г)-«П, индуцирует изоморфизм голютопичесних групп до размерности г — 2. Доказательство.
Пусть /: 5к-«0(г), тогда в 50(16г) мы получзем множество (0к (х)), х ы Е(5к); П„'~ Е(х). Так как сфера 5к фиксирована, то в группе 50 (16г) возникает множество Ю Ц 0'(х), которое определяет отображение Р: 5'"-«50(16г) кЕ/(5') таКОЕ, Чта Резкие/ (ГдЕ 5' — ЭКВатОр В СфЕрЕ 5'"). ТЕПЕРЬ раС- смотрим последовательность нульмерных сфер 51 = ',Еы — Ек), 1 -1~7. Зафиксировав сферу 5,', мы можем построить соответствие ук. 'х — «О'(х), где хан й„01(х) есть минимальная геодезическая из точки Ек в точку — Е,, середина которой естьточка х. Тогда 0' (х) ен й, (см. [11) и существует отображение Рк. 5'"-«йк таКОЕ, Чта Рт(5к'5)= () 0'(Х), Р,~з.=— /, ПРИЧЕМ ИЗ тЕОрИИ ке/(5 ) Морса следует, что соответствие / Р, определяет изоморфизм п,(йк) =-п„,(й,). Зафиксировав сферу 5,', получаем соответствие у,: у-«05(у), у ы й;, при этом существует отображение Р;.
5к+'-« -«йк такое, что Рк(5"')= Ц 0'(у), Рк,~ к-кекР«ПродолЕЕГ,(зк~') жаЯ этот пРоцесс, мы полУчаем соответствиЯ Ук, Ук, ..., Ум Те где Е = Ек. Отображение Рел 5к+'-«й, = 50 (16г) соответствует отображению / при изоморфизме периодичности Р, (5™) = Р (5'+'), так как () [ук 71 ... Тк(х)1 5. Поэтому можно считать, что кЕ/(зп Р, ~ Р, что и завершает доказательство леммы, поскольку и, (П,) ж и,„, (50 (16г)). Тем самым, для подпространства Е(0(г)) ~ П, выполнены все утверждения пункта б) теоремы 23.4.1, Осталось доказать, что )Р' Е (О (г)), Лемма 23.4.2. Верно соо/пно/ление Е(0(г)) ~ У.
Доказательство. Поскольку Е(х)0' является центральным плоским сечением, то утверждение леммы полностью аналогично утверждению леммы 23.3.3 и так же, как и раньше, следует из оценки чо)е~~ 0Щ. ПЕРИОДИЧНОСТЬ БОТТА Лемма 23.4.3. Верно соотношение 1(0(г))=(Р'. Доказательство. Пусть(вне', т.
е. функционал Дирихле принимает на отображении 1 свое минимальное значение. Пусть 1„; 0'- 0;, (см. выше); тогда очевидно, что то!в(в —— 011А1. Так как то(в)(0И=Р(1в)=то!,1в, то точно так же, как и при доказательстве леммы 23.3.4, устанавливается, что образ 1(РЕ) является центральным плоским сечением, содержащим сферу В,'. Пусть хы~(0"), и пусть вектор хортогонален векторам Е, 1„... /1 ~ ..., 1,.
Тогда х=у~--), где у — геодезическая на диске 1(РА), у(0)=Е, у(1) = — Е. Так как длина 1(7) равна длине 1(у'), где геодезическая у' с= 1(Р') такова, что у' (0) = Е, у' (1) = — Е, у ~--) = 1„то у — минимальная геодезическая из точки Е в точку — Е в группе 30 (16г), а потому х = у .к-) ы й, (см. Щ), т.
е. х'= — Е, Так как вектор х ортогонален векторам 1, (1== ::з~7), то -~=(х+1,) ен й„т. е. — (х+1,)'= — Е, откуда 1 1 Г2 х1,+1,х=О, т. е. хи йв, но тогда 1ви((0(г)), так как 1(0')= Р'(х). Лемма доказана. Тем самым, доказательство теоремы 23.4.1 закончено. Ясно, что совершенно аналогичная теорема имеет место и в случае симплектической группы Бр(п). В случае унитарной периодичности мы имели утверждение: множество 1(У(т)) ~ П, является орбитой точки (в вн П, при присоединенном действии группы Сс= У(2т), СиУ(т), на множестве отображений Пм В случае ортогональной периодичности также существует такое представление для 1(0(г)), хотя оно и не используется при доказательстве. Л е м м а 23.4.4. Множество кг = 1(0 (г)) является орбитой точки 1„я П, при присоединенном действии еруппы Сс 50(!6г) на множестве отображений Пв, где С =1вйв 0(г).
Доказательство, Достаточно установить, что для любого вполне геодезического диска 0'(х), х ы й„существует элемент ден30(16г) такой, что у1,=1,д (1~в~7) и дхз-'=1,. Рассмотрим этот элемент; для него имеем соотношение дй,у 'с й„ и (ЕР,".д-') 1) йв — — д1ву-', т. е. д0' (х) д-' = О'(ухо-'). Пусть Š— подгруппа всех элементов Е ~ БО(16г) таких, что д1,, =1,у (1(з( (7), и пусть р(д)=д1,д ' — естественная проекция р: Е-~-й,, Рассмотрим в группе 80(16г) сдвиг д- 1,д. Пусть денй, д= = ехрА, А ен Те(К), а так как у1,=1,д, то и А1,=1,А. Но тогда легко видеть (см. 1621), что 1вд антикоммутирует с элементами 1, (1<в~7), т.
е. 1,денй,, 1,йс йв Обратно, пусть 1,ехрА енй;, тогда А1,=1,А (1сзв=7), т. е. д1,=1,д, где.д ехрА, деЕ, 1вй=эЙ„ЙА 1в)1, а тогда проенция р зоб ваэнхционныв методы в топологичвских задачах [гл. э является днффеоморфизмом н для любого хан Я, существует элемент й ы К такой, что х *ф,й 1. Лемма доказана. В заключенне сделаем несколько общнх замечаний. Наряду с пространством Пз естественно рассмотреть пространство )1,— пространство всех непрерывных отображений сферы 5' в группу Я3(2т), переводящих фиксированную точку х,ы5' в точку Е, ен Я) (2гп).
Пространства П, н П, гомотопнческн эквивалентны. В пространстве Пз можно выделить подпространство П;, составленное нз всех отображений ( енПэтакнх, что ГенН',[5э, Я3(2пг)1. Поскольку окружность 5,' с: Я) (2гп) переходит в себя прн отображении Чп д — д, и ~ Я) (2ш), то возникает непрерывное отображение ф: П,-~П„сопоставляющее каждому диску О, сферу Б' = 0'()(я~0'). Отображение ф является расслоением с дискретным слоем, гомеоморфным нульмерной сфере. В частности, каждый вполне геодезический диск 0', д0' = 5,', перейдет во вполне геодезическую сферу 5', экватором которой является окружность 5,', причем эта же сфера является образом и диска э~0'. Отсюда следует, что ф (к7) с= В'„ где Ж'1 - связная компонента множества экстремалей функционала Дирнхле на пространстве Пэ, содержащая нзометрию ф((,).
Рассмотрим коммутатнвную диаграмму эг,(й(м)) Ф' Ф» ч' (хогга)) 4~Ж) 1 м1(((з) ггг 2 Й Здесь гомоморфизмы $, ()„~, являются нзоморфнзмамн прн любом з, а гомоморфнзм $' является изоморфизмом прн з~2гп; $' (э. Гомоморфнзм ~Д'$ является нзоморфнзмом периодичности, а гомоморфнзмом, соответствующим ему прн отображении ф является гомоморфизм ()зЧ'т)=Ч' (рД'$). Оказывается, что, хотя пространство П, гомотопнческн эквивалентно пространству П„картина распределення критических точек функционала Днрнхле резко меняется прн переходе от пространства П, к пространству Пэ, в частности, ф„'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
