А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(«'«е-п(е (Б) Пусть У вЂ” компактное неприводимсе симметрическое про- странство типа 1, группа движений которого является особой группой Ли (см. таблицу 1). Тогда единственными элементами хен Нь(У; (к), реализующимися вполне геодезическими сферами, являются следующие элементы: (1) хе в Н" (АЙ Ее/Т' бр(п (10)); ().*,, ((Е ..), (3) хе в Нь(А(1 Е(7Т(.
Ее). 22.2. Доказательство теоремы классификации. Связь между числом линейно независимых полей на сферах н числом элемен- тов гомотопических групп, реализуемых вполне геодезическими сферами. В пункте 21.3 мы представили группу Я3(2р) как гладкое подмногообразне в сфере Еею-( радиуса 1/ 2р. Аналогич- ным образом вложим группу 50(2р) в сферу Е"ь'-( радиуса У 2р. Центральные плоские сечения групп Я3(2р) и 50(2р) определим как пересечения П,()(З, где П, — подпространство размерности з, проходящее через начало координат. Докажем следующий факт: максимально возможная размерность сферы Е'-е = П, П(3, являю- щейся центральным плоским сечением, а потому вполне геодези- ческой сферой в группе З, не может превосходить числа в(4р) для группы Я) (2р) и числа в (2р) для г уппы 50 (2р), где через э(г) обозначено максимальное число линейно независимых векторных полей на сфере Е'-е.
Волее того, зтн числа достигаются. Анало- гияпзя оценка з — 1~э(4р) имеет место н для группы бр(2р). ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ !вт Пусть 5»-'=П»ПЯ3(2р) (в дальнейшем для краткости будем говоонть о С-сечениях). Ясно, что существует такой элемент ае еп ен8() (2р). что сдвиг а-» а»а группы ЯЗ(2р) по себе переводит сферу 5'-' в другое С-сечение д»5'-', которое содержит оба элемента: Еэ» и — Е,» еп Я1(2Р). Тогда а»5ыа покРыта геодезическими, мйннмальнымн на сфере 5»»'-' и соединяющими два полюса: Ег и — ЕА». Этн траектории являются геодезнческнми и в группе Я7(2р), и длина их равна И~Г2р.
Из леммы 2!.2.! и леммы 21.! в [!) следует, что каждая такая геодезическая встречает вполне геодезическое подмногообразне без»,». Отсюда следует, что сфера а»5'-' пересекается по экватору '5»-э с алгеброй Ли зц(2р). В плоскости 'П, 1 П,!)Ец(2р), определяющей сферу '5'-А, можно выбрать ортогональный базис А„..., А, „где все векторы А~ принадлежат '5'-'. Так как А,'= — Еэ», то из условия ортогональности легко следует, что А~А~+ А~А~ 2боЕ,», откуда и получаем требуемую опенку. Доказательство для групп 80(2р) н Зр(2р) проводится совершенно аналогично. В пункте 21.2 мы построили сферы 5'"+'с=ЯЗ(2А) н с,нх помощью получили С-сечения в группе 80 (2"+'), Обозначим через г наибольшую размерность сфер 5', являющихся С-сечениями в группе 80(2"") и реализующих образующие в Н'(80(2»"); Я).
Тогда: 1) з(2"+') 2л+!'= »=2е — 1, й~О(шоб4); 2) з (2г+') = 2й+ ! = г = 2й+ 1, й ~ 1 (пюб 4); 3) е(2»+')=2й+З=»=2й+3, й 2(шоб4); 4) е (2"+') = 2й+ 2) г 2й+ 1, й ~ 3 (пюб 4). Из доказательства предложения 2!.3.1 видно, что в группе им, ьи(Я1(2А)), Ом Р(й — 1, нз элемептов (1, 2, 3, ..., 2») только наибольший элемену 2» реализован как С-сечение. Рассмотрев вложение /: Я3(2")-~80(2"'), мы получаем, что в группе 80(2"') при й~З следующне элементы реализуются С-сечениями (з» 2 (й — р) + 1): 1) 2»енЕ и, (80(2»")), з»ииЗ(шоб8), О =р -й — 2; 2) 2»+' ен е, = я, (80 (2"")), е» е»» 7 (пюб 8), О е- р ~ л — 2; 3) 1 ~ Е, = лы„(80(2' ')), если й ~ О(шоб 4), тогда (2й+ 1) ии 1 (шоб 8); 4) л, (80(2»+')) О, з»ямб(шоб8), О~ре-й — 2.
Однако указанными сферами не исчерпываются вполне геодезические сферы в 80(2"+'), реализующие нетривиальные циклы. Пусть лия2(шоб4); тогда нз леммы 2!.7.2 следует, что существует вложение 5»А+э-».80(2'+'), реализующее образующую х,„+, в Н'(80(2"+'); Я) и являющееся С-сечением. Лемма 22.2.1. Рассмотрим миогообразие У =80(2л)/5 (П(л) х хУ(л)), еде 2" =2л(2'"', е=.» 3, е =2(й — р), О~р:=й — !.
Тогда в группах л, (У) влемемты 2» реализуютсл вполне геодезическими сферами. 188 повзгхности. »в»лизтюшик нктгиви»льныс циклы [гл.» Доказательство. Рассмотрим многообразие Р' д~~» т»-», реализованное в группе Я)(2") как пересечение Я)(2")/) зц(2'). Пусть 5', ..., 5»»+' — вполне геодезические сферы, реализующие элементы 2» в группах и»,» па(Я)(2»)), О~р /» — 1, и являющиеся С-сечениями.
Все сферы 5'"" (1 ~ а~ л) содержатся в пространстве минимальных геодезических й(БЩ2');Е,», — Е»») (см, (Ц). Каждая сфера 5'~' высекает на 6~»,»-~ вполне геодезнческую сферу 5'". В силу теоремы 23.3 нз (Ц сферы 5'" определяют элементы 2» в группах д, и. (6»»,»-») при а /» — р, /»= 1. Рассмотрим теперь многообразие У =6с„„, где 2" ( 2п(2»+', н определим вложение /: 6с,, ~-6,'„„, положив /(А) = = (/Е»»,) ~( — 1Е»»,) () А.
Поскольку подмногообразие /(6~„»») является вполне геодезическим, то все сферы 5', ... ..., 5'" переходят во вполне геодезические сферы, реализующие нетривиальные элементы групп пэ»(6",;„„), 1 ( а(л. Лемма доказана. Для изучения симметрических пространств типа 1, отличных от 6с„ „, мы привлечем ортогональную периодичность Ботта. Рассмотрим группу $0(п) н положим п=2""', 1~3. В группе $0(п) выделим гладкое подмногообразие й»(а), состоящее из всех комплексных структур 1 в пространстве Р.
Рассмотрим пространство минимальных геодезических у в группе ЬО (л), соединяющих Е с — Е, тогда (см. (Ц)) это пространство гомеоморфно й,(п). Зафнхснруем элементы (/ь 1„..., 1») ~ й»(п) такие, что 1„18+181 = — 2б„вЕ. Определим прастрайство й (и) как множество всех таких комплексных структур 1, что 1! + +1„1 Опри (~а~р — 1. Получаем вложения й (и)-~ йр,(п)-» ~-...-» й,(п)-»-30(п). В (Ц доназано, что каждое пространство й (л) является вполне геодезическим подмногообразием в группе 36 (и), причем пространство минимальных геодезических, соеднняющнх 1» с — 1, в й,(п), гомеоморфно й ы(п) при О~д(р.
Возникает вложение й»,»- йй», где через»)й, обозначено пространство петель. Многообразия й (п) диффеоморфны следующим симметрическим пространствам: йо (и) = 50 (2"), й, (и) = 50 (2'+')/У (2"), й, (и) У (2»)/Ьр (2'), й» (и) Д Зр (2»)/(Зр (2з) х Зр (2" — 2з)), й,(п)-бр(2 ), й,(~)-3р(2»-)/У(2»-»), й (п) У (2»-')/О (2" '), й» (и) Д $0 (2" '1/Ъ (о (э) х 0(2"-'- а)), й» (л) 0 (2'-'). ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ 169 Мы видим, что среди многообразий 11 содержатся симметри|сские пространства всех интересующих йас типов (с неособыми группами движений).
Рассмотрим следующие числа тр. ть — — 1, т,=2, т,=т,=4, т, те=те т,=8, т,=!6. Пусть рчьО, рггг2(пюй4); тогда имеет место важное утверждение (см. [!!): вложение Й „(и)-~Ой (и) индуцирует изоморфизм гомотопиче- Л ских групп в размерностях, не превосходящих — — 3, а вломеи жение Й,(п)-~-!гйь(п) индуцирует соответствующий изоморфизм в размерностях, не превосходящих и — 4. В случае, когда р= ли 2(гпой4), оценка несколько сложнее и будет приведена в соответствующем месте. Л е м м а 22.2.2. Рассмотрим многообразие й, (2""') = =ЯО(2"')Я(2А). Пусть й= 3, яр — — 2(й — р), — 1«=.р:=й — 1. Тогда в группах и, (йт(2"")) следующие элементы реализуются вполне геодезическими сферами: (1) 2Р ~ г„если я ли2(пюй8), р)О! (2) 2Р+'енЯ, если я ~6(той8), р=»О'„ (3) ! Еи Хм если яь = (2й) ил О (пюс! 8), тогда й ли О (пюй 4); (4) 1енХ, если я, (2я+2) — 6(пюй8), тогда яею2(шой4).
Доказательство. Рассмотрим подмногообразие 01 и вполне геодезические сферы в группе 50(2"), являющиеся С-сечениями. Экваторы каждой из этих сфер содержатся в подмногообразии й, и соответствуют исходным сферам при изоморфизме периодичности. Описание элементов в случаях 1) — 4) получается из соответствующего описания С-сечений в группе 5О(2"+') (см.
выше), Лемма доказана. Л е м м а 22.2.3. Рассмотрим многообразие й, (2А+~) = У(2ь)18р(2'). Пусть я~5, я =2(й — р) — 1, — 1(р(й — 1. Тогда в группах и; (Иг(2"')) следующие элементы реализуются вполне геодезическимй сферами: (1) 2Р е=-л., если я ли ! (той 8), р~О; (2) 2Р"' гнХ, если я — 5(гпой8), р~О; (3) 1яе, если яь (2й — !» — 7(шой8), тогда А~О(шой4); (4) 1 ен У„если я, = (2я + 1) — 5 (той 8),. тогда й мл 2 (пюй 4). Доказательство.
Поскольку экватор сферы 5м'-Ф+'— сфера 5м"-Р> — состоит из таких элементов у, что ц' — Е, то иа сфере 5'~А-Р1 можно выбрать 2(й — р))-1 антикоммутирующих структур А)Р>, АО'1...„Аг~э', „,. Для определения пространства й, иам нужно выбрать какую-либо комплексную структуру. Фиксируем элемент 1,=АД ю„, и рассмотрим на сфере 5г'"-Р1 экватоР 5ю"-Р'-', поРожденный элементами А<Р', ..., Аг(Р>„ тогда 5г"-Р'-' с: 11, (2'+'). Геодезические у, соединяющие 1, с — 1, по сфере 5А~"-Р', минимальны в 50(2А+'); поэтому сфера 5ем-Р!-' определяет такой же элемент в группа п, (ьг,(2ги)), !90 повхлхности, лвклизкющив нвтливилльныв циклы !гл.~ что и сфера Бь"-л' в группе иц> „ (И,(2"+')) при вр - †" — 3 = = 2"-' — 3. Повторяя зту конструкцию для каждого р, — 1»= р== (й — 1 (р= — 1 только при йьм2(шос(4)), получаем требуемый набор вполне геодезических сфер в И,(2ь"'), Лем ма 22.2,4.
Рассмотрим многообразие И,(2"+') и выделим в нем компоненту наибольшей размерности И, '(2ь~1) = =Бр(2ь)7Бр(2ь-х)хБр(2"-'). Пусть й~8, э„2(й — р) — 2, — 1ч= (р-ай — 2. Тогда в группах и, (И„'(2"'1)) следующие элементы л реаяизуются вполне геодезическими сферамш (1) 2л ен Е, если зл О (шоб 8), р ~ О; (2) 2л'1енЕ, если э 4(пюб8), р- О; (3) 1енЕь, если эь=(2й — 2) б(гпос$8), тогда йнчО(шоб4); (4) 1 ~ Х, если э 1=(2й) = 4(шоб 8), тогда йзв2(шоб 4). Доказательство. Пространство Ийь состоит из бесконеч- ного числа компонент, и оно по мере роста й все более и более точно аппроксимируется несвязным пространством И,(2ь+'), содер- жащим конечное число компонент, Достаточно ограничиться рас- смотрением И,'(2'") и соответствующей компоненты И'И,(2"").
Мы ие будем останавливаться на дальнейших рассуждениях, поскольку они в основном аналогичны доказательству леммы 22.2.3. Мы опустим доказательства лемм 22.2.5 — 22.2.8, поскольку оии отличаются от изложенных выше рассуждений только не- обходимостью тщательно следить за индексами геодезических, заполняющих фиксированные сферы, а также необходимостью .вовремя отбрасывать лишние несимметрические компоненты про- странств петель. Лемма 22.25. Рассмотрим многообразие Иь(2+') Бр(2"-).. Пусть й~7, э„=2(й — р) — 3, — 1(р~й-2. Тогда в группах и, (Ис(2"+')) следующие элементы реализуются вполне геодезиче- 1 скими сферами: (1) 2л ен Е, если эл ви 7 (шоб 8), р ) О„ (2) 2л" ~ Е, если з чы3(!пос(8), р= О; (3) ! ен Е,, если вь — — (2й — 3) ~5(шоб8), тогда йни О(пюб 4); (4) 1~3, если з,=(2й — !)~3(шод8), тогда ймь2(шоб4).
Л е м м а 22.2.6. Рассмотрим многообразие И, (2"+1) = Бр (2ь-1)/У(2"-'). Пусть йЪ-б, эр —— 2(й — р) — 4, — !в~ рк-й — 3. Тогда в группах и, (й,(2"")) следующие элементы реализуются вполне геодезическимй сферами: (1) 2л ~ Е, если элен 6 (шоб 8), р ~ О; (2) 2л+' ы У„если зр~2(шод8), р~О; (3) 1енУ„, если э,=(2й — 4) — 4(шод8), тогда й~О(пюб4); (4) 1 ен У„если э, ° (2й — 2) 2(шоб 8), тогда йчм2(шод4). Л е м м з 22.2.7. Рассмотрим многообразие И, (2~"') = У(2е-х)/0(2" '). Пустьй=-б, э„=2(й — р) — 5, — 1(р~й — 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
