А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Ясно, что группа С является полупрямым произведением подгрупп эУ' и С. Рассмотрим присоединенное действие эг"' на подгруппе С. Поскольку каждый элемент л, действует на С как автоморфизм, то мы получаем гомоморфизм е группы Ф'" в группу Ап1(С) всех автоморфизмов группы С.
Легко показать, что если Аб(п ): С- С является внутренним автоморфизмом, то о = 1 (см. [651), откуда следует, что е является мономорфизмом. Хорошо известно, что группа Ап1(С) состоит нз шести связных компонент (см. [701, [681), поэтому в каждой компоненте связности группы Ап((С) содержится в точности по одному элементу подгруппы е(Ф'").
Поскольку 1Р™ изоморфна В„ то будем обозначать элементы из В'" так: (п(1), п(~р»), ..., п(~р»ф»)», а элементы из е(%'") так: (1, фм»р», ..., <р»ф[». Легко видеть, что элемент ф» сохраняет ориентацию группы С. Аналогично и автоморфизмы 1, »»»1 не меняют ориентацию группы С. Так как компонента связности группы 0(8), не содержащая единицы, при действии внутренним образом на 80(8) меняет ее ориентацию, то меняют ориентацию группы С и элементы ф», <р»ф», ф,ф». Итак, элементы 1, ф„ф, 'не меняют ориентацию группы С, а элементы <р„фД», ~,ф[ меняют ориентацию группы С. Рассмотрим теперь корни гм=(+, —, — ), 1«» —— ( —, +, — ), 1»»=( —, —, +), (+, +, +).
Корни 7»» и йм приводятся к «нормальному» виду тождестненной перестановкой, поэтому ог В (1«») = ог В (гь«)= огВ(г»). Корень'1»» приводится к «нормальному» виду пере становкой о,», поэтому ог(бр Е(г»)) — ог Е(Г») — ог Е(г«»). Пере. стаиовке о»» отвечает элемент п(~э,»р«), и поэтому ог(бр В(11)) = ог В (г»»).
Корню Фм отвечает перестановка о»» оць т. е ог (Я В[1»)) = от В(гь»). Лемма доказана. Следствие 20.7.1. Искомая степень отобраасения 7' У-» -«У, где У Е«(р„равна 4; следовательно, 1,„[У1чьО. Выберем образующие в Н'(Е„; 1«) точно так же, как мы это делали в пункте 20.6, воспользовавшись тем, что подгруппа Р4 вполне негомологична нулю в группе Е, для К=»«. У т в е р ж д е н и е 20.7.1. Пусть й У -«7«(У) = 4 (У) — описанное выше вложение лространспма У =Е»7Р«как вполне геодезическом подмногообразия в группу иэометрий 7»(У) Е,. Тогда лодмного. абразив Е(У) реализует нетривиаяьный коиикл в Н»(7»(У); 2!р), где р~7 и простое либо Р=О.
Рассмотрим вяемент Я=хь.х»гы еи Ц'(7»(У); Ее). Тогда [У1 1'~ — Я). !66 ИОВеРхности, РВАлизУющие нетРиВиАльные циклы !гл. 4 Доказательство вытекает из следствия 20.7,1, из выбора образующих, а также из того, что группы Е, и г4 не имеют р-круче. ния при рд=7 (см, выше). До к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 20.1.2. Если У = У', то утверждение следует из теоремы 20.! .1; если У = К х У', то необходимо применить предложение 17.2.1 к подгруппе К х ф и сослаться на следствие 19.1. Эта теорема имеет следующий геометрический смысл. П р е д л о ж е и и е 207.1.
Пусть У = У' и гр ~ А (У) — стационарная подгруппа многообразия У. Если чгрез (п4((х, у) обозначить индекс пересечения двух циклов х и у дополнительных размерностей, то !пй(1,(У], 1,(р'])=с1ейг, г: У вЂ” У, ((о)=о', где класс смежности .9' ровен !! $, !4~В(У). Доказательство легко следует из явного описания базисов В (!4)' (см.
выше). До сих пор мы, как правило, предполагали, что вполне геодезическое подмногообразие У односвязно, и это позволяло использовать разложение У К х У', В общем случае отказаться от этого предположения нельзя, однако в некоторых конкретных ситуациях, например в формулировке теоремы 20.2.1, предположение одно- связности можно опустить. Точно так же предположение одно- связности можно опустить и в формулировке теоремы 20.1.1. Извлечем еще одно следствие. Предложение 20.7.2, Пусть У вЂ” односвязное вполне геоде. зическое подмногооброзие в компактной связной группе м). Предлоложим, что У реализует когомологическую образующую в Н' (Ц); ]к).
Тогда подмногооброзие У диффеоморфно одному из следующих многообразий: Вь'-', !)2; Я>(3)!80(3) (тип 4А41),.причем каждое из мпих цногооброзий реализует нетривиальный коцикл в'своей группе изометрий, Д о к а за тел ь с т в о. Это утверждение следует из теорем 20.1.1, 18.! и утверждения !9.!.
Другое доказательство некоторых результатов настоящего параграфа было дано впоследствии в 193] на основе анализа К-функтора однородных пространств, й 21. Теорема классификации, описывающая коциклы в когомологиях компактных групп Ли, реализующиеся вполне геодезическими сферами 21.1.
формулировка теоремы классификации. В этом параграфе решается задача, з некотором смысле обратная той, решению которой был посвящен предыдущий параграф. До сих пор мы исходили из заданного вполне геодезического подмногообразия У в компактной группе Ли Е и выясняли, когда оно реализует нетривиальный цикл в группе Нч(й). Полное решение этого вопроса получено в $20. Я9 КОЦИКЛЫ, РЕАЛИЗУЮЩИЕСЯ СФЕРАМИ 9»П Фиксируем теперь некоторое многообразие У«, н пусть 9— некоторая группа Лн.
Вопрос: какие нетрнвнальные циклы хек ен Н, (9) могут быть реализованы в группе 9 с помощью вполне геодезических подмногообразий, днффеоморфных многообразию У«? Если группа 9 является группой нзометрнй !«('Р) пространства Р' (прн условии, что Р'«=Уе, см. теорему 18.1), то полный ответ на этот вопрос также содержится в $ 20. Если же группа 9 не является группой нзометрий, то требуется дополнительный новый анализ. В качестве «представляющего» многообразия Уь мы выберем сферу.
Этот выбор обусловлен не только тем, что сфера †наиболее простое нз пространств У, которые вообще могут реализовывать нетривиальные циклы в группах Ли (см. теоремы 20.1.1 н 20.1.2), но н в значительно большей степени тем, что реализация циклов с помощью сфер тесно связана с реализацией нетривиальных элементов гомотопическнх групп п,(9). Более того, в том случае, когда объемлющее многообразие является не группой, а симметрическим пространством типа 1, мы сразу будем решать важную задачу о реализации вполне геодезическими сферамн нетривиальных элементов гомотопическнх групп п,(М) 9Я. Поскольку вполне геодезическую сферу можно рассматривать как экстремаль для многомерного функционала Днрихле (квадратичного по производным), то, следовательно, мы решаем вопрос о нахождении стационарных (критических) точек функционала Днрихле, определенного на функциональном пространстве отображений сферы в группу Ли.
Задача эта имеет много самостоятельных приложений, описание которых выходит за рамки настоящей книги. Замечательным .образом описанная выше задача реализации вполне геодезическими сферами нетривиальных элементов гомотопнческнх групп оказывается связанной с задачей о нахождении максимального числа линейно независимых векторных полей на сферах. Эта связь будет подробно описана. (Ниже через 1У1 обозначается целан часть числа 1Ч.) Т е о р е м а 21. 1, 1.
Пусть 9 — компактная простая группа Ли, и пусть й = й (п) =11+ 1оул п1, Тогда единственными (с точностью до умнткения на вещественные числа и по модулю ядра гомоморфизма Н' (9) -» Н" (5), индуцированного влолсением сферы Я в группу Ли 9) элементами х «жН' (9, 1?), реализующимися в группе Ли 9 вполне геодезическими сферами, являются следующие элементы: (1) в Н'(Я3(п), Р), п~2, элементы (х», х», х„.. х»А-»); (2) в Н" (80(п), Я), п)8, элементы: а) (х„х„х„, ..., х,»»), если й ~ 0 (глод 4), б) (х», х», хм, ..., хм-»), если я~1(глоб 4), в) (х„х„х„, ..., х,„»), если 1~2 (шоб4), г) (х„х„хм, ..., х,«,), если й~З(пюб4); ~ТО ПОВЕРХНОСТИ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ [ГЛ.
« (3) в Н' (Бр (л), Я), и ) 1, элементы: а) (х,, х„х„, ..., х»» «), если й ВНО(пюд 4), б) (х», х,, х„, ..., х,»+,), если йэн 1(шод 4), з) (х», х„х„, ..., х»» «), если й 2(шод4), г) (х„х„х„, ..., х,»,), если й 3(шод4); (4) в Н'(О«: 1«) элемент хв' (8) в НР(Е«, (к) элемент х,; (6) в Н«(Е«' Р) элементы (х»> х»)~ (7) в Н' (Е;, 1«) элементы (х„хм); (8) в Н'(Е«, Щ элемент х,. В 5 22 будет полностью решена аналогичная задача реализации нетривиальных элементов гомотопических групп и,'(М) 9 Р вполне геодезическими сферами для всех компактных неприво. димых симметрических пространств типа 1 (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
