А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Легко подсчитать, что йр(Ао(Ео))=уруВ(поА„по'). Так как точки Еог и <р(1о) при надлежат одному и тому же симплексу Ь~,..л, то эти точки можно соединить таким непрерывным путем ор(т), что ф(т) ев ~бс,...о„для любого т и ф(0)=ор(1о), ф(1)=1оо Согласно лемме 20.4.1 базис йрВ(11) можно непрерывно перенести вдоль пути ор(т) в точку 1м так, что в процессе деформации базис о6рВ(11) зсе время остается касательным к У, репер о(ч Е(1о) остается касательным к Т, а репер еЕЧ~А(1о) все время ортогонален тору. 1ЗЗ повегхности, гвллизгющие нетэивилльные циклы !гл. « Итак, получаем в точке Г»«базис «(«р В (г3) такой, что ог«1«р В (гг) =ог«(«рВ(13)=огВ(Ц).
Репер «(«рЕ(® продеформируется в репер д«сЕ(Ц, определяющий ту же ориентацию тора, что и репер с(«р Е(Ц), т. е. ог«1«р Е (Гь) =с(о) ог Е(«ь). Репер «(«р А («ь) продеформнруется в репер Э~А (г~ф )в точке гм. «(фА(Я)=««у«м(п,А<п,')). Осталось сравнить ориентации, определяемые в касательном пространстве Т«н(0(Г»«)) двумя реперами !«д«м(п А, п,,«)«! и (д«м(А«)). Так как п,~ 'Р, то можно соединить точку п«гладким путем «ь(т) с единицей группы е, целиком содержащимся в $, Рассмотрим в подалгебре Н два репера (А„) и (п„А„п7) и определим иевырожденные линейные преобразования Р,: Н- Н следующим образом: Р, (Х) = А«1 («ь (т)) (Х).
Тогда Р, — тождественное отображение и гомотопия Р, переводит репер п,А(е)п,' в репер А(е) и в процессе деформации репер не вырождается. Рассмотрев отображение д«,. Н- Т«„(0(1»«)), мы и получаем, что взаимная ориентация базисов В(гм) и йрВ((,«) определяется взаимной'««риеитацией реперов Е(Г»«) и ЛЕЩ, т. е. огВ(Г»«) = = с (о) ог «(«р В ((ь) = с (о) ог В (ГБ). Следствие 20.4.1. Искомая степень отображения 1: У-~У (У = А„Д равна сумме г (Т"-') = ~ ', с(о,), где через о«обозна- «1 чена плакал перестановка набора (1, 2, ..., п), что 1»«я Ь«о,«, («„..., 1„)=о(1, 2, ..., и); 8м пробегает все прообразы точки (а ~ й("). Лемма 20.4.3. Лусты)1; тогда г (Т™)=2'", г.
(Т' -')=О. Доказательство. Пусть тор Т 'с:Я3(п) реализован матрицами следующего вида: Обозначим элемент 1ен Т так: г=(«р„..., «р„). Рассмотрим элемент Р ~0(п), Р =ф«рм ..., з «р„), бе1(Р)= — 1, О(-з-«р~(;.. ю ! 1 ю 1 ... ( — «р„(п. Хотя элемент (Гь)' не принадлежит ЫЗ(п), из него можно получить все корни 1„элемента 13, если к нечетному 1! числу аргументов « — «р,~ добавлять и. Рассмотрим некоторый '(2 а корень 1,. Условимся, что если значение аргумента, стоящего иа р-м месте, больше чем и, то на р-м месте поставим знак «+», а если значение аргумента меньше чем п, то поставим знак « — ». Пусть п=2, тогда для получения всех корней надо заменить нечетное число знаков « †» в строке ( †, †) на <+», что дает: твогвм» кл»ссиэик»ции !м — — ( — +), (оо=(+,,— ).
Ясно, что с(а») 1, с(а,)= — 1 и Х (Т') = О. ПУсть и=3, тогда имеетсЯ 4 коРнЯ род 1»»=(-)-, —, — ), гщ=( —, +, — ), 1о»=( —, —, +), 1ы — — (!-, +, +). Имеем: с (а») 1, с (а,) = — 1, с (ао) = 1, с (а,) = 1, Е (Т') = 2. Пусть теперь и четио, и = 2й+ 2, й ~ 1; докажем, что Е(Тщ'+»)=У(Т»)Е(Т»»); Т™=Т»х,Т»». Так как Е(Т»)=2, то отсюда будет следовать, что Е(Т' )=2'". Отметим, что число Е (То"+') не является степенью отображения ! ! ы+ .
Рассмотрим 11 ~Т"", 11=(ор,, ..., ~ро»,о), и пусть выполнены все условия, наложенные на ро. Определим проекции р» и ро: р;. Т»»»о-~ — » Т», Р»'. Т'»" — Т'", положив Р, (ф = (~Р»+ ... + <Ро»сб <Ро»»о', <ро»+»), ро (1») = (~рм ", щ»' ~ро»,»+ оро»,о+ оро»,»). Элементы р» (1»~), р,(1щ) и р,(Й), ро()о) регулярны. Рассмотрим элемент ро(1»). Для него снова выполнены все условия, наложенные ранее на 11, что дает возможность применить индукцию. При применении элемента ос»он%'(Я)(21+3)) к симплексу Ь„.
<о»щп возникает индуцированное действие на симплексах р,(Ь»о <щ+щ) и»!э»(Ь»»„л»»„!). Итак, действие группы (Р(Я)(2й+3)) на торе То '» порождает индуцированное действие на Т' и Т", совпадающее с действием )Р(У/(2й+1)) на То» и 1Р(Я)(3)) на Т'.
Кроме того, проекции корней 1»~ на Т' и Т»» дают полный набор корней из элементов р (1С) и р.Ж а() Рассмотрим все такие Морин 1„ен То»'-о, что р»(1»~) = ~1 =(+, —, — ), и предположим, что (1»о)о»+ьо»+,— — ехр! — <ро»„). Пусть корень 1щ имеет вид 1о!=(э, э, ..., э, —, —, — ), тогда р,(1щ)=(о, о, ..., о, — ). Пусть а' — перестановка, приводящая элемент (е, э, ..., э, э) к «нормальному» виду, т. е.
отображающая его' в симплекс Ь„,„; тогда, чтобы привести к «нормальному» виду элемент (э, э, ..., э, а, — ), необходимо применить еще 2»+1 транспозиций. Окончательная перестановка а" имеет вид а"= $а', где с(с) = — 1. После перестановки а' необходимо применить еще одну перестановку т) такую, чтобы перестановка а (го~) = т! а' отобразила элемент 1»! в симплекс Ь»о <»»+»и Так как перестановка о) нечетна, то с(а (1»»)) = = с (а (ро (1»Д)).
а!') Рассмотрим все такие корни !щи Т"+', что р»(рщ) = = (+, —, — ), и предположим, что 1щ (э, э, ..., э, +, —, — ). В таком случае с(а(1»!))=с(а(р»(1»Д)), т. е. в случае а!) мы имеем с(а(1,Д) =с(а(р,(1щ))), ао) Пусть р» (1оо) = ( —, +, — ). Предположим, что 1и =(э, э, ...
..., э, —, +, — ). Тогда с(а(!щ))= — с(а(р»(1»!))) а») Пусть р»(1»Д=( — + — ), !о~=(э, о, ..., э, +, +, — ), Тогда с(а(1»д) =с(а(ро(1щ))) а») Пусть р»((ос)=( —. — ~ +), Ан — — (э, о, ..., а» эо —, —, +). Тогда с(а(Фо!))=с(а(р»(то!))) [КЗ пОВеРхности, РеАлизующие нетРНВНАльные циклы [Гл. Ф ао) Пусть ро(1»ю)=( —, —, +) 1»[ (о' о ° ° ° о а! +Ф ° +).
Тогда с(а([м)) = — с (о (ро (1»[))). ао) Пусть ро([оо)=(+, +, +) 1»[ (а, », °" о, а, —, +. +). Тогда с (а (1»Д) = с (о (ро (1»[))). ао) Пусть ро(1»ю) (+, + +) 1»[=(», а," ° а, а, +, +~ +) Тогда с(о (1»[)) = с(а(ро (1»ю))) ° На рнс. 45, изображающем прямое произведение Тох.Т»о и объединяющем все рассмотренные выше случаи, через А обозначено множество корней 1м, для которых 1м (о, ..., а, а, а, — ), а через  — множество корней [м, для которых [м (а, ..., а, а, а, +).
Взяв алгебраическую сумму корней 1м, мы получаем формулу Ь,л е 7 (То»о») = Х (Т') л. (Т'"). Все проведенные рассуждения можно повторить и для тора То» ' = Т' к' Тоо-о, что дает формуФц, ' ' ' лу л(7»"~)=Е(7»)г.(7»о-~), а так как ! ' о Е (То) О, то Т (Т' -') =О. То, что Е (То -')=0 при т~1,можно было бы доказать и непосредственно, не опираясь [го [гл тоо иа формулу л(7") =Е (Т') Е (Т ') Рис. 45. Следствие 20.4.2. Искомая сте- пень отображения 1: У-».У, где У = =Я[(п)180(п), п~З, равна 2'", если п 2т+1, и равна нулю„ если и 2т. 20.5. Случай пространств типа 1. Пространства Я)(йт)1$р (т).
Рассмотрим симметрические пространства Я3(2т)1$р(т). т=»2, ранг У =*т — 1, [=Бр (т) вполне негомологична нулю в Я[(2т) для целых коэффициентов, Р(У, 1) =(1+1») (1+1»)... (1+[« -'). Максимальной связной н односвязной группой изомегрий является группа Я1(2т). Инволютивный автоморфизм в алгебре б имеет вид9(Х)=1Х! о, где1=[, ~~. Азтоморфизм 8 продолжается О Е[ до инволюции а(д)= 121-'.
Множество неподвижных точек автоморфизма а — стационарная подгруппа р. Вполне геодезическое подмногообразне У образовано всеми элементами вида (аа(и-')), т. е. (я1дг1-'). Ясно, что У вЂ” подмногообразие, составленное из всех кососимметрических матриц иг= — а. Касательное пространство В=Т,(У) имеет вид ) ~~, где Еоензп(т), Ео~ х, х,1 [2» — 2 ~~~' онзо(т, С). Максимальное абелево подпространство — тор Т— имеет (в обозначениях леммы 20.4.3) внд (<р„..., у; [р„...
[р ), где ~р,+ ... +гр =2яп. В данном случае ранг У«- <ранг Э, причем То=.й(Е); 1яТ, 1оо 1„+о,,„+„1«--а~т. Легко подсчитать, что пересечение $ П У не дискретно и цикл .р нельзя использовать при подсчете индекса пересечения циклов У и О. Заметим, что элемент [ ен Т полностью описывается элементом ([рм ..., [р ), где [р,+...+[р =2йп. Выберем 1ен)с(У) ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ 1оз таким образом, что О~~р,(...(ор С2л; тогда С(1)=8(У(2)х Х...ХУ (2)) (т сомножителей) и состоит из матриц следующего вида: ~оо О:;.е О ~ ( Ф, Ф,о, "Хо 'О х,„';О у,„) 'о1 О 1оч О оч„ )'О ' ...:'О Лемма 20.5.1.
Если 1~11(У), то 0(1)=Бр(т)1К, где К Зр(т) ПС(1) =51) (2)Х ... хЗП(2) (т раз). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть с ~ С (1) П Бр (т), с ~, ц ~х уо тогда 1с=с1, что дает необходимое и достаточное условие принадлежности элемента с к подгруппе Зр(т): 2= — 1', %'=Х. Так как сенС(1), то имеем г,= — уь ил=хо что и требовалось доказать.
Рассмотрим отображение 1: У- У,1(о)*=ио, и пусть (3~)с(У). Тогда на торе Т существует 2 -' решений уравнения (о=4; обозначим эти корни через 1оь Построим в точках 1о и 1о базисы В (6) и В (1о~) (см. выше). В нашем случае подалгебра )У = Кегль 1~В(У), является подалгеброй К зц(2)х...хзц(2) (т раз). Возьмем ортогональное дополнение А к )Ч в подалгебре Н и в А возьмем произвольный базис А„..., А„а=т(2т — 1). Так как о(1В(1оД=В (11) (с точностью до умножения на 2 векторов репера Е (1м)), то необходимо сравнить ориентации базисов В (1м) и В ((о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
