А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Символом ' (слева) обозначены пространства, стационарные подгруппы которых вполне негомологичны нулю в объемлющей группе Е. 2) В третьем столбце таблицы представление многообразия )/ в виде Е/$ не обязательно совпадает с представлением Е'/$', где Э'=/о((/). Далее, Я)з(8)=Я)(8)/(+-1). Стационарные подгруппы в Е,П, РЕАП1, ЕЙ!, 'Е,1/П, Ез1Х, Р,1 не являются прямыми произведениями; пересечения сомножителей непусты и являются циклическими подгруппами порядков 2, 4, 2, 3, 2, 2 соответственно, Ограничения, сделанные на индексы во втором столбце,' преследуют цель: избежать совпадений между пространствами различных классов. Изоморфизмы в малых размерностях таковы: 1) А,1=А,П(,=С,1=8,1,; 2) Сз(=Во!А;3) САП,=Ез1з14) А,1 = = 0з1з) 5) АзП = 0з1з) 6) АРП!з 0з1з1 7) ААП1з 0зП11 8) 0з1з = = 0.П1.
Хотя алгебра 0,=А,+Аз не проста, но пространства 0,1П и В01 (80(р+4)/Ю(р) хБО(д)) при р+д= 4 можно определить, что дает еще три изоморфизма: 9) 0з1А=БО(4)/80(1) х80(3) =- = 80 (4)/30 (3) = Я.1 (2); 10) 0з!з = Ю(4)/Ю(2) х $0(2) = Аз! х А,1; 11) 0,П1 = БО (4)/(/ (2) А,1. Мы не будем описывать ииволюции для всех пространств типа 1; те из них, которые нам понадобятся, в соответствующем месте будут указаны. Если неприводимое симметрическое пространство определяется (см. выше) группой Е, полупростой и односвязпой, и инволютнвным автоморфизмом 8, действующим в алгебре Ли б, то зта группа является максимальной связной группой изометрнй етого про. странства (см.
[91, [701), 142 поввохности, »вллизэющик изт»ивилльныв циклы и'л.« 5 18. Труппа Ли, содержащая вполне геодезическое подмиогообразие, автоматически содержит группу изометрий этого подмиогообразия Пусть Š— связная компактная группа Ли и Ус=(3 — компактиое одиосвязное вполне геодезическое подмиогообразие. Требуется выяснить, когда цикл 1, [У] отличен от нуля в группе Н, (6). Тот случай, когда У вЂ” подгруппа, полностью разобран в пуйкте 17.2. Так как любое вполие геодезическое подмиогообразие У в группе 6 является симметрическим пространством, то одним из путей решения задачи может быть следующий; мы должны рассмотреть все вложения компактных симметрических пространств в группы Ли и выяснить, какие из этих вложений реализуют нетривиальные циклы.
Т е о р ем а 18.1. Пусть У вЂ” компактное односвлзное вполне геодезическое подмногообраэие в компактной группе Ли Е, и пусть ((3„) — совоку ность всех подгрупп группы (3, содержащих подмногообраэие У, Тогда подмногообразие У распадается в прямое произведение: У = КхУ ых...хУ,=КхУ', где К вЂ” компактная подгруппа группы Е, а каждое У~ (т+1~(~з) является вполне геодезическим подмногообразием в группе Е и не является подгруппой в 9. Кроме того, это разложение обладает свойством; если А (У) П 9„, то подгруппа А (У) компактна и полупроста, а универсальная накрывающая А (У) иэоморфна прямому произведению групп: А(У)~Кх7»(У,„м)х...х1»(У,). Доказательство.
В формулировке теоремы мы предполагаем, что У проходит через единицу группы. Если У К, тв теорема верна; поэтому в дальнейшем можно считать, что У ие является подгруппой в З. Обозначим через В касательное простраиство Т,(У) к подмиогообразию У в точке е. Тогда  — тройиая система и У ехрВ. Коммутаит плоскости В мы обозначим через [В, В1. Тогда [В, В1 — подалгебра в О. Рассмотрим подалгебру О« — — В+[В, В1 (зиаком «+» обозначена сумма подпростраиств). Подгруппу в Э, алгеброй Ли которой является Ом обозначим через Ц),; ясна, что (3« = А (У), Рассмотрим в 0» подпростраиство Н =В Я [В, В), Н - идеал в О,.
Пусть Ц)« — подгруппа, являющаяся замыканием подгруппы 9, в (3; алгебру Ли подгруппы а«обозначим через О», тогда 0«-з0,. В силу компактиости группы Е подгруппа Ф, также компактна, а потому О, — компактная подалгебра алгебры О. Ясно, что О,— идеал в Оь Так как каждая компактиая алгебра А является прямой суммой: А Л 9 [А, А1, где л — центр в А, а идеал [А, А) компактен и полупрост, то О, 290„ Оз [Ом 0»1. Рассмотрим односвязную группу Жг с алгеброй Ли 0«, оиа распв. $1н иэометРин геодезического подмногооеРАзия Ю дается в прямое произведение двух групп: Ю, = Й х 9«, где Й н 9« односвязны, Й диффеоморфно евклидову пространству (центр группы 9«), Ж«компактна н полупроста.
Так как У односвязно, то оно «поднимается» в группу (3, «не разворачиваясьь, а потому мы получаем в 9, компактное и односвязное вполне геодезическое подмногообразие Р, гамеоморфное У. Пусть п«и и,— проекции прямой суммы Е®6«на слагаемые Е и 6«соответственно; через р, и р«мы обозначим соответствующие проекции в группе 9«' Ф вЂ” '9«Р' 9,. Так как Я и 6,— идеалы в 6,, то ехр(п,В) н ехр(п«В) суть вполне геодезические подмногообразия в Й и 9,. Ясно, что подмногообразне ехр(п«(В)) компактно и что ехр (п,В) = р«(У), ехр(п«В) =р«(У), Так как Ф диффеоморфно евклидову пространству, то р,()!) =е в группе !1, т.
е. все подмногообразие У целиком содержится в Я«. Отсюда следует, что В ~ 6, и [В, В!с: 6«, т. е. В +[В, В)= 6,с 6«. Так как 6, — идеал в 6„, то 6, †иде и в 6«', тогда существует идеал Н в 6« такой, что 6« = У Я 6, (прямая сумма), т. е. Н будет идеалом в 6„ а потому алгебры 6, и Н являются компактными и полупростыми. Тогда компактная полупростая группа 9, распадается в прямое произведение групп: 9«= Я хЖ,; У = ехр(Ф), где У и Ф« — компактные односвязные полупростые группы и 9, накрывает 9, конечное число раз.
Итак, подгруппа 9, компактна и полупроста. Так как Н вЂ” идеал в 6„ то вознихает прямое разложение алгебры 6, в сумму двух идеалов: 6,= Н Я 1, что дает разложение группы 9, в прямое произведение: 9, = К х1, где К и ! компактны, полу- просты и односвязны. Так как Н ~ В, то возникает разложение В в прямую сумму двух подпространств: В=Н+(ВД!) Н+Н„ причем [Х, г)=0 при любых Х ен Н, У ен Н, соответственно, [В, В1=Н9Н„Н,с1, Н,с= ! и Н,— идеал в [В, В1. Все зти разложения ортогональны в метрике Картава. Идеал ! распадается в прямую сумму подпространств: 1=Н,+Н;, Н,ПН, О.
Отметим, что плоскости Н, и Н, не обязаны быть ортогональными друг другу. Поскольку 9,= Кх1 и К с= 'г', то У допускает разложение в прямое произведение: У=КхУ', 'г' ехрН«с=9«. Так как 1 — идеал в 6„ то Н, †тройн система в 1, а Н, — подалгебра в 1, т. е. К и à — вполне геодезические подмногообразия в 9„ а потому и в У, и разложение $'= Кх У' означает распадание У в прямое произведение симметрических пространств К и г'. Рассмотрим группу 1 с алгеброй Ли ! и вполне геодезическое подмногообразне У' с касательной плоскостью Н«; Р'с:!. !44 поввгхности.
гв»лизгющиз нэтзиви»льныэ циклы [гл,» Легко видеть, что Н»=[Н„Н»1, и поэтому 1=Н,+[Н„Н,~, Н,()[Н,, Н,)=О. Определим инволютивный автоморфизм 9 на алгебре 1, полагая 9(Х) = Х, если Х ы [Н„ Н»), и 8(Х) — Х, если Х ен Н,. Поскольку 1 — компактная полупростая алгебра Ли, то непосредственным вычислением убеждаемся, что подалгебра Н»с 1 не содержит ненулевых идеалов алгебры 1 (а потому и идеалов алгебры О»).
Отсюда следует (см,[9!), что алгебра (1, 8) допускает разложение на неприводимые идеалы (1~, 9!): 1=~~1 (прямая / сумма идеалов); идеалы 1! попарно ортогональны (в частности, [Хо ХД=О, если Х~ я 1о Хг ен 1~, (чь1) и инвариантны относительно 9, причем [1~, 9~с ) — неприводимые алгебры. й ъ г Группа 1 распадается в прямое произведение: 1=1 ых ..х1„ где все 1», т(й~з, суть простые компактные однасвязные группы; в соответствии с этим пространство У' распадается в произведение У ых...хУ„где У» — компактные неприводимые симметрические пространства, причем У» ехр Вы гп (й = з, где В,=Н,() 1». Переходя от группы ь, к группе (5» путем факторизации ее по некоторой дискретной подгруппе центра, мы видим, что подмногообразие У днффеоморфно проектируется в группу З„ т.
е, У представляется в виде КхУ„мх...хУ,(К~К, У»жР») где К, У» — вполне геодезические подмногообразия, причем [Н, В»!=О, [В», В„)=0, йчь п, Н= Т,. Вернемся снова к группе (Ъ,. Подгруппа 1с=(5, односвязна; поэтому автоморфизм 8 однозначно продолжается до автоморфизма о=сан У 1/ф„где р»=ехрН» — подгруппа иэотропии многоабазия У', т.
е. множество неподвижных точек автоморфизма и, ак как подалгебра Н, не содержит ненулевых идеалов алгебры 1, то подгруппа ф» эффективно действует на Т,(Ус), т. е. (1, 9) определяет риманову симметрическую пару (1, $»), эффективнодействую- щуюнаУ',атогда 1=7»(Р'), 1» 1»(У»), т.е. 6)»= Кх1»(У„„)х х...х1»(У,) (так как У» диффеоморфно У»), что и требовалось.
Ня одно из пространств У» не является подгруппой в (»), хотя и может быть диффеоморфно группе Ли. Теорема (8.! означает, что вложение У-» Я продолжается до гомоморфизма группы К х 1» (У') в группу Ф. Отметим, что группа А (У) = К х 1» (У') не изоморфна универсальной накрывающей группе группы изометрий 1,(У), так как последняя изоморфна группе КхКх!»(У'), т. е. А(У) 7»(У)1К, где К вЂ” максимальная подгруппа в разложении симметрического пространства на неприводимые компоненты в группе Ж Если У У', то А(У) 1»(У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
