А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Полная факторгруппа Зр!П(4<с-)-2)/2 является проективной ортогональной группой РЗО(2п), и 2а+1. Кроме того, для п=2а+1 существует еще одна группа: Зр!П(2п)/я,», где У»~ 2',„; эта группа изоморфна ЗО(2п). Если л четно, то кроме ЗО(2п) существуют еще две «полуспинорные группы», гомеоморфные друг другу при любом л=2а; в частности, при п=8 эти две группы изоморфиы группе ЗО(8). Односвязными представителями в классах 6», Р4, Е„Е„Е, являются группы, имеющие циклические центры О, О, Е», г,„О соответственно. Ниже пере- $ Щ ТОПОЛОГНЧКСКАЯ СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ !3! числены кольца вещественных когомологий простых компактных групп Ли: Н' (Я) (и+ 1)) Л (х„х„х„..., хз„+1)! Н'(Бр!П(2п+1)) Л(х„х,, х,1, ..., Хь, 7)! Не (Бр (П)) Л(Х„ХЗ, Хем ..., Х,„,); Н (Бр!п(2п))=Л(хм х>, х11, ..., х4„-4, хзз-ь)> Н' (Оз) Л(хз, хм); Н'(Ее) Л(х„хем хем х„); (Ее) ~Л(ХЗ, Хе, Х11, Х1м Х17> ХЗЗ)> (Е7) Л (ХЗ> «11> «1Ь> «14> АЗЗ> «47> ХЗЬ) Н" (Ее) =Л(ХЬ, Х11, Хзз, Хз>, Хзь, Хез, Х47, Хьз).
Пусть /: Е ха Š— непрерывное отображение, определенное групповым умножением. Возникает гомоморфизм /": Н'(Е; й)-ь. -~ Н'(Еха; 1>) = Н*(Е)(>ОН'(Е). Элемент хан Н'(Е! Р) называется примитивным, если 74 (х) 1®х+х®1; известно, что образующие («Ь>>.1) в Н'(И; (к) можно выбрать так, чтобы они были примитивными. В дальнейшем будем считать, что образующие примитивны. Группы Я3(а) и Бр(л) не имеют кручения и Н'(ЯЗ(п); Е)= Л(х„х„..., х,„,), Н'(Бр(а); Е)=Л(х„х„..., х,„,). Группа Оз имеет только 2-кручение, и Нз (61! Е) имеет две образующие Ь, и Ько степеней 3 и 11, такие, что Ь,' Ь!1 О.
Группа Н*(ОЗ; Е) есть сумма бесконечных циклических групп, порожденных влементами 1, Ь„Ь11, Ь, Ь11, и групп Е„порожденных влементами Ь; и Ь,". Группа Ее имеет только 2-кручение, 3-кручение и 6-кручение; алгебра Не(Е4, Е) изоморфна тензорному произведению У'х Йе(ОЬ; Е)®Л(х), 7(ед(х) 16, где У вЂ” градуированная алгебра с единицей, определяемая так: У'=У'З=Е, У' У'У' У"=Е„У'=О во всех других размерностях. Группы Бр!П(п) при и а6 не имеют кручения; группы БО(а) (п~3) и Бр!П(п) (а~7) имеют 2-кручение, и все их ковффициенты кручения равны 2.
Напомним определение простой системы образующих в кольце Н" (Ц); Ер) Множество х>,, х>,, „., х>„ однородных элементов в Н'(Е; Е ) с положительными степенями называется простой системой образующих, если одночлены «1,«1,...«1 (!1(!Ь(...((,; зк; Ь) образуют вместе с единицей базис векторного пространства Н*(Е; Ер) над Е . Будем обозначать Ер-алгебру с простой системой образующих х>,, ..., «1„(беях> 1,) через Л(х>,, ..., х>,). Тогда Н' (304 (и); Ез) Л(х,, х,, х„..., х„1) и Н*(3р!и (а); Е,)= = Л ((х> ! 1 ен 5); у), где 4(ея х, = !. Š— множество всех целых чисел, меньших чем а и не являющихся степенями двойки, дену=2'ОЗ>-1, где целое число з(п) таково> что 2><з>-Ьс п~2>!з!.
бз 132 пОВеРхнОсти РВАлизуюшие нетРиВиальные циклы 1гл, 4 Алгебры Н'(64, л,4) и Н'(р4, лэ) также допускают простую систему образующих и НР(04; Е4)=Л(хе, х4, х,), НР(Р4, ЕА) Л(хе, х4, хе, хм, хе,). Ыы не будем подробно описывать структуру алгебр Н'(Ей л, ), 1=6, 7, 8; отметим только, что все группы, локально изоморфные Е, (соответственно Е„Е,), не имеют р-кручения для р)7 (соответственно для р~11) и группа Е, имеет 2-кручение. Умножение( в группе определяет гомоморфизм1,: Н, (9х9)- Нв(9); если в качестве группы коэффициентов взять поле, то получаем гомоморфизм 1,: Н,(9)ЗН,(9)- Н,(9).
Если элементы а и Ь принадлежат Н,(9; С), то элемент 1,(азЬ) ен ен Н, (9; С) называется их понтрягинским произведением, Итак, группа Н4(9; С) превращается в кольцо, умножение е котором ассоциативно, дистрибутивно, имеет единицу, но не обязательно антикоммутативно. Так, например, алгебра Н, (Зр(п (10); 74) обладает простой системой образующих х„х„х„х„х„х„с соотношениями: х7=0 (при всех 1), х4х1 хех, (1(1, (1, 1)~(6,9)), х,хе=х4х4+х44 (см. 1641). Однако если Н'(9; С) имеет простую систему примитивных образующих (х,) (1в-!(т), то Н (9; С)= =Л(у„у„..., у ), где беду,=йедхь 1 1, 2, ..., т; верно и обратное утверждение.
Возьмем в качестве кольца коэффициентов поле вещественных чисел, и пусть 9 — компактная группа; тогда Н'(9; Я) допускает простую систему примитивных образующих и имеет место двойственность групп Н, (9; 14) и Н4 (9; Р); гомоморфизмы 1* и 1„сопряжены друг другу, причем образующие у4 двойственны образующим хь и наоборот, т. е.
гомоморфиэм 1' и понгрягинское произведение 1, полностью определяют друг друга. 17.2. Подгруппы, вполне негомологнчные нулю. Рассмотрим связную компактную группу Ли 9, и пусть У-компактное, односвязное, вполне геодезическое подмногообразие в 9. Задача, которую мы решим в первой части настоящей главы, заключается в следующем: нужно выяснить, когда подмногообразие У реализует нетривиальный цикл гомологий в Н,(9; С), т. е. когда элемент 1,[У1 отличен от нуля, где через 1У1 обозначен фундаментальный класс многообразия У. Рассмотрим сначала частный случай, когда вполне геодезическое подмногообразие У является подгруппой.
Пусть 1: У = р- 9 в вложение, тогда возникает гомоморфиэм 14: Н'(9; С)- Н*(Р; С), Определение 17.2.1, Подгруппа .Р называется вполне негомологичной нулю в группе 9 для группы коэффициентов С, если еомоморфизм 14 является впиморфизмом. Предложение 17.2.1. Связная компактная подгруппа р в компактной группе ди 9 реализует нетривиальный цикл в Н4(9; Р) тогда и только тогда, когда она вполне негомологична нулю в группе 9 для веи(естеенных коэффициентов. $111 ТОПОЛОГИ~1ЕСКАЯ СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ 133 Доказательство. Пусть 1«[ЯчьО в Н«(9' Р) Труппу Н" (.Р; 1«) можно трактовать как пространство лийейных функционалов на Н, (Р; 1«). Так как(,Щ=1,(у, у,...у,)=1„(у1)1в(у,)...
"° 1«(у«) чь О, где у1, у« "., у, — мультипликативные образующие в Н«(4; 1«), то1, (у ) ФО при 1ч--а(Г. Рассмотрим в Н, (Р; 1~) линейное надпространство неразложимых элементов (они же — примитивные), которое обозначим через РЯ). Аддитивным базисом в этой подгруппе являются элементы у,, ум ..., у,. Легко видеть, что Р Я) при гомоморфнзме 1в отображается мономорфно. Поскольку 1, (Р (Р)) ~ Р (9), то образом алгебры Н, ($; (~) является внешняя йодалгебра в алгебре Нв(9; 1«), порожденная подпространством 1, (Р(Р)), откуда следует, что 1, — мономорфизм на Н (Р; Р), что и требовалось. Предложение 17.2.! сводит нашу задачу в том случае, когда Р гт, к исследованию подгруппы,ф на полную негомологичность нулю. Мы изложим сейчас известную конструкцию, позволяющую давать ответ на вопрос о полной негомологичности нулю подгруппы .1т в 9 в терминах алгебр Ли.
Пусть 9-+.Ее- Ве — универсальное расслоенное пространство для группы 9. Рассмотрим вложение подгруппы $ в группу 9; тогда возникает проекция р пространства ВА на пространство ВЕ, индуцирующая гомоморфизм р' ($, 9): Н*(Вгз)-~-Н*(ВО). П р ед ложен и е 17.2,2 (см. [91!). Пусть .ф — связная компактная подгруппа в 9. Подгруппа Р вполне негомологична нулю для вещеспменных когффициентов тогда и только тогда, когда гомоморфизм р' (Р, 9) является зпиморфизмом. В случае вещественных коэффициентов гомоморфизм р' ®, 9) можно эффективно вычислить. Рассмотрим группу 9 ранга Н, и пусть Тп — максимальный тор группы 9.
Касательное пространство Т, (Т") = (я (картановская подалгебра) является накрывающей группой тора Т". Пусть 1~ ТЯ и Н(1) — централизатор элемента1. В 1" выделим множество 5' всех таких элементов 1', что ехр 1' ~ Ю, где 8 — множество всех сингулярных элементов в Т". Множество 5' называется диаграммой группы 9. Диаграмма 5' содержит «единичную решеткуь — совокупность всех таких элементов 1'=!Я, что ехр1'=е. Ясно, что элементы группы Вейля йг(9)=Н(1)(Т переводят в себя и эту решетку, и диаграмму.
Отсюда следует, что группа Вейля получает точное представление как группа преобразований Н'(Тп; Е), а если в качестве кольца коэффициентов взять любое кольцо С', то, как группа преобразований, Н'(Т"; С') = Н'(Тп; У)®С", в последнем случае следует указывать кольцо коэффициентов и писать Ф'(9; С'). Выберем в группе Н'(Т; У) базис г1, ..., гя и рассмотрим градуированное кольцо полиномов от коммутирующих переменных гм ..., гя с коэффициентами из С', т. е.
С'[г„ ..., гя!. 134 пОВВРхности, РеАлизующие иетРиВиАлъиые циклы 1гл. А Тогда группа (р'(Э; С') получает точное представление как группа автоморфизмов кольца С'[г,, ..., гя); эту группу автоморфизмов мы обозначим Вг"' (С'). Пусть Iо (л.) — подалгебра полиномов в л.[г,, ..., гя), инвариантных относительно действия группы 1Р'* (л.). Ясно, что подалгебра 1а(Е) 8 С' в алгебре С'[г„..., гя) содержится в подалгебре 1о(С') и что 1о(Р)= !о(л.)$)Р. Пусть С'=к.
Тогда образующим г,, ..., гя группы Н'(Т; л,) можно взаимно однозначно сопоставить линейные формы на (Я, которые мы будем обозначать теми же буквами. Группа (Р'(Я) получает точное представление как группа автоморфизмов кольца полиномов над (я с вещественными коэффициентами. Предложение 17.2.3 (см. [9Ц). Если группа Е связно, то кольцо полиномов на картановской подалгебре, инвариантных относительно действия группы йт ь (Е; Р) (т. е. кольцо Iо (Я)), является свободной алгеброй с 17 (здесь Н вЂ” ранг группы Е) образующиии РА,, ..., Р„„, где йея Рь, = уь 1 ~ 1 ~ Н, Р (Э, 1) = (1+ йм — ')...
...(1+(мл ) (через Р((3, 1) обозначен полинам Пуанкаре), Рассмотрим вложение й ф- Э, и пусть Т,-максимальный тор группы $. Обозначим через г'„..., г,' образующие в Н'(Тг', Р). Предложение 17.2.4 (см. [9Ц). Можно канонически отождествить Н (Вг, 'Р) и Н (Вг,, 'й) с кольцами Р[г„..., гя) и Р[г'„..., г„') соответственно, причем таким образом, чтобы гомоморфизм р6(Т;, Т) перпиел в гомоморфизм кольца й [ем ..., Ея) в кольцо Р [г,', ..., г,'), индуцированный гомоморфиэмом вложения 1', Н'(Т; к) Н'(Т1', Р).
При этом отождествлении одномерным образующим ги ..., гя следует приписать новую степень 2. Известно, что гомоморфизмы ру(Т;, $) и ра(Т; (3) являются мономорфизмами н их образы суть кольца 1н(м) и 1а(Р) соответственно. Предложение 17.2.5 (см. [9Ц). Пусть $ — связная компактная подгруппа в Е. Если отождествить Нь (Ве', к) и Нь (ВА, 1~) с кольцами инвариантных полиномов 1о(Р) и 1н%) соответственно, то гомоморфизм рй($; З): IОЯ)- 1нЯ сопоставит каждому полиному Р ~1о(1х) индуцированный им полипом на 1; из 1н(й) при вложении 1',-~-1Я. Явный вид образующих полиномов РА, в кольце 1о указан в [67). Итак, мы получили утверждение: компактная связная подгруппа $ реализует нетривиальный коцикл в Нь ((3; й) тогда и только тогда, когда гомоморфиэм (ь: 1а-+ 1н является эпим арф измом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
