А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рассмотрим односвязное симметрическое пространство М', и пусть вен М вЂ” фиксированная точка (при реализации М в группе б точку е можно отождествить с единицей группы б). Рассмотрим геодезический диффеоморфнзм и соответствующий ему максимальный открытый диск Я (е, Я(е)). Реализуем симметрическое пространство М в группе движений б в виде картановской модели У; пусть Всб и шар В~с В,сВ. Впишем в шар В~ (зтот шар имеет, конечно, переменный радиус в общем случае) стандартный шар 4 наибольшего радиуса с центром в точке О. Тогда ясно, что радиус г г(1) этого шара будет равен 1~ и;~, где ас — корень (не обязательно простой) наибольшей длины, т.
е. з-корень а„' имеет наименьшую длину среди всех г-.корней алгебры Рс:В ( ис. 41). Отметим, что таких з-корней а,'может быть и несколько. роектируем всю зту конструкцию в многообразие М; положим (а ехр,((а). Тогда 4 — открытый шар в М постоянного радиуса г (1) =1~ а,' '„заполненный радиусами-геодезическими, исходящими из е, причем дб, — сфера, гладко вложенная в М при О« «1«1 (иногда вместо б, мы будем писать Я(г)). В Обозначениях предыдущих пунктов имеем Я(е, Я(е)) Я„Я(е) ~и,'~. Положим некОтОРые топологические следствия 1П $1и Йс=дФ дЯ(г), тогда при Г(1 (т. е.
при г(~а,'~) сфера »се являегси диффеоморфным образом стандартной сферы 4 = дО, с: В. Для даяьнейшего мы фиксируем сферу Ф,с=В радиуса !а;~; отметим,'что отображение ехр, не является, вообще говоря, диффеоморфизмом на сфере Йм Рассмотрим произвольную пару (х, П, '), где хендО(г), г( (~а„'~; тогда однозначно определена пара (х', П» '), где х' ев ~ 4(г) ~ В, ехр, (х') х, а (ехр,) ('П,"; ') = П» ', а через л(ехр,) Рас.
41. обозначен дифференциал' отображения ехр, в точке х' ы В. Рассмотрим луч (О, х') в В и совершим параллельный перенос плоскости 'П» вдоль луча (О, х') в точку у, в которой продолжение этого луча встречает сферу Ф,~В. Полученную плоскость мы обозначим через /,(П„" ').
В силу определения геодезического диффеоморфизма, вектор скорости у в точке х~ дО(г) ортогонален дО(г), т. е. П„" ' ~ Т,", '(К). Но тогда, в силу свойств отображения ехр, мы имеем 'П'„'с=Т", '()о), т. е, ~,(П„' ')с= ~Т„(В,), где через у обозначен конец луча (О, х'), встречающий сферу Ф» с= В. Геодезическую у, параметризованную длиной дуги г, мы будем обозначать через у=у(г), а ту же геодезическую, но параметризованную с помощью г, 0(1~1, будем обозначать через у' =у'(г). Нас интересует коэффициент н»(г) = тах (и»(о, х) )огай)(х) () = тах и»(о, х), ке»ои кадом) входящий в формулировку всех основных теорем Я 11 — 15.
Поскольку коэффициент х»(г) не меняется при автоморфизмах пространства М, сохраняющих точку е, и поскольку (см. выше) н»(г) и»(о, х, П, '), х=у(г) (г=гт=()у~) для некоторой пары (х, П» '), то достаточно изучить поведение коэффициента и» (о, х, П„) только для точек х' ен Р с В; тогда, 11Е нАименьшиР ОБъемы минимАльных поееРхностен ~ П'л. 3 в силу выбора шара О((а,'(), и вся геодезическая у'(1), 04'(а~1 у(г) =х, целиком принадлежит тору Т=ехр(Р) и х ехр(х')енТ. Замечание.
Н„(г)к.со, если г(~а~!, так как обращение и,(ге) в бесконечность для некоторого ге означало бы возникновение в шаре (1(~ а,'~) сопряженных точек, что невозможно в силу выбора О (~ а,' ~). Напомним, что М (е) = С (е), а потому никакие два геодезических радиуса в Я(~ а,'~) не пересекаются. Напомним также, что у' (1) = ехр, (у), у = ~ (О, у) ~, у ен гь Пусть х ен Т вЂ” регулярный элемент; тогда касательная плоскость Т„Щ допускает следующее ортогональное разложение: Т„(Р~) = А, +А;+ А;, где А„= Т (Т (1В,), (А„'+ А„) — касательная плоскость к орбите Й(х), вырастающей из точки х при присоединенном действии Й на М (орбита Й(х) ортогоиальна тору Т в точке х). Опишем плоскости А; и А;. Орбита Й(х) содержит в себе орбиту Й'(х) =Суэ(1)/С(х), где у(г) х, у' (1) еи г1 дК„у(0) е, С(х) — цеитраливатор х в группе вращений Й, Су'(1) — централиватор уэ(1) в Й; ясно, что централизатор Су'(1) совпадает с централиватором (в Й) всей геодезической у(г'), О~г'~(а;~, поскольку шар Я((а',',) не содержит сопряженных с е точек.
Отсюда следует в силу компактности симметрического пространства М, что плоскость Т„Й'(х) полностью заполнена векторами 1Р" (х) якобневых полей йг, исчезающих только в двух точках: е и у'(1), т. е. йтЙ'(х) равна краткости точки у'(1) по отношению к точке е вдоль у'(1). Положим А„'=Т,Й'(х), а в качестве А," возьмем ортогональное дополнение к А„' в плоскости Т„Й (х). Так как, по предположению, элемент х регулярен, то й1пТ+йтЙ(х)=л. Пусть теперь элемент х ен Т и сиигулярен, т. е. йт Т+ йт Й (х) ( л. Построим разложение А,+А,'+А," в этом случае. Положим (как и для регулярного влемеита) А Т (Т П Н,), йт А =1 — 1, рассмотрим орбиту Й(х) и орбиту Й'(х) ~Й(х) (см. определение выше). Снова положим А„'Т„Й' (х) ~ Т„Й (х) и определим А; как ортогональное дополнение к сумме А„+А; в Т (Н). Ясно, что в случае сингулярного элемента х (А;+А„') ~ Т,Н(х), однако А,'+А; уже не совпадает с Т„Н(х) в отличие от регулярного случая.
Юметим, что для произвольного хяТ йтА 1 — 1, б(тА;=э=(кратность сопряженной точки у'(1) по отношению к точке е вдоль у'(1)). Отметим, что если у' (1)* ехр,(га'), тот есть кратность корня а (в алгебраическом смысле), что следует ив предложения 15.2.1, т. е. т йгпА„' йт1');У„-()В), где ~ й а(а)~0(той 1), а(а)~0, Положим А„Й(А„), А„' /~(А;), А„"=Й(А;), где уев)г,с: В и является концом луча (О, х'). Отметим, что разложение Т„(й,) А„+ А„'+ А„'зависит только ПЗ нвкотоьыв топологичкские следствия $!ц от геодезической у(г) =у»(1), г 1~2~, и не ззвисит от положения точки х на у'(1); иными словами.
зто разложение полностью определяется ззданнем точки у ен Д,, поскольку лучи (О, у) н уч(1) определяют друг друга ле (рис. 42). ' » Лемма 15.3.1. Пусть М вЂ” компактное односвязное симметрическое пространспюо, е е М", 2 < й < и — 1. 4хо Ф, Рассмотрим описанный вьиие канани- ~~У ' ~т%~ ческий геодезический диффеоморфиэм З»чав", »1 с центром в точке е и рассмотрим л,'. /,д геодезическую у' (1) ехр (1а;), где Он-1:а.:1, а,' — любой из и-корней алгебры Р с: В наименьшей длины; у(г) = у'(1), г-1~а~(.
фиксируем в каждой точке х у (г) разложение Т (В~) А.+А;+А:, и пусть Т» (г1») = А„+ А„' + А„— соответствующее разложение в точке у вн К, не зависящее от г. В каждой точке х=у(г) рассмотрим плоскость П„" ~ такую, что плоскость ~~(П, ')=П"„' есть одна и та же фиксированная плоскость в Т„Щ, не зависящая от с=1!а,'~ (т. е. семейство плоскостей (П," '1 является параллельным семейством вдоль геодезической у(г)), В эависимоспш от значения й плоскость П„' мы будем выбирать в аютеетствии со следующими тремя случаями: (1) если 2~й~ч+1, где т — кратность корня а» (аютветствующего з-корню, а,'), то в качестве плоскости П„возьмем любую (й — 1)-мерную плоскость такую, что П» ' ы А„', й!т Ае=ч; (2) если т+2~й~п — 1+1, где 1 ЙгпР=ранг(М), то в качестве плоскости П» ' возьмем любую (й — 1)-мерную плоскость такую, что АесП" 'а(А„'+А»), й(пт(Ае'+А„')=и — 1; (3) если и — 1+1 Сй~ п — 1 (этот случай возможен только при 1)3), то в качестве плоскости П» ' возьмем любую (к — 1)- мерную плоскость такую, что А„'+ А„' ~ П» Тогда мы утверждаем, что коэффициент к»(о, х, П» '), где х ехр (1а,'), а плоскость П ' выбрана указанным способом, является максимальным коэффициентом к»(г).
Обратно, пусть н» (г) — максимальный коэффициент; тогда всегда существует пара (х, П» ~) такая, что х»(о, х, П» )=-и»(г), где х=у(г), у — геодезический радиус. Оказывается, что у(г) у» (1) ехр (1а',), О ч 1ч- 1, где а', — один из з.корней а»' наименыией длины, г 1 ~ а~ ~, и магона считать, что плоскость»»п~ определяется только з.корнем а,', а плоскость ~~(П» ') с=' Те(рт») 114 нАименьшие озъемы минимАльных повегхностеи 1гл, ь не зависит от х, т. е. не меняет своего положения при изменении г от О до ~а„'~. Кроме того, положение плоскости Й(П» ) описывается в соответствии со случаями 1) — 3). Доказательство. Рассмотрим достаточно узкий й-мерный пучок геодезических 1., исходящих нз точки е, имеющий своей о осью геодезическую ехр(1и,'), а своим основанием — достаточно малый шар Л„размерности й — 1, расположенный в ехр,(П»-'), с центром в точке х, где П,' ' выбрана в соответствии с требованиями леммы.
Для сравнения возьмем второй пучок геодезических ~~ с осью ехр(Ы), дев РС=В, ЫыР„сс',ыР»()4(~сс,'~), имеющий своим основанием малый шар й» такого же радиуса, что и б..(. и расположенный в точке у»(г), где с( у» н у„(г) х, а,' у„.. Необходимо сравнить й-мерные объемы чо1» (Д„) н чо1»(1») пучков /ы и 1». Поскольку М вЂ” У~О, то О можно вложить в унитарную группу У(й1), а З()ч) вложить в сферу' постоянного радиуса в евклидовом пространстве йэ, где ~р=2Ж» (пространство матриц размера У х М). Тогда все метрические вычисления можно производить в стандартной евклидовой метрике, нндуцнрующей на У()ч') и на 6 метрику Картана — Киллинга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
