А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. чо!» Хо= !!а (или чо)» Хо»»$). Тогда поверхность Х„является гладким компактным замкнутым подмногооброзием (без особенностей) в М. Дока аат ель ство. Из теоремы 14.2.1 имеем !г» чо1»Х,« ~~ зпр Ч'а(хо, Хо))й», т. е. Ч'»(хо, Х,)ам1 на всей поверх. ~««ы К« ности Хо. В силу основной теоремы 7.2.! отсюда следует, что все точки поверхности Хо регулярны и Х,— гладкое подмногообразие в М.
Предложение доказано. Далее, оказывается, что введенный нами выше класс минимальных поверхностей, образованных интегральными траекториями векторного поля о, также может быть охарактеризован в терминах ункции й-мерного дефекта многообразия М. г р едл о же н и е 14.2.2. Пусть Х, ен /б (Ь') — минимальная поверхность. в точке хо которой выполнена равенство чо),Х, = »г»(х„ /, о), где 1-некопюрая функция из класса г'(хо) (или чо1»Х»»»»(хо)).
Тогда поверхность Х, является гладким подмногооброзием в некоторой окрестности точки хо и, кроме того, в втой окрестности пжрхность Хо целиком состошп из интегральных траасторий векпюрного поля о, выходящих из точки хо. !ОЗ н»имвньшив овъвмы мииим»льных поввохностви и л, о 3 а и е ч а н и е. Условие предложения 14.2.2 отличается от условия предложения 14.2.1, так как »о» = (п! апр»о(хо ), и).
ммм оыие,, Доказательство. Из доказательства теоремы 14.2.1 имеем о«»(хо, 1, и) =то!» Хо- Ч»(хо, Х)'»1»(хо, /, и) т. е. Ч'»(хо, Хо)=1 в точке хо. Следовательно, в силу теоремы 7.2.! поверхность Ко в некоторой окрестности точки хо является гладким минимальным подмногообразием в М.
Так как Ч'(Хо, ), 1)~й»(хо ~ и) У»йк (1)Нпт( —" а о 1О«, (Ю/ чо1»Х»~Ж(Х», г, 1), Ч'(Х„1, 1)-д,,(1)Нт~ " ' ), а о~ ои(~) поскольку в окрестности точки хо имеем Нщ Ч'(Х„1, а) -о = (ип(у»а"). Отсюда получаем, что а о Ч'Ро 1 е) 1 Ч'(Ло 1,») «1 Ое«(е) о о Е» (о) следовательно, функция " ' ), являясь неубывающей на (О, 1), в действительности постоянна. Итак, производная функции Ч'/д тождественно равна нулю; следовательно, в доказательстве леммы 12.6 имеем Ч' — »Ч" ввО, т. е. Ч" — зЧ' Ч" — зчо1»СА,. Поэтому для любого е имеем т" чо1»СА,. Это означает, что при достаточно малом е, когда поверхность уровня Р, можно считать сферой, на «контур» А„, содержащийся в сфере Р„натянуты две пленки: СА, и Х,П В„имеющие (при каждом е) один и тот же й-мерный объем. Так как пленка Х, минимальна, то, следовательно, и пленка СА„также минимальна, но тогда в силу теоремы единственности (справедливой в данной ситуации) Х,ПВ, СА„ что и доказывает предложение !4.2.2.
Этот результат будет вскоре применен нами для полного описания глобально минимальных поверхностей реализующего типа в симметрических пространствах ранга 1. В заключение объясним геометрический смысл дефекта»о». Поскольку эта интерпретация не будет играть в дальнейшем важной роли, остановимся нз этом вопросе кратко, Можно вычислить дефект »о»(хо, 1, и) через дифференциально-геометрические инварианты риманова многообразия М (иапример, через кривизну). Тогда оказывается, что максимальный коэффициент деформации вектор- З!4] ДЕФЕКТ МНОГООБРАЗИЯ И ОБЪЕМЫ ПОБЕРХНОСТЕЯ 103 ного поля и реализуется вдоль таких траекторий поля, которые имеют максимальную кривизну н вдоль которых наиболее снльно изгибается й-мерный пучок $ близких интегральных траекторий.
Тогда число И»(М) является й-мерным объемом тела вращения, получающегося вращением около некоторой плоскости П" пучка 3. Этот пучок должен вращаться, оставаясь все время касательным к П". Полученное многообразие (с краем) не совпадает, вообще говоря, с исходным многообразием М, Однако во многих важных случаях, например для симметрических пространств ранга 1, можно в некотором смысле считать, что зто совпадение имеет место. 14.3.
Доказательство гипотезы Райфенберга о существованнн универсальной оценки сверху на «сложность» особых точек мнннмальных поверхностей реализующего типа. О п р е де л е н н е 14.3,1. Ми скажем, что особая пючка х» минимальной поверхности Х„" имеет «первый тип», если существует Ы Рис. 39. окрестность втой точки в Х», являющаяся объединением некоторого числа т (х,) ~ 3 й-мерных полудисков (рнс.39). Некоторые полуднскн могут образовывать целые диски. Если т(х») 2, то точка х» является регулярной. Особые точкн 1-го типа являются первыми по сложности точками на минимальной поверхности, следующими за регулярными точками. Р а с ш н р е н н а я г н п о т е з а Р а й ф е н б е р г а.
Пусть М— компактное гладкое замкнутое риманово многообразие и Х» ев енса (Ь') — минимальная поверхность реализующего типа. Тогда существует постоянная г"(М, я) = г, зависящая только от размерности я и от многообразия М, такая, что т(х,) =.г" для любой особой точки 1-го тнпа на любой минимальной поверхности Х, я Га(Е,'). Райфенберг сформулировал гипотезу для минимальных поверхностей закленвающего типа в евклндовом пространстве, границей которых является гладкое (я — 1)-мерное подмногообразне А.
В пользу гипотезы говорят многие наблюдения. Например, если 104 нанмяньшие озьвмы минимальных повн хностаи [гл, » А 2, то действительно к каждому одномерному сингулярному ребру (отрезку) подходит ровно 3 листа пленки, встречающиеся на этом ребре под угламн в 120' з трехмерном пространстве (рис. 4О). Ясно, что изображенная на рис.
40 четырехкратная точка распадается (при минимизации поверхности) в две трехкратные особенности. В то же время следует отметить, что точки 1-го тина отнюдь не исчерпывают все типы особых точек минимальных поверхностей, Вскоре мы познакомимся с особымн точками «типа конусов», которые могут иметь значительно более сложную структуру, являясь конусами иад довольно сложными Ри«. 40 многообразиями. Поэтому уместно поставить вопрос об оценке сверху «сложности» особой точки независимо от ее типа. Важнейшей характеристикой особенности является, как показывает хотя бы теорема 7,2.1, ее функция сферической плотности Ч'»(х«, Х); поэтому естественно сразу решать задачу об оценке сверху этой функции плотности.
Предложение 14.3.!. Пусть М вЂ” гладкое замкнутое компактное римоново многообразие и Х«еи Ю Щ вЂ” произвольная минимальная поверхность реализующего типа в М. Тогда существует постоянная Р=Р(М, й),.зависящая только от числа й и от многообразия М, такая, что для любого Х«виги(Е'), где 3«~й~п — 1 в любой точке к»еиХ„выполняется неравенство Ч'»(х«, Х«)ч «Р(М, й).
Постоянная Р(М, й) вычисляется в явном виде, и эта оценка в общем случае неулучшаема. В частности, для Х«ы енЮ(Ы') справедлива расширенная гипотеза Рабфенберга. До к аз ат е л ь с т в о. Из теоремы 14.2.1 следует, что Ч'»(х«, Х«) ч~ ", ( ', где й„) Π— дефект многообразия М. Поскольку многообразие М компактно, то существует конечное число минимальных поверхностей (см, теорему 7.2.1) Х„..., Х« таких, что поверхность Х ( ) .Х~ (объединение всех этих поверх- 3 ! настей) реализует любую подгруппу (подмножество) Ь' в группе НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ !06 м / ч х~'аь. т. ° «ы,р~>~~~.~цх)», ч.~~,х~~ ( ! чьЬь (ф ° "~~. Таким образом, мы получаем универсальную оценку !1ь сверху и можно положить Р(М, й)= '( .
Из построения Р и чь!ь Х) г!ь из примеров, которые будут приведены йиже, вытекает, что зта оценка в Общем случае неулучшаема, т. е. существуют богатые серии примеров минимальных поверхностей, для которых указан. ная оценка превращается в равенство. Ясно также, что если особая точка хьев Хь является, точкой 1-го типа (см. определение 14,3.1), то Ч'ь(хь, Х,)= — т(хь). Предложение доказано. ! Гипотеза Райфенберга может быть доказана для поверхностей реализующего типа и без использования теоремы 14.2.1, но тогда нужно опираться на технику, которую мы разработаем ниже при доказательстве основной теоремы существования минимальных поверхностей.
Впрочем, зтот второй вариант доказательства нам не потребуется (он не дает точной оценки). й 15. Некоторые топологические следствия. Конкретные серии примеров глобально минимальных поверхностей нетривиального топологического типа 15.1. Глобально минимальные поверхности, реализующие нетривиальные (ко)циклы в симметрических простраяствах.
Значительная сложность вариационных задач описанного выше типа обусловила то обстоятельство, что до недавнего времени имелось сравнительно мало конкретных примеров глобально минимальных поверхностей, что связано с серьезными трудностями, стоящими на нуги доказательства глобальной минимальности той или иной конкретной топологической поверхности. Замечательным фактом является то, что разработанная выше методика (основанная на конструкциях, с помощью которых доказывается общая теорема 7.2.1 существования решения) позволяет не только получать теоремы существования, но и доказывать глобальную минимальность конкретных поверхностей. Мы продемонстрируем эффективность разработанного нами метода изучения и построения минимальных поверхностей в нескольких нетривиальных топологических ситуациях.
Начнем с относительно простого случая, когда объемлющее риманово многообразие М является компактным симметрическим пространством ранга 1 (описание таких пространств см. ниже), Теорема 15.1.1. (1) Пусть М'" К,Р" — комнлекеное нроективное пространство, н) 1, и лусть СР = Х,, 1~ йв--и — 1,— ь хь апандартно вложенные комплексные проективные ноднространстеа 106 ИАимрньшиГ ОГъемы минимАльных поверхностен ~Гл. 3 (описвние вложения см. ниже), каждое иэ которых реализует образующую в 2/г-мерной группе когомологий кольца Н» (ЯР», л,) = л. [х,)/[х»+'), где й)ш х„=а. (2) Пусть М'" ЯР» — кватернионное проеклшвное пространство, и ~ 1, и пусть ЯР' = Х"„", 1 ( й ~ и — 1, — стандартно вложенные кзатернионные проективные подпространства (описвиие вложения см, ниже), каждое иэ которых реализует образующую в 4п-мерной группе коголвлогий кольца Н» ($Р»; л.) л,[х»1/(х»,+ ).
(3) Пусть М" КР» — вещественное проективное пространство, п)2, и пусть ЯР = Х», 1(й~п — 1,— стандартно вложенные вещественные проективные пространства, каждое из которых реализует образующую в и-мерной группе когомологий кольца Н М", ~)=ж.[;)/Ж+'). (4) Пусть Мм = Г4/ВР1п (9) — симметрическое пространство, содержащее стандартно вложенную (описзние вложения см. ниже) сферу Я» Х,"„реализующую образующую в восьмимерной группе когомологий кольца Н* (М", л,) = л, [хь)/(х,'). Тогда каждое из перечисленных выше подмногообраэий ХР является не только вполне геодезическим подмногообразием ь М, но и глобально минимальной поверхностью, причем выполняется пючное равенство чо1 р ХР = йр(М), т.
е. все эти поверхности имеют наименьший объем среди всех минимальньрх поверхностей в мпой размерности (и реализующих нетривиальные (ко)циклы). Более того, любая глобально минимальная поверхность ХР с: М, реализукнцая какой-либо нетривиальный коцикл в размерности р, совпадает (с точностью до изометрии в М) с указанным выше подмногообразием ХР, реализующим образующую группы когомологий в этой размерности. В частности, для каждой размерности р в многообразии М может быть только одна глобально минимальная поверхность ХР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
