А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Е. На Вл',ХЧ, 'ОМ-7М- 1. Такую функцию назовем центрированной в точке х„ а множество всех центрнрованных в хч функций обозначим Р (хч). Пир этом Ч А. Т. Фоменко вз ' наименьшие ОБъемы минимальных позеРхностен !гл. 3 фиксирована только точка х„а подкомплекс С меняется (рис. 38). Как и раньше, через и обозначаем Г-монотонные векторные поля На 1)а", ХО; ПрЕдПОЛОжИМ, Чтв ПОЛЕ О (КаК И фуНКцИя Г) НЕ ИМЕЕТ особых точек на «кольце» !ла",хо.
Если мы рассмотрим тройку (Оа~,хо, Г, О), то попадаем в ситУацию, РассматРивавшУюсЯ в предыдущих параграфах, т. е. можем определить функцию г д„,(г) =ехр $ (шах [хо(о, х) /йтас$~(х) Д~-'йг, О) мег зависящую от точки хо, функции Г и поля и, Определение 14.1.1. Функцией ямерного дефекта казсеем ао фуихциЮ И(ХО, ), О) а уау„(1)!!Ш( — ); ЗдЕСЬ д„,(1)=!!Шуа,(Г). а О )Чав (а)/ г ) В каждой точке хоев М рас- Я ~~.
смотрим число И» (хо) = С = ЗПР И (ХО, (в О). )»ае))ЕЕМ + а, )МР вав) 'я-мерным дефектом мкогообра- зия М число Ио=!и! Ио(хо). «вЕ М 'Построенное нами число зависит только от многообразия М н числа й; ясно, что Ио ) О, Если, например, ас.. и огай~ и функция Г в малой окрестности точки хо имеет вид Г (х) = ! х ! (где точка хо принимается за начало координат а» в этой окрестности), то в силу следствия 13.2.1 имеем!ПИ вЂ” = 1 а О чав (а) н И»(хо, Г, О) =у» да.(1). Понятие геодезического диффеоморфизма мы сформулируем для случая произвольного гладкого компактного риманова много- образия М".
Пусть х, ы М" — фиксированная точка, ехр„,: Т„М-в. -«М — отображение, определяемое пучком геодезических, исйодя- щих из точки Р, т. е, для точки уев Т„М ее образом в М при отображении ехр„, является точка у(!), где ! равно длине век- тора Оу в Т М, соединяющего О с у, а у(0) =+ Хорошо изое вестно (см., например, [21), что при малых е отображение ехр„ устанавливает диффеоморфизм между диском Оа(О, е), вложен- ным в ТмМ с центром в точке О и радиуса е, и его образом в М, который мы обозначим через !1" (х„, е).
Рассмотрим все те значения (, для которых ехр„устанавливает диффеоморфизм между Ра(О, !) и Я'(хо, !), и пусть !г(хо) зпр(!), т. е. при г)!«(хо) отображение ехр„перестает быть диффеоморфизмом. В частности, это означает, что если Оа(О, ь!(хо)) — замкнутый диск в Т М, то отображение ехр„уже ие является На НЕМ М Э н1 девект мнОГООБРлэня и ОБъемы повеРхностей 99 диффеоморфизмом и склеивает некоторые точки, расположенныв на границе диска 0" (О, П(х,)).
Ясно также, что при всех ((П(хе) замыкание'Ц'(х„!) открытого диска в М гомеоморфно замкнутому диску в М. Таким образом, число Н(х,) есть максимальный радиус открытого геодезического диска я" (хм Г) с центром в точке х„который можно вписать в М. Радиусами этого диска ()'(х„ П (хэ)) будем считать геодезические, исходящие из точки х, и являющиеся образами лучей, выходящих из точки О в касательной плоскости Т„,М (при отображении ехр„,).
Для каждой точки х ~ Я'(х„ !с(х,)) существует ровно один радиус, соединяющий ее с точкой хэ. Описанный выше диффеоморфизм О" (О, г((хэ)) на О'(хм )с(х,)) назовем геодезическим диффеоморфизмом. Ясно, что диск О" (х„)1(хэ)) не обязан совпадать с М; в общем случае дополнение к этому диску в М непусто. В то же время для некоторых симметрических пространств М (например, для пространств ранга 1) этот диск полностью исчерпывает собой все многообразие.
Рассмотрим компактное риманово многообразие М", и пусть хэ ен М вЂ” фиксированная точка. Рассмотрим геодезический диффеоморфизм и соответствующий ему диск О" (хм Р(хэ)). Этот диск состоит из пучка радиусов-геодезических, исходящих из точки х,; введем на этих геодезических натуральный параметр г, изменяющийся от 0 до !с(хэ), и рассмотрим на Я" (хм П(х,)) ",хэ гладкую функцию !(х) г, где х у(г), т. е.
значение втой функции в точке х равно расстоянию от этой точки до точки хэ, измеренному вдоль единственного радиуса (геодезической), соединяющего хэ с х. Очевидно, что эта функция не имеет крйтических точек на О(х„!т(хэ))",хэ', 0~1~Я(хэ). В качестве ~-монотонного векторного поля о возьмем йгаб~. Ясно, что ~о(ем! на О(х„й(х,))'~хе. Рассмотрим теперь тройку (О(х„й(хе)~,хм )', о); тогда, следуя 9 10, можем подсчитать коэффициент деформации н,(с, х) векторного поля о.
Поступая по общей схеме определения й-мерного дефекта М, определим я-мерный геодезический дефект М следующим образом. О п р е де л е н и е 14.1.2. Функцией й-мерного геодезического дефекта И!((хэ) назовем Функцию аэ ы1 (хо) = уэу~,(Н (хо)) 1!т —, а О все (а) где 1 а„(г). ехр~~ щах нэ(о, х))-'Иг. о1мн > Напомним, что ~йгад~( ~!. Положим хэ (х„г) = шах н„(о, х). л%(/ ю Назовем И-мерным жодезическим дефеюпом многообразия М число Ж = 1п! (!!(хэ), *,ам 41 1СО н»именьшие ОБъемы мнннм»льных пОВеРхнОстей !гл.
э Так как поле о имеет вид дгаб~ и так как (йгаб~! А» 1, то получаем а 1!ш д„(а) = Вш ехр ехр ! —,'1 = Иш (а'). а а а»(у')а Следовательно, мы доказали следующую лемму. Лемма 14.1.1. Для 113 (ха) имеет место формула ьг» (ха) Т»Ь, Ж (ха)). 14,2. Теорема о связи дефекта с наименьшими обьемами поверхностей реализующего типа. Рассмотрим, для простоты, обычную теорию (ко)гомологий Н', и пусть Н(х, 0(ф), (.')-Произвольный вариационный класс, введенный нами в й б. Для упрощения обозначим этот класс через О(Ь'). Напомним, что класс гд(Ь') образован теми поверхностями (компактами) Х в М, которые реализуют в случае гомологий подгруппу Ь' в группе Н»(М), а в случае когомологий — подмножество Ь' в группе Н" (М), Хотя все нижеследующие результаты верны и для произвольной теории й' (например, для теории бордизмов) и произвольного класса ау(го), мы сосредоточим свое внимание на этом простейшем случае.
Геометрически глобально минимальная поверхность Х из класса.гд(Ь') изображает собой наименьший (по объему) носитель Ь в М. Вопрос: в каких пределах может меняться объем наименьшего носителя 1.' для фиксированного многообразия М? Оценка сверху дается объемом любого конкретного представителя из класса Ю(7.'); оценка снизу является иетривиельной задачей, которую мы решим, используя понятие дефекта многообразия М. Пусть размерность й заключена в ин. тервале 3 =.
й «л — 1 (см, теорему существования ГМ-поверхности, $7). Теорема 14.2.1. Пусть Х» ~ М" — глобально минимальная поверхность, реализуюиугя подгруппу (подмножество) В' ~ О, т. е. Ха ~ ат (Ь'), Тогда имеет место неравенство чо1» (Ха)» »(' зпр Ч'„(ха Ха)) й»»й»)0. Тем самым, число й»(М) ока~»вохе зывается унинерсальной постоянной, оценивающей снизу к-мерный объем любой замкнутой минимальной поверхности, реализующей нетривиальные циклы (коциклы) в многообразии М. В общем случае мпа оцгнка неулучшаема, т, е.
существуют богатые серии примеров, когда эта оценка достигается на конкретных минимпльных поверхностях. Аналогичное неравенство имеет место и для геодезического дефекта 11», а именно: чо!» Х» м ~! Бцр Ч'»(ха, Ха)) Щ»»»$)0. Ясно, что ьг»«ьг». ~»,МХ, Доказательство, Рассмотрим разбиение М=0" ()С, хаев .
Еи Х„где Ха — фиксированная минимальная поверхность из $ Рл деьект мнОГООБРАзия и ОБъемы повеРхностеи !в! класса ег(Ь'). рассмотрим произвольную функцию /, центрирован- ную в хо (см. пункт 14.1), и пусть о — )-монотонное поле без особенностей на 0" х,. Поскольку все условия теоремы 11.2,1 выполнены, то из следствия 11.2.1 получаем неравенство чо1» Ха рчо!»(Х»() (/н::г)) =Чг (Хо, ), г) ы «11ш ',' ) о„,(г)=!1гп( — '„-е' — ) 11ш!' — )).т»д„(г). /ч'(хо, Ь а)1 . /ч'(х, /, в)т .
/ аа Отсюда, устремляя г к 1, получаем д» чо)»Х»- Ч'»(хо, Хо) "р»д«,(1)1!ш( — ) Ч',(хо, Хо)»оа(хо 1 о). о 01Е«,(о) Тогда, чо1» Хо ~ Чг» (х„Х) й» (хо). Далее, чо!»Х,= зцр [Ч/»(хо, Хо)й»(х»Д~ ««м К« Р»/ зцр Ч/»(хо> Хон 1п1»г»(хо)' / зцр Чг»(хо, Хо))»гь ~««ил, / ««ым 1««м К« что и завершает доказательство теоремы.
Напомним, что Ч'»(хо Хо)~1 на Хо. Кзк мы покажем ниже, существуют такие поверхности Х„ для которых выполнено равенство чо!»Хо=!!» О. Оказывается, на таких поверхностях вообще нет особых точек. П р е д л о ж е н и е 14.2.1. Пусть Х, ен Ю (Ь') — минимальная пжрхность, для которой неравенспыо теоремы 14.2.1 превращается в равенство, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
