А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Б том случае, когда М вЂ” комплексно-аналитическое многообразие и Х с= М вЂ” дивизор комплексной коразмерности один, задача Н превращается в следующую: оценить снизу функцию объема Ч" (Х, г) чо1(Х[» (~~г»), где [хеиМ ~~(х)~г» (Д~г», (-функция исчерпания (см, определения в [50!). Пусть М С", ((х) = »х(', дивизор 0 алгебранчен тогда и толькотогда, ногда функция объема асимптотически (т. е. прн больших г) имеет вид Ч" (Х, г) 0(1) г'"-' (см. [50!). Аналогично, серия результатов, связанных с решением проблемы С. Н. Бернштейна (см., напри. мер, обзор в [33!), также содержит решение одного частногослучая задачи Н: оказывается, что при больших г функция Ч'(Х"-', г) (где Х" ' — график произвольной локально минимальной поверхностй, однозначно проектнрующейся на гиперплоскость Р"-'с=Р') растет как г"-' н Ч'(Х"-', г) с г"-', где с — плотность (нлн кратность) поверхности Х"-' в точке О ен Х'-'.
Ниже мы докажем общую теорему об оценке снизу функции объема Ч"(Х, г) для ГМ-поверхностей в М, Частиымн случаями втой теоремы являются некоторые из известных ранее результатов, описывающих поведение фуннцин объема. Кроме того, зта теорема устанавливает некоторую единую общую точку зрения на перечисленные выше различные подходы к описанию глобальных свойств функции объема на ГМ-поверхностях. 9.2, Борднзмы н функции исчерпания. Пусть М" — гладкое, компактное, ориентируемое, связное многообразие с краем дМ * М", ' 1) М," ', где М", ' — гладкие связные орнентируемые многообразия, т. е. М~ и М, бордантны.
Будем рассматривать также и такие пленки М, для которых М~ ф. Пусть|: М-~Р— функция Морса на М, критические точки которой не лежат на крае дМ; пусть ~)м, О, ~~м, 1, 0~1(х)~1. Будем рассматривать такие функции 1, средй критнческнх точек которых (еслн М~чь 9, МзФ(О) нет локальных максимумов н локальных мини. мумов, О существовании таких функций см.
в [531. Еслн М, ф, то будем считать, что множество уровня Д=О» состоит из одной точки, являющейся точкой невырожденного мннймума для 1. Через Р, (Д г» будем обозначать гнперповерхность уровня ~-' (г) с= М; в том случае, когда М, ф, гнперповерхностн Р, прн достаточно малых е)0 являются сферами В," Рассмотрим подмножества В," (хек М!/(х) а:г»; прн изменении г от 0 до 1 области В„, постепенно расширяясь, заполняют все многообразие М, исчерпывая его. Если г~[0, 1! — не критическое значение для функцин 1, то граница области В„т.
е. Р, дВ„является подмногообразием. Прн переходе г через крнтическое значение г многообразие Р, подвергается перестройке э Щ ФУнкпии исчеРпАния и минимАльные повеРхности 81 Морса во всех критических точках, расположенных на Р-„. Назовем / функцией исчерпания, область „— волной, а ее границу Р, — фронтом волны. Рассмотрим на М гладкое векторное поле О, все особые точки которого изолированы, невырождены и не лежат на М,()М,; предположим, что: а) п(/))О на дополнении к особым точкам поля и; б) множество критических точек функции / содержится в множестве особых точек поля и. Например, в качестве О можно взять афтаб/, В силу а) в каждой неособой точке лыР, вектор О направлен в область (/)г).
Предположим, далее, что: в) индексы всех особых точек поля и (т. е. размерность сепаратрисного диска, заполненного входящими в особую точку поля интегральными траекториями этого поля) отличны От нуля и от и. Назовем поле О, удовлетворяющее условиям а) — в), /-монотонным полем.
9.3. ГМ-поверхности. Пусть М вЂ” риманово многообразие с краем; тогда для любого й-измеримого подмножества Х" с= М" определено число чо1, Х вЂ” й-мерная хаусдорфова мера. Если Х вЂ” подмногообразие (быть может, с особенностями), то уо1А Х совпадает с его й-мерным римановым Объемом. Напомним определение глобальной минимальности применительно к нашему случаю. Так как дМ=М,()ММ то для любого Х~М имеем ХП ПдМ (ХПМ,)() (Х ПМ,); обозначим д1Х Х ПМ„д,Х=Х/)Мм дХ д,Х () д,Х.
Пусть А Л"-'~ М, — фиксированный (й — 1)-мерный компакт (подкомплекс), Н1':1п (А, 6) — группа (й — 1)-мерных (ко)гомологий с коэффициентами в бй пусть НА~':~п(А) чь0 и В ~ Н~":~П (А), /. ~ О, — фиксированная подгруппа (или подмножество в НА-'(Л)) (см. 3 б). Рассмотрим класс Ю(Е) всех компактов (подкомплексов) Хс:М таких, что: 1) б(тХ=й, Ч'(х, Х)~1 для любой точки лен Х~дХ (адесь через Ч'А(х, Х) обозначена сферическая плотность подмножества в римановом многообразии; см.
пункт 7.3 или 1291); 2) А =Од,Х; 3) при вложении 0 А-~ -«-д,Х-~.Х/д,Х имеем 1,(/)=О, где 1,: Н„,(А)-~НА,(Х/д,Х), или /, ~1гп(*, где (Ф: Й'-'(Х!дтХ)-~ЙЯ т(А). Пусть Ю(1)Ф(0. Если б,(В) !п1 Уо!„Х, то (см. пункт 7.2) существует ГМ-по- Кмо<Ы веРхность Хэене (1.) такаЯ, что Уо)А(ХА) б„(1,). Класс Ю(Е) состоит из всех поверхностей Х, заклеивающих фиксированную подгруппу (подмножество) 1„но разные поверхности Х, Х'енет(А.) не обязаны быть (ко)гомологичны в Н)м(йу/М,). Все нижеследующие результаты верны и для произвольной экстраординарной теории (ко)гомологий й. Следующие свойства ГМ-поверхности Хэ (см. 5 7) будут использоваться ниже: 1) Х,~Л, 82 и»имвиьшив озъвмы мииим»льных поввэхноствн [гл.
» где то1»Я=О, Х»'~Š— открытое всюду плотное в Х, подмножество, являющееся аналитическим подмногообразием размерности Й; для функции плотности выполнено соотношение Ч'» (х, Х»'~Е) ам 1, ля Х»'~Е' 2) Ч'»(х, Х») ~ 1 для х я Х»~,дХ», Поэтому будем считать, что на ГЫ-поверхности выполнено неравенство Ч'»(х, Х,) ) = 1 (см. й 30), Пусть поверхность Х»/д,Х» проходит через особую точку пМ, в факторе К~Мы где и: Я7-» 97(М,— факторизация, т, е. д,Х»Ф 9 (рис.
32). Случай произвольной тройки (Ж, Г, Х») может быть сведен к такому, где д,Х»чь ф. Нужно рассмотреть Рнс, Зз. пленку М'с=М, где М'=(хяМ~рч-7(х)~1), р (п( г(х). »м Х» Тогда М'=М',()М„М;=Рр, Х»ДМ;чаф. Рассмотрим полезный для дальнейшего пример. Пусть М Л»(Ь)'~ 0»(а), где а<Ь, Э'(з) — евклидов шаря)с» с центром в точке 0 и радиуса з; тогда ГМ-поверхности Х, с=.М, удовлетворяющие условию Х,ДМ,~ ф (здесь М, 5», М, =$» ' — сферы), существуют при подходящем выборе Лс=М» (ввиду существования параллельного переноса в К").
Важный случай: а- О; тогда в качестве Х, мы будем рассматривать ГМ-поверхность, проходящую через точку 0 ен0'(Ь). 9.4. Постановка задачи об оценке снизу функции объема минимальной поверхности. Пусть М"=эХ', з = Х/д»Х и Х вЂ” ГМ-поверхность. Пусть задана функция исчерпания г" на М; построим функцию Ч" (Х, (, г) чо1»(ХПВ",), О*»-г~ 1. Ясно, что Ч' — неубывающая функция по г, Общая задача: дать точную оценку снизу функции Ч' в терминах римановой метрики многообразия независимо от топологического типа ГМ-поверхности Х ~ М.
Точность понимается в том смысле, что искомая оценка должна превращаться в точное равенство для достаточно богатых серий конкретных троек (М, г, Х). Участие ГМ-поверхностей во всех втнх вопросах обусловлено многими причинами. В частности: $ кч козееицнент дево»мании ввктогного поля ЭЗ а) Комплексно-аналитические и алгебраические поверхности в $" (важные для многих приложений) являются ГМ-поверхностями (см. выше). б) Оказывается, что некоторые важные интегральные результаты о поведении комплексно-алгебраических и комплексно-аналитических поверхностей могут быть доказаны с использованием только их глобальной минимальности.
Нам придется опиратьоя на теорему существования (и почти всюду регулярности) ГМ-поверхностей в данном классе (ко)гомологий, т. е. на достаточно иатривнальный факт. $10. Определение и простейшие свойства коэффициента деформации векторного поля Пусть дана тройка (М, 1, Х) и 1-монотонное поле и. Обозначим через у интегральные траектории поля о на М; в силу /-монотонности поля о почти все траектории у, начинающиеся на М„достигают М,. рассмотрим фронт Р, волны В„и пусть х ен Р,.
Рассмотрим поле — и и из каждой точки л еи Р, выпустим интегральную траекторию у(т), 0 ах ~ Т;, у (О) =х, Т,' — верхняя грань тех т, для которых определено решение у(т), выходящее из точки х. Возможны два варианта: а) траектория у(т), начинаясь ах, д»»' л Ю'-Ь) заканчивается на М» при т Т„'; б)траекто™ рия у(т), начинаясь в х, заканчивается в некоторой особой точке поля о (т. е. у(т) является сепаратрисой нуля поля о).
Мера множества сепаратрисных траекторий равна нулю, «типичная траектория» заканчивается « на крае М, (при т=Т;). Функция Т;, вообще говоря, не постоянна на Р; Пусть Н„(и) — (а — 1)-мериая гиперпло- л, скость, ортогональная вектору арчь 0 в точке Рас. ЗЗ. х, П', ' ~ Н„(и) — произвольная (й — 1)-мер. ная плоскость в Н (о); рассмотрим зкспоненциальиое отображение (вдоль геодезических) ехр,: Т,М-~М. Пусть 5«5, * ехр,О»-'(а), где О»-'(е) с-, П"-' — шар,малого радиуса е в плоскости П»-' с центром в точке О, х=ехр (0).
Тогда 5, можно считать (й — 1)-мерным шаром радиуса е с центром в х. Из каждой точки уеи5«выпустим траекторию у„(т) поля — и и будем продолжать ее до тех пор, пока у (т) не выйдет (при т=Т„') на М, либо не закончится (при т=7'«) в какой-либо критической точке поля — о. Совокупность всех траекторий (у„(т) /у~ 5«) образует трубку С5„являющуюся СПГ-комплексом размерности й (в силу /-монотонности поля о). Трубка С5, является почти всюду (в смысле объема то1») гладким й-мерным подмногообразием с краем в миогообрааин М (рис.
33). вз н»нмвньшив оаъвмм мннимальнык поввэкиоотэн Положим х» (о, х, П,' ') 11т (то1» СЗ,У (то)», Я,). Пусть ° 0 к»(о, х) зпр к»(п, х, П» '). Функцию м(и, х) назовем й-мери» ным коэффициентом деформации поля о. В конкретных ситуациях коэффициент деформации поля и обычно легко вычисляется.
Пример 1. Пусть М 0" ()г)'~0" (О) (см, пример выше, где а О); М (хенР', О~~х)к;Я); положим1(х) )х~ и и огай~. Тогда к*(о, х) г/й, где г ~ х'„коэффициент к» зависит только от г и ие зависит от точки хан Р,1 траектории у(т) совпадают с радиусами шара 0" (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
