А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть (Х, А) ~ М вЂ” компактная пара и А- Х, 1: Х-~М вЂ” вложения. Рассмотрим сначала гомологический случай. Пусть Е,'Ьр) — фиксированный набор подгрупп !.„с:йр(А), где рек Е, а Ь'* (ТД-фиксированный набор подгрупп Ц с: )г«(М). Определение 6.1.1. Через Ю, й„(А, Ц !.') обозначим класс всех таких компактов Х, А ~ Х ~ М, что: 1) Ес: Кег(! ) = = Ь (Х, А); 2) Ь' ~ 1гп(!«). Рассмотрим когомологический случай. Пусть 1.=(!.р) — фиксированный набор подмножеств !.Рсьр(А)",О, а Ь'=(Ц) — фиксированный набор подмножеств Ц с: и„"(М)',О. Оп ределение 6.1.2. Через Ю" й»(А, Ц 1,') обозначим класс всех таких компактов Х, А с Х с М, чпю: 1) Ь с с й*(А)'~1т(!)" =7'(Х, А); 2) !.' сй'(М)',Кег(!').
Класс га состоит из всех компактов Хс М, заклеивающнх (ко)гомологические «дырки» Ь в границе А и одновременно реализующих (ко)гомологические «дырки» 1.' в многообразии М. Теперь мы рассмотрим относительную задачу. Пусть си (Х, А)-+. -~(М, А) — вложение и !. ().,) — фиксированный набор подгрупп !., сЬ,(М, А).
Определение 6.1.3. Через д =й (А, !) обозначим кЛасс всех таких компактов Х, А ~ Х ~ М, что 1. с: 1щ(а ). В случае когомологий будем считать, что !.*=(1,) — фиксированный набор подмножеств ),с:й'(М, А),0 (некоторые из Ц могут быть пусты). Определение 6.1А. Через 6«=)г»(А, !.) обозначим класс всех таких компактов Х, А с Х с М, что 1.с)г" (М, А)",Кег(й«). В общем случае классы Ю и е слабо связаны друг с другом, хотя, например, если А=х, то можно считать, что 1=0(ф), (.'=(„а тогда )г(х, 0(ф), !.')=п(х, Х).
Этот частный случай относится к реализующим классам, т. е. к таким, каждый элемент которых реализует абсолютный (ко)цикл в многообразии. Если же А Фх, то даже в том случае, когда )г Н, знание всех компактов в классе га не позволяет описать компакты из классов д, и наоборот. Пусть п=Н (т. е, выполнена аксиома А7), и пусть в классе ер псбор !. выбран так, что )Р~О(Ч)) только при р=й — 1, а иа- 3' зз ва»икцнонныа задачи н зкстьао»дина»ныв таоьнн 1гл.» бор Ь' выбран так, что Цчь0(ф) только при о Ь. Тогда число Ь приобретает геометрический смысл: в Ю можно выделить непустой подкласс таких компактов, что размерность каждого из них равна Ь.
Сосредоточим основное внимание на классах О, поскольку изучение классов д на М сводится, как оказывается, к изучению классов вз на М/А. Эта редукция обеспечивается инвариантно- стью теории Ь, т. е. если си (Х, А)-».(М, А) — вложение, то гомоморфизм а,: Ь, (Х, А)-»Ь, (М, А) совпадает с гомоморфизмом а,': Ь, (Х/А) -+4, (М/А) (соответственно с гомоморфизмом (а')' в случае когомологий).
Иными словами, вместо классов го на многообразии М можно рассматривать классы О на пространстве М/А, которое является многообразием всюду, кроме одной точки х. Рассмотрим два предельных случая: класс Ь(х, 0((О), Г') и класс Ь(А, ~., 0 (ф)), В первом случае класс ю состоит только из компактов Х, реализующих «дырки» многообразия М без какого-либо дополнительного краевого условия, поскольку А =х; такие компакты мы назовем реализующими компактами (задача Плато Б, см. $ 6), Во втором случае класс Ю состоит из компактов Х, заклеивающих «дырки» в компакте А, и многообразие М играет в этом случае роль вмещающего пространства; такие компакты мы назовем заклеивающими компактами (задача Плато А, см.
з 3). 6.2. Устойчивость варнацнонных классов. Понятие р-устойчивости мы вводим ввиду наличия обстоятельства, которое неоднократно отмечалось выше, а именно: размерность Ь элементов а из группы Ьь~'(Х) имеет слабые связи с геометрической размерностью носителя элемента и в том случае, когда Ь вЂ” экстраординарная теория. Геометрия элемента с« <размазана» по всем размерностям з таким, что зв=(Ь).
Поскольку наши аналитические построения будут требовать от нас некоторой свободы в обращении с клетками малых размерностей (чаще всего — размерностей ! и 2) в компактах Х, то желательно, чтобы операции отсечения маломерных клеток не влияли на реализующие и заклеивающие свойства компакта Х.
Это приводит нас к понятию р-устойчивости. Оп редел ен не 6.2.1. Конечный симплициальный комплекс Е, вложенный в гладкое многообразие М", назовем гладким, если: 1) каждый открытый комплекс А'с: Я размерности 1 является гладким подмногообразием в М; 2) существует положительное число е=е(2) такое, опо для любой точки Р ~ 2 в шаре В"(Р, а) (с центром в Р и радиуса з) можно ввести такие локальные координаты х'...,, х", что пересечение Е () В (Р, е) является в »тих координатах линейным симплициальным комплексом в шаре В(Р, е). Определение 6.2.2. Пусть в М" фиксирован компакт А такой, что класс Ь(А, Ь, 1.') (соответственно класс Ь(А, А)) непуст.
Класс Ь (А, Ь, Е.') (соответственно И (А, Е,)) и набор минимАльные пОВеРхнОсти В ВАРиАпионных клАссАХ а ав (!., Г) (ссютветственно Е) мы назовем р-устойчивыми (где р — целое число, 1 (рч п — 2), если из того, что «омпакт Х принадлежит у(Л, 1„Ь') (соответственно й(Л, 1,)), следует, что и любой его подкомпакт У с: Х такой, что Х' У есть конечный гладкий симплициальный подкомплекс в М, размерности не большей, чем р, та«же принадлежит классу И (А, 1„Г) (соответственно й(А, Ц).
Рассмотрим в качестве примера обычную теорию гомологнй Н иа Ус. Пусть набор (1., Ь') обладает тем свойством, что 1. д~ ччО(ф) только прн р=й и ЦчьО(ф) только прн д й; тогда, если ХЕВН(А, Е, Ь') Н(А, Ь» ь (.») и 1 сХ, й(т(Х~,У)м -.и — 1, то, очевидно, г'~ Н(А, Ц м Ц), т. е. любой класс вх (пли е7) указанного вида является (й — 1)-устойчивым в смысле нашего определения.
Именно поэтому варнационные задачи в классах обычных гомологий Н рассматривались до сих пор Всегда з одной геометрической размерности, совпадающей с размерностью компактов-носителей Х (см. [16], 1171). В дальнейшем основную роль будут играть 2-устойчивые классы, поэтому интерес представляет вопрос: каковы должны быть топо.югическне условия, накладываемые на аргументы (А, Ь, Г), чтобы соответствующие классы й(А, 1., Е') были 2-устойчнвымн7 Для простоты положим 'А =х (тогда 1.
0(ф)) и рассмотрим устойчивость реализующих классов й(х, 0(ф), 1.'). Оказывается, любой класс й(х, 0(ф), Ь') на 2-связном многообразии М (т. е. а, (М) я, (М) О) является 2-устойчивым. Эту теорему мы докажем позднее. й 7. Решение задачи о нахожденнн глобально минимальной поверхности (абсолютного минимума) в варнацнонных классах Ь(А, Е, Е.') н Ь(А, А,) 7.1. Постановка задачи.
Излагаемая ниже постановка варнапионных задач и их решение (доказательство существования глобально минимальных поверхностей) принадлежат автору. Рассмотрим компактное гладкое замкнутое рнманово многообразие М. Пусть й- некоторая экстраординарная теория (ко)гомологий на Ус (непрерывная н относительно ннварнантная на категории компактных пар), А-фиксированный компакт в М. Тогда определены вариацнонные классы й(А, Ь, 1.'), й(А, 1.) (см. з 6). В каждом на ннх возникает задача о нахождении глобально мнннмаль.
вой поверхности. Для каждого Х ен йг (нлн вх) построим его стратификацию Х А (3 8» () 8»-'() ..., где 5» — максимальное подмножество в Х~,А, имеющее в кюкдой своей точке размерность й, б»' — максимальное подмножество в Х~,А~,У, имеющее в каждой своей точке размерность й — 1, н т, д. Подмножества У назовем стратвмн; если онн измеримы, то определен стрзтнфнцнрован- тв вз»ихционныв задачи и экст»хо»дина»иыз тзо»ии ~гл.» ный объем 5У(Х) (чо1»5", чо1»»5»-', ...), изображаемый вектором с Ф координатами. Варьируя «поверхность» Х в классе допустимых вариаций (т.
е. в классе О или Ю), мы варьируем вектор стратифицированиого объема поверхности; задача заключается в нахождении поверхности с наименьшим стратифицированным объемом. Наименьший вектор 5У =(с(„4 „...) мы понимаем в следующем смысле. Сначала попытаемся минимизировать первую координату вектора 5У, т. е. будем искать в классе к» поверхность (компакт) Хы для которой чо1»(5»)=то!»(Х'~А) = с(» 1п1 чо1»(У'~,А). Если такие поверхности Х» существуют, гмс» то приступим к минимизации второй координаты вектора стратнфицированного объема, а именно будем искать в классе поверхностей Х„ с минимальной первой координатой (т.
е. таких, что то1»(Х»'~ А) «Ц такую поверхность Х»,, для которой чо1»-«(Х»»' А'~ 5») 4-» 1п( чо1»» (Х» ~А ~5»). ««1»(х,««») И так далее, т. е. каждый раз будем минимизировать следующую ксюрдинату вектора стратифицированного объема при условии, что все предыдущие координаты уже минимизированы и фиксированы (т. е. минимизация производится по классу тех пленок, предыдущие объемы которых уже являются минимальными).
Если этот процесс корректно определен (именно это мы и будем доказывать), то тог- .~,.'::-:::"Х да он завершится на поверхности, стрэтифицированный объем которой глобально минимален в классе всех Ркс. 28. стратифицированных поверхностей из данного вариационного класса О (Ю). Разработанный нами метод минимизации обьема 5У применим не только к вариационным классам бордизмов (классическая задача Плато), но и к любому классу вида О (Б). При таком подходе каждая теория экстраординарных (ко)гомологий 6 и каждая тройка (А, Ь, Г) (или пара (А, «.)) определяют в пространстве 8(М) всех компактов в многообразии М некоторое подмножество «» (или Ю); поэтому каждая теория И определяет свой тип «краевых условиИ», запас которых чрезвычайно велик ввиду большого разнообразия в множестве теорий И. Приведем здесь пример «контравариантной» вариационной задачи, определяемой К-функтором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
