А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пример 2. Пусть М 0" ()т)'~0" (О), где 0'()г) — шар геодезического радиуса )т, вложенный в сферу о'"(д) радиуса д тогда )г д в», где ~р» — угол сферической зоны, определяющей М. Если г(х) г (длина меридиана от У до х), и йгаб/, то В", (шар радиуса г), г ~р д к 1м 1»$п»»ФЙ о и»(' х) Ч'-а г() ° Совершенно аналогично вычисляется коэффициент к» в РР", в пространстве постоянной отрицательной кривизны (тригонометрические функции заменяются здесь на гиперболические).
Явная формула для к» в СР" (снабженном стандартной ннвариаитной метрикой) легко получается из представления СР" в виде фактора и„„(и,хи„. Пример 3. Пусть о — г-монотонное поле на М такое, что б(т(и) О (поток несжимаемой жидкости); интересен предельный случай: й а. Рассмотрим Р,~М; тогда для почти всех хенг", траектория т„поля — о заканчивается при 1 Т; на крае М»', число Т, '(при условии у (О) х) определено одноаиачно и задает время, необходимое для того, чтобы вдоль траектории у, (т) пройти путь от точки х у (0) до точки у„(Т,') ~ Мь Прямое вычисление дает, что и„(о, х) Т;~ о(х)(. Если о дгаб/, то я„= Т, '~дгаб~(х) ~.
Легко вывести и общую формулу для коэффициента к„(о, х) беа предположения б(т (и) О; оказывается, к„выражается через интегралы вдоль траектории у от б(ч(о), Результат имеет вид гдэ р- конечная точка траектории, 1» н 1» †значен времени, отвечающие начальной и конечной точкам. Пример 4. Если в качества М взять внутренность эллипсовдв в й, заданную неравенством а»х1+...+а»х»'~г», где((х) $ п) ОсновнАя теОРемА О Функции овъем» ~ аЩ О бган, топрип 2имеемк» вЂ” — „,гдеМ, 0 ~аг»д)(») ( 1 1 2 (а»+а») -' начало координат).
Для произвольного и имеем п»~ и = ! яг»д)(у) 1 Р а 1 —— ! 2Ха йю 1 к-~ где х„,.„ х„ — координаты начальной точки, а у,, ..., у„ — конечной точки траектории поля О =вагаб~. Роль введенного нами козффициента н» заключается в том, что универсальная оценка снизу функции объема Ч'(Х», г) существенно зависит от к», Однако изучение н» представляет и самостоятельный интерес.
Функция исчерпания у из (501 обладает тем свойством, что области (у:~ г) псевдовыпуклы. Рассмотрим случай, когда функция А и»(О, л)~О~, О= йгад/, рассмотренная иа гнперповерхности Р, дВ„, не зависит от точки х ев Р,. Например, это имеет место для шара в Р'.
Есть основания считать, д» что условие,— =0 (для лтР„) аналогично условию псевдовы- а» пуклости волны В, в комплексном (кзлеровом) случае. й 11. Формулировка основной теоремы об оценке снизу функции объема 11.1. Функции взаимодействия глобально минимальной поверхности с фронтом волны. Пусть х ев Є҄Є— касательная плоскость к фронту Р„п(х)— единичная внешняя нормаль л к Т Р„ направленная в область ((» г). Если и(х) — знаФ~,~ » ЧЕННЕ (-МОНОТОННОГО ПОЛЯ и В и неособой точке х, то опреде- / » гх» лен угол а между нормалью и / и вектором о. Хотя угол а г л не определен в особых точках, зто не повлияет на дальнейшие рассуждения.
Рассмотрим в М ГМ-по- та"' вархность Х я ю (1,). Посколькуд,Хчь()), то для почти всех значений г ~ (О, 11 поверхности Х и Р, пересекаются Рнс, 34. трансверсально (в регулярных точках Х), в частности, чо1,,(ХОР,)(сс. Пусть хи ХПР,) положим У» ~ Т,ХПТ Р,. Так как У'» с=Т,Х,то определена аб ньимвньшив овъамы минимлльиых повеэхностен (гл.ь нормаль тен Т Х, т1 У, '~, т — внешняя нормаль поотношению к Р„(рис. 34). Пусть () — угол между и и т. Так как о-(-монотонное поле, то о ф У", ' и однозначно определена й-мерная плоскость Я'„ натянутая на плоскость У', и вектор о, Пусть 1- внешняя нормаль в плоскости й," к плоскости У, '' (рнс.
34). Нормаль ! расположена по ту же сторону от Т Р„ что и векторы о, и, т. Пусть ~р — угол между ( и о, Все три угла а, (), ~р являются (почти всюду) на Х гладкими функциями точки х ен Х. !1.2. Формулировка основной теоремы об оценке объема, Теорема 11.2.1. Пусть ( — функция Морса на М", 0~ а ( (х) ч= 1, дМ =М|() Мм 1!и, О, ~!и, 1, и — ~-монотонное поле на М; все критические точки функции ( являются особыми точками поля о, все особые.пючки х«поля невырождены и О(Х 1пдхь~й — 2, где й — целое число, й с.п. Пусть Хьс: М"— глобально минимальная поверхность Х ~ а (Ь), д1Х ~ 9, к, чь О, Тогда Ч'(Х, (, Р)~1(ш,'(„' И(Р), где постоянная Г Иш,'( ' не зависши от Р и определяется чк(х, И а) а ь только ГМ-поверхностью Х; функция Ь(г) имеет вид й Р ехр ег р г шах (иь(о, «) ,'ата («) )соь~р «сов «) ' кяР Таким образом, поведение функции Ч'(Х, Г, г) определяется ев поведением в момент времени а О, т. в.
на крае Мо и геометрией многообразия М. Зта оценка точна в том смысле, что сущеапвуют достаточно богатые серии четверок (М, Х, (, о), для которых неравенство превращается в равенство; в этим случаях мы получаем точное и явное (в терминах коэффициента деформации поля) выражение для функции объема Ч'(Х, ), Р) на ГМ-поверхности, что позволяет, в частности, точно вычислять объем втой ГМ-поверхности. функция И(г), задаваемая неопределенным интегралом, определена с точностью до постоянной, но зто не влияет на оценку, так как в формулу для Е' входит выражение 1И(а)]-', что и компенсирует неопределенность.
Следствие 11.2.1. В условиях теоремы 11,2.1 имеем Ч'(Х, (, Р)~1(ш '( ' д(Р), где о ч (а) ВР кмР Сущеалвуют достаточно богатые серии четверок (М, Х, (, о), $!Ф ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ОВ ОЦЕНКЕ ОБЪЕМА 67 для которыя впю неравенство превращается в равенспмо, что и дает явные формулы для объема тоник ГМ-поверхностей. Поскольку «(г) ) д (г) при всех г, то оценка в следствнн 11.2.1 более грубая, чем в теореме 11.2.1, однако, как показывают многочисленные приложения, она достаточна для получения нетривиальных утверждений о поведении функции плотности Ч'»(хь, Х). Теорема 11.2.1 является следствием следующего более глубокого утверждения о поведении функции Ч'(Х, 7, г).
Теорема 11.2.2. Луста чепверка (М, Х,(, о) удовлетворяет всем условиям теоремы 11.2.1. Тогда кусочно-непрерывная функция ЧР(Х, й р) %Р(Х, й р,) Ч'(Х, (, р») «( ) не убывает по г т' е' «( ) ~ «(р') при г с р р ~ р'»'р ~~и-'ь-р! ч (р ) ч (р») Теорема 11.2.1 н следствие 11.2.1 получаются из теоремы 11.2.2 при г»- О, г»- О. $ 12.
Доказательство основной теоремы об оценке объема Начнем с топологической части задачи. Отметим, что о ГМ-поверхности Х мы знаем немного: 1) Х ев гд (Ь), (, ~ 0; 2) Х вЂ” ГМ-поверхность, где д,Х~ф. Наша ближайшая цель — перестроить ГМ-поверхность, заменив ее на другую (вообще говоря, не минимальную), о которой мы будем знать значительно больше, чем об Х. В то же время, осуществляя перестройку, мы должны установить связь между объемом Х и объемом перестроенной поверхности Х', чтобы затем, изучив Х', сделать выводыофункции объема на Х.
Отметим одну из трудностей, стоящих на пути к доказательству. Мы вынуждены опираться на теорему существования ГМ-поверхности ХБЕЮ(А,), не являющейся, вообще говоря, подмногообразием ввиду возможного наличия сингулярных точек. Рассмотрим поверхность уровня Р, (7' г); в случае общего положения А", ' Р,П Х вЂ” (я — 1)-мерная поверхность (см. главу 6 и [29[ — [311) в Р,. Введем функцию $ (г) ~ чо1, » (Х П Рр) й(; тогда $(г) непрерывна по г (см. главу 6 н [3!1, [32!), в отличие от функции Ч'(Х, 7, г), которая, вообще говоря, разрывна.
В главе 6 будет доказано, что почти для всех г ев [О, 11 выполнены соотношения чо!» »А,(ОО, чо!А, $,' чо!»»(ХПР,). Рассмотрим й-мерную трубку СА, Ц у„(г) (где О~г==Т„'см. 5 10), р мл» являющуюся объеднненнем всех интегральных траекторий поля — о, выходящих из точек А,. В случае общего положения трубка СА, является й-мерной поверхностью (в смысле 5 7), расположенной в области [(ч--г). Построим новую поверхность Х'=[Х",(ХП () ((ч:; г))1 [) СА„т..е.
заменим часть поверхности Х, оказавшуюся в области (~~г), на трубку СЛ„ зв нАименьшие озъемы минимАльных повеРхностен ]гл. 3 Ле м м а 12.1. Новерхность Х' по-прежнему заклеивает Р в группе Н~":~п(А) при вложении А- Х'/Х'ПМ,=Х'(д,Х'. Другими словами, Х'~В(1.), 1.ФО. Это означает, что укаэанная перестройка поверхности Х не выводит нас эа пределы вариационного класси Ю (Р). Доказательство. Рассмотрим, для определенности, гомо- логический случай.
Докажем, что при вложении 1,: Л -~СА„ имеет место соотношение 0»Н„,(А,)=0 в Н»»(СА,). Предположим сначала, что й-мерная поверхность СЛ, не содержит ни одной особой точки поля о; тогда СЛ,~,(СА, П М,) гомеоморфно прямому произведению )'хА, (в силу /-монотонности поля о); но тогда очевидно, что вложение и А,- СА„/СА„ПМ, полностью аннулирует группу Н»,(Л,), так как цикл 1А,) гомологичен объединению циклов, лежащих в границе М,. Рассмотрим общий случай. Пусть х» ~ (~(г) — особые точки, 1пбх»=),. По условию теоремы Оч=», =й — 2. Пусть г,=шах1(х»); тогда 0(г»(г; в интервале (г„г) нет особых точек поля о, а потому А, гомеоморфно А,, при з-» г„з»г». В частности, А, и А, гомологичны в М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
