А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Докажем, что Л, гомологично Л, при з=г,— е, где з)0 достаточно мало. Рассмотрим перестройку, которой подвергается А„з-» пм при переходе з через критическое значение г», для этого достаточно изучить перестройку в окрестности одной особой точки х,, ((х») * = г». Так как х» — невырожденная точка, то достаточно малая окрестность У (х») диффеоморфна прямому произведению Р»х0"-'.
Все траектории у(т) (для поля — о), составляющие диск 0"-А, останавливаются в точке х», из которой выходят траектории, составляющие диск 0'. Пусть А, = А, П У (х»). Ясно, что Ао'~(АоПРБ-») пр ~>~ гомеоморфно Ао (Ао ЯРА) при Ь<г»; этот гомеоморфизм устанавливается вдоль интегральных траекторий у, не проходящих через х». Пересечение Ао П 0"-А (где з) г») перестраивается и превращается в Л» П 0' (где Ь ( г»); так как ),ч=й — 2, то б(щ(А» ПР")~й — 2.
Поскольку Л» = А»и ~(А~~ П 0»)] () (Л»ь () 0»), то д» ~Л»~ д~ ~(Л~~'~,(А»~ П 0~)) А» «,(А» ПРА), в силу равенства д$ з(А»АПРА) 0; здесь через д» 1 обозначен гомологическнй оператор взятия (й — 1)-мерного фундаментального цикла. При этом мы использовали то, что (д»»А»)ПРА=О, б(щ(д»»А»ь)ЯРА =й — 3, где д — оператор взятия границы, Отсюда следует, что А» гомологичио А. в У(х„), о и причем гомологичность осуществляется й-мерной пленкой СА~П () У (х») () (з» (1 = / (х))» Ь). Отметим, что при А, й — 1 это утверждение о гомологичности в общем случае неверно.
Прн Л~й — 2 имеем: А» (где ЬБ г»-з) гомологично А, (з ° г»+а). й)ы повторяем описанные перестройки на наждом критическом уровне (содержащем особые точки поля о) до тех пор, пока не док»э»тельство теоэвмы оэ оцвнкв овъвм» аэ достигнем поверхности М, д,М.
Итак, Л, гомологнчно !пп А» ~ »-о с= Мб следовательно, прн вложении !,; Л,-» СА,/д,СА, мы имеем (/,)» Н»-»(А,)=0. Итак, операция перестройки Х-~-Х' является Я-перестройкой в смысле главы 6 (см. также 129] — 13!!). Поэтому, в силу теоремы 3.2 нэ [3!'! (см. также главу б), получаем Х' я ~ со (Ц, Ь ныл, что н требовалось. Л е м м а 12 2. Пусть Х' — поверхность, построенная в лемме 12.1. Тогда выполняются неравенства чо1»Х'»чо1»Х ичо!»(Х (! (~~г))~ ! СЛ,.
Доказательство. Так как в силулеммы12.1Х'ыУ(1), ЬчьО, то чо1»Х'»чо1»Х= 1п! чо!»(У). Второе неравенство уело(с) следует нз того, что Х!)(Д»г)=Х'()(Г»г). Лемма доказана. Мы воспользовались тем, что Х вЂ” ГМ-поверхность в М, т. е. сослались на теорему существования ГМ-поверхностей в классе ег(Е). Если бы поверхность Х была бы «допредельной», то неравенство чо!»Х'» чо1» Х не было бы гарантировано, Нам известно топологнческое поведение новой поверхности Х' () (~» г) = СА, вдоль поля о: СЛ,= ()у„(т), х~ А,; это н позволит нам оценить чо1, Х'. Рассмотрим гиперповерхность г„, н пусть г",(!Х= А,; через дЛ»-' обозначим внешнюю (й — 1)-мерную форму (быть может, с особенностями) (й — 1)-мерного объема на А,.
В силу общих свойств ГМ-поверхностей (см. 2 7) можно считать (в случае общего положения), что дЛ»-' является обычной (й — 1)-формой на открытом подмногообразии Т полной меры в А,. Л ем и а 12.3. Для почти всех г, 0(г 1, выполняется равенство УР(Х, й г) (' ! = ! Гётпт Г Г Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу общих свойств ГМ-поверхностей ($ 7) можно считать, что почти для всех г выполнено равенство Ч"; = !пп — (Ч» (г+ аг) — Ч' (г)) 1!ш— ! ач' ь.-ь аг ь.-.
аг (через Ч'(г) обозначено Ч»(Х, г, г)). Разобьем Л, в объединение непересекающихся бесконечно малых шаровых объемов до(У', '), где У» ' — касательная плоскость к шару до(У» ')с:А,; здесь хвнТ вЂ” регулярная точка А,. Пусть чо!»,до(У~ ')=«(Л" ~(У~ ') есть (й — 1)-мерная мера элементарного шара !(о(У» '); тогда чо!,,А, ~ дА' (У,' '). Рассмотрим две близкие гнперповерхности: г", н г",+д,', пусть ЛХ = Х () (г(х) ~ г+Ьг) — бесконечно 90 наименьшие овъемы мииимдльиых поввехиостеи ггл.
в тонкий слой, заключенный между Р, и Р„+д„', тогда ЛЧ -чо(,(ЛХ). Для каждого шара йо(У» ') построим бесконечно малый цилиндр Н йо()«," '), основанием которого является шар йа(У» «), а вы, сотой — отрезок хЯ нормали л« (рис. 35), высекаемый на нормали и« 4 двумя гиперповерхностями: Р, и Р„~.д„. Тогда ЛХ разбивается в л объединение непересекающихся ци- ,д» , '( линдроввидаНйо(ч'„" ),т.е.ЛЧ' Ь,, - - = чо1, (ЛХ) 2' ,чо1» Н йо (ч', "'). хбб(Ч' ) Найдем чо1»Нйо(У„'). Так как ~«' о« ортогонально к йо(ч', ) в точке х (в силу ннфинитезимальности всех этих рассуждений мы заменили все бесконечно малые поверхРвс. Зб. ности, вложенные в М, их диф- феоморфиыми образами, расположенными в касательных плоскостях), то отрезок хЯ ортогонален к йо()«~ ').
Итак, чо)»Нйо(7~ ~)=!хН!чо1» «йо(У» «) !хН!йЛ» ~(У» ). !»8! В силу определения й имеем !хй~= — '. Здесь отрезок хЯ па- в' правлен по нормали к Р, и однозначно определен приращением Лг=Ц(х). Отсюда Лг!,дгай~(х)', !хЗ) (с точностью до бесконечно малых высших порядков), поскольку 1!п« вЂ”,', =(йгай~, и) =(огай~,,~'„' ~~,)=~йгай~~, где через (, ) обозначено скалярное произведение. Итак, ел» «(ч~~ ') ьг чо1»Нйа(У, )— что дает дч' .
! 1пп — = 1пп — чо1» (ЛХ) = д».»д~ д«од' ! е ед»-«(!«» — «) ! пп — ~~чо1» Н йо(7» ') д«о~~ ~ совр ° !ага А Лемма доказана. Л е м м а 12.4. Для лочо«и всех г, О ( г ( 1, выполнено раеелспмо чо1»СА= ~ соз«р х»(о, х, П,'-')йЛ»-«(у',-«), л $ нз доказатвльство тзовамы оа оцвикв озыма 9! вде плоскость П", ' содержшпсл в илоскости 1!» = У, "'+ о (см.
рис. 34) и ортоеоиальиа вектору о ж Я„. Дока з а тел ь от в о. Снова рассмотрим разбиение А, Цдо(У, ') (см. лемму 12.3) и для каждого шара оо(У~ ') построим трубку СвЬ(У» ') Цу„(т), где уенда(У," '). Тогда СА, ЦСйт(У', '). Отсюда чо!,СА, Хчо!»САВУ', '), т. е. осталось рассмотреть чо1»СсЬ(У» ') как функцию точки х ж А,. Достаточно дока- зв зать равенство ! С Ь(У"„') сову х»(о, х, П, '').с(Л~ '(У» '). л»-' г»и ~ С точностью до малых высших порядков имеем чо!, Сйо(У» ) чо1» СсЬ(П где через Иа(П,' ') обозначен шар, каса- м тельныя к плоскости П,' ' в точке х (рис. 36).
Мы использчем то, чтотраектории у„(т), уеноо(У, ), можно 'считать параллельными друг другу в окрестности точки х (если очь0). В силу определения козффициента деформации векторного поля о (см. 5 10) мы имеем чо!»Сдо(П," ') х,(о, х, П» ')чо!»,г!о(П~ '). Но так как угол между плоскостями У, и П, в плоскости Я, равен <р, т. е.
углу между о и ! (рис. 34), то чо!»»оо(П» ') чо1»,гЬ(У, "')сов<у (рис. 36). Итак, чо1»СгЬ(П~ ')= х»(о, х, П,", ')соз~р чо!»,~Ь(У," '). Окончательно чо1„СА, 2; чо!» С оо„(У," ') 2„'чо!» С На, (П,' ') ~ х,(и, х, П» ')сов~у ЫА" '(У» '). Лемма доказана. Лемма 12.5. Имеет место неравенство чо!»СА,*а ~ соз р х,(о, х)НЛ»-'(У. ). А Доказательство. Так как х»(о, х) шах х»(о х П»-1) п' — ' и соыр~0, то утверждение следует из леммы 12.4. зв нлимзньшие озъемы мннимлльных повзехностеи 1гл.з Лемма 12.6. Пусть функция з з(г), О~с~1, «икова, что функция Р(о, 7, х, Х) *, — з(г)соыр нь(о, х) 1 неотрицапмльна на каждой поверхности уровня Р„Ое;:г(1. Тогда выполнено неравенс«ио — Ч'(Х, 7, г) ~з(г) Ч'(Х, [, г). л До к а в а тел ь ство.
Рассмотрим равность Ч"'„-зЧ'; тогда в силу лемм 12.2, 12.4 имеем Ч'„— зЧ')Ж', — зчо)„СА, [ „', „„,.„ь,, н',-')~ил «1-')~ — — ев .ь, >[ил''М l Р (о, г, х, Х) аЛ", ' ~ О, Г что и требовалось. Лемма 12.7. Положим з (г) )гпах [н„(о, х) [угад~[ сов[1 соз~р[~-'. ', е, Тогда Ч"„— з 'Г) О. Доказательство. Ясно, что в силу определения з выполнено неравенство Р(о, 7, х, Х) ) О, а потому искомое утверждение вытекает из леммы 12.6.
Точно так же проверяется, что в качестве з можно взять функцию 3 =[гпах [нь(о, х) [нгаб~,'~)-', тогда ~акме (созй [ягаЦ[)-' — й сову н„(о, х) (сов[) [йгад7[)-'(1 — [сов[) соз~р хе[йгад~Дх х [гпах (нл [ига д / [)1-') Р.- О Следовательно, Ч",-з„Чг)О; отсюда вытекает следствие 11.2.1. Роль леммы 12.7 заключается в том, что мы исключили последний неизвестный нам параметр — границу А„определяемую поверхностью Х.
Это в сочетании с перестройкой Х -~ Х' (см. лемму 12,2) позволяет устранить влияние неизвестной нам топологической структуры Х. При этом мы остаемся в том же топологнческом классе ГМ-поверхностей. Это сглаживание поверхности (путем ее перестроек) во многих случаях оказывается тождественным преобразованием поверхности, поэтому полученная оценка часто оказывается точным равенством. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРНЧЕОКНЕ СЛЕД6ТВИЯ Доказательство теоремы 11.2.2.
В силу леммы 12.7 имеем Ч';(Х, /, г)»з (г) Ч'(Х, /, г). Рассмотрим искомое неравенство (-.~'- ' —,)» 0; отсюда „, =ь О, что аквивалентно неравенству Г Л, Л' Ч" » —, Ч'. Рассмотрим дифференциальное уравнение -ь- в; тогда ехр)з (г)дг 6(г). Для доказательства следствия 11.2.1 нужно вместо функции з рассмотреть функцию 3 . Итак, мы нашли функцию Ь, для которой ( — ) ~0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
