А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Приведенный выше список многообразий М исчерпывает собой все симметрические пространства ранга 1. Теоремз 15.1.2. (1) Пусть М=бс+»,», 1~а~р,— комплексное грассманово мкогообразие (д-мерйых плоскоспмй в (р+д)- мерном пространстве) и СР', 1(в = р, — набор стандартно вложенных (зти вложения мы опишем ниже) вполне геодезических подмкогообраэий, каждое из которых диффеоморфко комплексному проективному пространспму и реализует элемент х, 'кольца когомологий Н»(М, л,), которое до размерности 2р изоморфно кольцу полиномов л, [хм х», ..., хь»1.

Тогда все эти подмногообраэия являются глобально минимальными поверхностями в бр+», » и, кроме того, их объем наименьший, т,. е. чо1„(СР') = ь1'„(М). Более того, значения размерности 2, 4, 6, ..., 2р являются единственными, в которых существует минимальная поверхность Х» с= М пижаЯ, что чо)„Х» — — 11ь(М). ДРУеими словами, чо!АХ») ь ~и~ някотогыз топологическнз следствия 107 ) 111(М) при й Ф (2, 4, 6, ..., 2р) для любой поверхности Х» ен чн Ю (1.'), Ь' чь О, Ь' ~ Н" (М; Е). (2) Пусть М О~+»,», 1~;дч р,— кватернионное грассманово многообразие, и пусть $Р', 1( з =.р,— набор стандартно вложенных вполне геодезических подмногообразий, каждое из которых диффеоморфно кватернионному проективному пространству и реализует влемент х*, кольца «огомологий Н» (М, Я), которое до размерности 4р+ 2 изоморфно кольцу полиномов л.

(ха хм х1„..., х» 1. Тогда все мпи подмногообразия являются глобально минимальными поверхностями в 0„+», » и, кроме того, их обеем наименьший, о т. е. то)»,(ЯР') й~,(М). Более того, значения й (4, 8, 12,..., 4р) являются единственными размерностями, в которых существует минимальная поверхность Х„~ М такая, что то1»(Х,) = Иь(М). Доказательства зтнх теорем будут даны в следующих пунктах. 15.2. Компактные симметрические пространства и явный внд геодезического диффеоморфизма. Рассмотрим теперь симметрические пространства, Напомним, что компактное многообразие М называется симметрическим, если оно представимо в виде однородного пространства М д/Й, где П и Й вЂ” компактные группы Лн, Й ~ д и на 6 определен инволютизный автоморфизм о, а' 1, такой, что Й (д ы б! а(й) й).

Для простоты будем рассматривать только односвязные и иеприводимые симметрические пространства, т. е. не представимые в виде прямого произведения других симметрических пространств. Нам потребуются некоторые простые факты из теории симметрических пространств, которые мы сообщим здесь без доказательства, отсылая читателя, например, к 18), 1551. Оп ределен не 15.2.1. Пусть еен М; рассмотрим все геодезические у, выходящие из точки е, и отметим на каждой из них первую точку, сопряженную с точкой е (вдоль втой геодезической). В силу компактности многообразия М, на каждой геодезической у обязательно существует первая сопряженная точка.

Множество всех таких точек обозначим через С (е). Определение 15.22. Точка минимума для точки е вдоль геодезической у — зто такая точка х на у, что отрезок кривой у от точки е до х минимален, т. е. минимизирует длину дуги между своими концами, но всякий ббльший отрезок уже не является минимальным.

Множество М (е) всех точек минимума для точки е называется геометрическим местом минимумов (или разрезов) для точки е. Хорошо известно, что, например, для односвязного компактного симметрического пространства М всегда выполнено равенство М(е) С(е). Ясно, что б(шС(е)~п — 1, п б(шМ; поэтому многообразие М представимо в виде разбиения М С (е) () (М~С(е)), где (еслн М(в) С(в)) многообразие М,С(е) гомеоморфно диску размерности и.

100 нхименьшив овъвмы мннимзльных повеяхностви йл. ь Пусть М О~Н, где 6 и Й вЂ” компактные группы Ли (Дсилу односвязности М можно считать, что 6 односвязнз); пусть 6 и Н вЂ” алгебры Ли групп 6 и Й соответственно. Хорошо известно, что М можно вложить в группу 6 кзк кзртзновскую модель У с= М, где У (дп(й-')» — вполне геодезическое подмиогообрззие, а — ииволютивиый автоморфизм группы 6; тогда Й (д ев еи 6» а (я) я» (из одиосвязиости 6 следует, что Й связиз), з У (у ав д »о(й) д-'»; проекция р: 6- У, р (я) яо (й"'), определяет главное рзсслоенное пространство 6 -"- М = 1'. В алгебре 6 возникает естественное ортогональное разложение 6 В + Н, где Н Т, (Й), В Т,(У), У ехр(В) (е — единица и группе 6).

Пусть Рс=  — картзновскзя подзлгебра, т. е. максимальное абелево подпрострзнство в В. Тогда алгебра 6 допускает следующее разложение по отношению к действию присоединенного представления адр на 6: 6 Ео+Р+ХУ„-, где Хз С(Р)()Н; С(Р) — центрзлиззтор подзлгебры Р в 6; а— линейные функционалы нз Р, причем каждое подпрострзнство У„-с 6 является двумерным подпрострзнством (над полем вещественных чисел), инвзризнтным при действии акр. В некотором подходящем базисе в плоскости У„- операторы ад„имеют следующий вид: 0 2ий1 аб»(6)~г.=1 2щ-„0 ) ° где а — функционал нз Р; а(р) м Р, если р зв Р, Функционалы а называются корнями симметрического пространства М.

Поскольку среди корней а могут быть совпадающие (с точностью до знака) корни, то мы введем подпрострзнства У„- ~ Уз', в частности, з +й У-ам У .. Ясно, что Р-=(17-()Н)+(У*()В). Пусть Р с=6— кзртановскзя подалгебрз в 6; тогда, кзк известно, можно считать, что Р' =э Р, и если ',0Д вЂ” полный набор корней алгебры 6 (функционалы нз Р'), то все корни й иа Р являются ограничениями на Р с Р' тех корней 00 которые отличны от нуля нз Р, причем кратность корня Й равна числу корней 0ь огрзиичениями которых на плоскость Р он является. Диаграммой 0 (6; Н) ортогональной ииволютивной влгебры Ли 6 = Н -",- В, а (Н) ~ Н, и (В) = = — В, соответствующей односвязному симметрическому пространству УмМ, называется множество всех точек хев Р таких, что я(х) ~ О (шод 1) (т. е.

является целым числом) для некоторого а. НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКНЕ СЛЕДСТВИЯ 109 Для 1саждого а обозначим через йй такой элемент алгебры Р, что вектор~(0, й„.) ортогонален гнперплоскости а-'(0) н, кроме того, й [па) =2. Целочисленная решетка, порожденная элементами [йй», называется решеткой пары (О, Н). Сопряженные с точкой е точки многообразия М полностью описываются в терминах этой диаграммы 0(0; Н). Предложение 15.2.1 (см. [651).

Пусть хиР~ В. Точка ехр(х)~У сопряжена точке еыУ вдоль геодезической уь(1) ехр(сх) тогда и только тогда, когда хя0(0; Н) и й(х)чьО (т. е. а(х) ~0 (шой 1) и а(х)чьО для некоторого корня а). Если Уьа, то ядро дифференциала отображения ехр,: В -ь. У а +й в точке хан Рс В, ехр,х е', является линейным иодпространством в В, иолученным параллельным евклидовым переносом в точку х подиространапва ~ Уйп В, где суммирование выполнено по всем а корням а 'таким, что й(х)~0(шой1), сс(х)*Ф:О.

Кратность точки е' как соиряженной точки вдоль геодезической ехр(1х) равна й(ш [С(е ) ПН)![С(х) () Й) где С(х) и С(е ) — иентраливаторы элементов х и е . Поскольку в алгебре 0 фиксирована ортогональная метрика Картана — Кнллннга (х, у), то все корня а на Р можно реализовать векторами а в подалгебре Р, а именно: рассмотрим вектор а ен Р такой, что й (х)ию (х, а) при любом х ы Р (вектор а существует н определен однозначно).

Тогда нмеем й (а) = ~а ~', где !а) (а, а). Поскольку нас интересует множество первых сопряженных точек С(е)=М(е); то мы рассмотрим только такие векторы хан Р, для которых а(х) 1 прн некотором а (тогда С(е) (е'», где х выбраны указанным выше образом). Концы всех таких векторов х ен Р лежат на гнперплоскостях П„, ортогональных векторам а н проходящих через концы векторов а' а/~а.', так как а(а') 1. Ясно, что ~а'! 1/~а! и а'=Ь„-/2, т. е. асе векторы а' полностью восстанавливаются по решетке пары (О; Н). Мы рассматриваем прн этом совокупность всех корней а ен Р, не ограничиваясь только простыми корнями.

Вектор а' мы будем называть в-корнем, соответствующим корню а. Отметим, что з-корень а' является настоящим корнем алгебры Р тогда н только тогда, когда (а»=~а'~ 1. Рассмотрим открытое множество К,с= с=Р, состоящее нз всех точек, лежащих на лучах, исходящих из 0 и заканчивающихся на первой встретившейся плоскости П,, где а' пробегает все в-корни алгебры Р~ В (отметим, что нн одна нз плоскостей П„не проходит через точку О). Ясно, что К, днффеоморфно открытому шару В', где 1 й(ш Р= ранг У. Положим Кс Ф К, (где Ф вЂ” коэффициент подобия, 0~8(1), Рс дКй ясно, что Рс гомеоморфно сфере У-'. Рассмотрим присоединенное 11О нАименьшие Оьъемы минимальных пОВеРхнОстей действие группы Й на В; тогда из каждой точки хяфвырастает орбита Й(х), ортогональная плоскости Р в точке х( Положим Й, Ц Й(х), Бс ( ) Й(х); тогда Б~=дВО причем В~ ~ОХ, »ЙР, и Йс симметричны относительно начала координат — точки О. Рассмотрим В, ехр,(В,) и Б, ехр,(Бс), Б~ — — дВО Р~ ехр,(Р~); Кг = ехр,(Кс): дКс=рь Л е м м а 15.2.1.

Пусть М" ы У вЂ” компактиое одиосвязкое симметрическое пространство. Тогда Б, С (е) М (е), В~ диффеоморфпо. открытому диску 0' при 0«1~1 с игктром в точке е ее М, а Б, гомеоморфно сфере Б"-х при 0«1«1, Доказательство леммы очевидно. Множество Б1 не гомеоморфно сфере и совпадает с предпоследним остовом многообразия М (в его разбиении на клетки), б(ш Б1 ( и — 1. Итак, мы построили диффеоморфизм О"-» В,=В(е) ~ М, причем радиусы шара В, являются геодезическими в М, т. е. зто геодезический днффеоморфизм. Далеес замыкание В, М и М",дВ,=М',Б1=В„поскольку (см. 181) дополнение к геометрическому месту разрезов на односвязном многообразии диффеоморфно открытому диску 0'. Итак, раздувая из точки е шар ВО мы в конце концов исчерпываем все многообразие М с помощью замыкания шара Вм 15.3, Вычисление в явном виде козффициента деформации радиального векторного поля на симметрических пространствах.

Характеристики

Список файлов книги