А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 27
Текст из файла (страница 27)
При этом мы будем использовать то, что внутренние автоморфнзмы группы О являются ортогональнымн вращениями в пространстве мв. Среди геодезических направлений пучка 1» (как н в пучке 1 ) естественно выделены три сорта направлений в соответствии с разложением Т„(К) = А„+ А„'+ А„", где у — точка встречи вектора Ы со сферой Я„у=у(с(), Пучок 1», поднятый в пространство В, превращается в узкий конус лучей 1», идущих нз точки О в достаточно малый шар на сфере й, н далее на Л,. Направления, идущие в точки плоскости А„(достаточно близкие к точке у), являются евклндовыми, т..е.
после проекции ехр в М они попадают в тор Т; направления, идущие в точки плоскости А„',— это сопряженные (синусондальные) направления (т. е. после применения ехр они переходят в бесконечно близкие к ехр(1д) геодезические, пересекающие ее в конечной точке ехр (д) = =ехр(у») ендВ,). Направления, идущие в точки плоскости А„'„ в том случае, когда элемент х у»(г) является регулярным элементом, интерпретируются как орбитальные направления,т. е.
после применения ехр онн переходят в геодезические, бесконечно близкие к ехр(Ы) н получающиеся нз нее прн малых вращениях, сдвнгающнх точку ехр(д) еи Я» дВ;, иными словами, эти геодезические целиком содержатся в объединении проекций плоскостей, ортогональных плоскостя Т»Й' (х) в Т„В (х) по всем х у»(г), т. е. каждому такому направлению отвечает точка нз 11 (х)1Й'(х).
накотогыа топологичаские следствия Если же х=те(г) сингуляреи, то А;эТ,'1Й(х)!Н'(х)], но не исчерпывается им полностью, поэтому не все направления вдоль А„" являются орбитальными. Однако поскольку регулярные элементй всюду плотны в Т и так как из(г) ~со в Д(~ а'„'), то для наших целей нам достаточно рассматривать только регулярные элементы тора Т (отметим, что в силу плотности регулярных элементов любое направление вдоль Аз сколь угодно точно аппроксимируется орбитальными направлениями). Итак, с метрической точки зрения можно смотреть на все направления вдоль А„ как на орбитальные направления.
Итак, в шаре Ьз (как и в шаре Л„ ) возникает разложение, "О согласованное с описанным выше Разложением пУчка 1ю что мы будем формально записывать так: Аз=ее+ее+ее, где зе- Ье П ехр, (Аз), зе Ье () ехр, (А„'), аз = Ье () ехр, (А"„). Положим з(б) з б(гп (зе), з' (с2) = з' б(ш (зд), з" (сК) з' =б(т(зз); тогда Й вЂ” 1 з+з'+з'.
Рассмотрим первый случай леммы. Поскольку в пучке ~„имеем П„'с: А„', то все траеко торин пучка 1„. сопряженные и (л — 1) = з' (а„'), з= з = О, 1ф,) 1„1. Рассмотрим произвольный пучок 1ю где 0~а',, и предположим, что ~д~ »~а„',~ (напомним, что дев Р,); пусть Л» — — зе+ зе'-1- зе — каноническое разложение (см. выше).
Поскольку чо1,(Ье)=чо1„,(Ь„.) (в силу выбора дисков), то чо1,+1~(зе) к < чо1,+~ (з„а,'), где Й вЂ” 1 = з' (а',) зз+ зз+ зз, зз — — з з (б), з, з' з'(с1), зз=,У(д), т. е. Лз разложен в сумму трех сопряженных пучков, соответствующих числам зм з„з,. Полученное выше неравенство следует иэ евклидовости пучка ~(зе), Поскольку )Н~ »!а,~, то чо);+4(зе)(чо);+,~(зк„), так как сопряженная точка ехр(Н) удалена от точки е дальше, чем сопряженная точка ехр (а,'). Аналогично проверяется неравенство чо1г». ~) (зе) < (чо1;ь~1(зхз.).
Итак, в случае, когда ~Н~)~а,'1, мы имеем чоЦ, чоЦ , что и требовалось. Пусть теперь (~(1 = ~а,'~; тогда Н является з-корнем и, в силу транзитивности группы Вейля на корнях одинаковой длины,мы можем положить д а,'. В этом случае чо1, ь~)(зз) чо1, ь~~(зз,е ), хотя два подпучка ~(зе) и Цзз,э~) (имеющие теперь общую ось-ехр(1а,')) могут и не совпадать. Однако для остальных двух пучков (если хотя бы один нэ них непуст) справедливы неравенства чо1„~(зе) ~ ~чо)в+4(зьа~) (если ззчьО) и чо!и ~1(зз)(чо)г+1~(зз,а1) (если з,чйО), т. е.
если одно из чисел з, или з, отлично от нуля, то чо1~~е(чо1з~„. Если же зт зз О, то весь пУчок 1е заполнен !1Ь нлименъшиэ овъвмы минимальных повеэхностэи сгл, $ сопряженными направлениями, а потому распространяется вдоль воны действия максимальноге коэффициента. Прежде чем перейти к случаю(2), фиксируем вспомогательные утверждения. Рассмотрим на сфере 3" радиуса )с л-мерный диск радиуса )барм где ср» — угол сферической воны.
Тогда объем этого Фе шара равен Р, ф )с»а(л — 1) ~ з(п"-'(ср) с(ср, где а(л — 1) есть (л — 1)-мерный объем единичной сферы 8 '. Так, например, если л 2, то г, ~~"= 4л)сэ вш' ® и коэффициент х, (г) равен )с 1ц(г!2Я). Рассмотрим произвольный вектор с(мР„и пусть вдоль него представлены все три вида двумерных коэффициентов: евклидов, сопряженный и орбитальный; обозначим их через х,'(г, П), х',(г, П), хэ(г, П) соответственно, где П вЂ” прямая, ортогональная вектору с( и определяющая наклон двумерной площадки.
Тогда легко видеть, что прн г~)а,'! (напомним, что )с4~()с(~) выполнены строгие неравенства х',(г, П)(хэ(г, П)~х,'(г, П). Итак, рассмотрим случай (2). Здесь в пучке 1» к сопряженным направлениям (число которых равно ч, т. е. кратности корня ае) добавляются еще и орбитальные направления. Предположим сначала, что ~с() !а',!. Пусть й — 1=з-+в'+з' для Г», положим з, з, зв — — з', зв — — з', пусть л — 1=з(а,')+з'(сс',)+в" (а,') для ~ тогда з(сс',) =О, з'(а',)=ч, т. е.
й — 1=ч+в" (а,') для Д,.~. Возможны следующие два случая: а) в'(д)~з'(а,'); б) з'(с())з'(а,'). Рассмотрим случай а). Выделим в пучке ~» подпучок 1» такой, что ~»'-з7(з») и б(ш1»=б(ш/(4)=з'(а,')=ч. Тогда, в силу случая (1) и так как (с(~)~с4~, мы имеем чо1,Д(чо1ч+~(в4). Так как з' (с()»~ ч, то факторпучок (Д» не содержит сопряженйых направлений, а факторпучок (1!1(4.) состоит только из орбитальных траекторий, Сравним между собой эти два пучка.
Заменим в пучке гД» все евклидовы направления (еслн они вообще имеются) орбитальными направлениями; тем самым мы можем только увеличить объем пучка (»!~». Итак, теперь на каждое орбитальное направление в пучке ~„1/~(в„'.) приходится в точности одно орбитальное направление в новом пучке 11»/Ц'. Поскольку (с(1)(а;~, то кривизна пучка 1,,/1(з») больше, чем кривизна пучка 1Д/Ц', откуда следует, что чо(ь 4,„.(1(зи ) чо1»-»-1 |~И'~чо1»-ч-Л!сэ».
Поэтому окончательно получаем чей;)чо)Д». Рассмотрим случай б), т. е. з'(с())з'(а,'), Существует такая открытая окрестность У з-корня а'„что для любого вектора с(, принадлежащего У и заканчивающегося на Р„выполнено неравенство з'(с() ~з'(а,'); поэтому, если з'(с())з'(а',), то б ~ У. Это замечание основано на том, что кратность в'(с() определяется ИВКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ 11Т гиперплоскостями, с которыми встречается вектор Ф, а если б близок к а,', то он Встречается с той же плоскостью, что и а',.
Построим два подпучка: /'с1;, йт/' з'(а',) — 1, /'с=/(4.), и 1»с=/», где 1»с=/(в») и йт/»=йш/', т. е. оба пучка / и/» составлены из сопряженных направлений. Поскольку,'И~),'а,'~, то в силу пункта (1) имеем чо1;~„)/'~чо!к(ч)/». Увеличим объем пучка /», заменив в нем все евклйдовы и орбйтальные траектории сопряженными, 'полученный пучок обозначим через /». В пучке /„'.//' осталась ровно одна сопряженная траектория ум а остальнйе — орбитальные.
Сравним пучки / .//' и /»//», где /»/)» состоит только из сопряженных направлений. Добавим к траектории у, с=/,„ //' (образующей вместе с траекторией ехр(/а,') двумерную площадку о,) еще одно орбитальное направление из пучка /„.//', ю получим некоторый трехмерный пучок е,. В пучке /» мы рассмотрим также трехмерный пучок т„состоящий из двух сопряженных направлений, лежащих в пучке 5//», и оси пучка ехр(Ы) с=/». Непосредственный подсчет показывает, что чо1» (т,) - чо1, (гэ,) (иапомним, что (Н)~(а,'~). Это рассуждение открывает путь к индукции по числу орбитальных направлений в пучке / о' Оказывается, что коэффициент вдоль пучка «ь (составленного из пучка оэ и 1 — 2 орбитальных направлений в пучке / .), йтмо содержащего одно сопряженное направление, больше, чем коэффициент пучка ть где т~ ~ /», т~ состоит из 1 — 1 сопряженных направлений, содержащихся в /»//», и траектории ехр(Ы) ~ 1». В этом легко убедиться прямым' вычислением. Поскольку пучок ~„1//' () (у») уже состоит только из орбитальных направлений, то, добавляя по одному орбитальному направлению, мы в конце концов исчерпываем весь пучок /, что и завершает доказательство.
Итак, случай (И~>~а,'( разобран полностью. Пусть теперь в ситуации (2) мы имеем ~»(~ (а',1 Используя группу Вейля, можно считать, что 0=а,'. Тогда всегда выполнено неравенство а/(Н) ч. з'(а;), так как по условию пункта (2) з'(а,') ч, а ч — максимальная размерность пространства якобиевых полей вдоль ехр(йх',). Применим схему рассуждений, описанную выше; выделим в пучке /» подпучок 1», йш/»=ч+1* з'(а)+1, /» ы ~ /(з»).
В силу пункта (1), имеем чо1„1 (/») «чо1,+1 ф(з„' )1. Далее, переход от /» к пучку /» осуществляется путем добавлейия орбитальных н евклидовых направлений. Поскольку на каждое евклидово направление в /»/)» приходится орбитальное направление в Д;//(а,',), то добавление евклидовых направлений к пучку 1» продолжает увеличивать уже имеющуюся разницу в коэффициентах. Когда все евклидовы направления будут исчерпаны, мы будем добавлять орбитальные направления (в обоих пучках), что сохраняет уже накопившуюся разницу в коэффициентах, поскольку !1$ нАименьшие ОБъемы минимАльных пОВеРхнОстей [Гл.
э й а',. Если же в пучке 1» вообще не было ни одного евклидова направления, то при з' (й) з' (а',) имеем чо!А (1») ~ чо1А(1»г). Если з'(й)=з'(а',), тогда пучок 1» совпадает с максимальнйм пучком, описанным в условии леммы (хотя не обязательно совпадает с 1„), Переходим к случаю (3). Ясно, что для любого й~Г, пучок 1» не может содержать больше чем и — 1 орбитальных и сопряженных направлений; поэтому, если и-1+1(й(п — 1,то з'(й)+з" (й)~п — 1 з'(а'„)+ +з" (а), Рассмотрим два подпучка: т 1(з,', Цз»)с:1„, Йш(т)= з'(а„')+з" (а,'), и1»=1(з» Ц з» () $), где Йш(» — — з'(а,)+з'(а,')= з'(й)+з'(й) + й)ш$.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
