А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если бы функция Ч' была /Ч' 1' (,Л), дифференцируемой, отсюда уже следовало бы доказательство тео- ремы. Однако функция Ч', вообще говоря, разрывна, поэтому монотонность функции — требует дополнительного доказательства. Л Лемма 12.8. функция — (и функция — ) не убывает ло г, ЧГ / Ч' з Л о) Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим непрерывную функцию г Ч'(!)дг=т,(г) и положим м=Ч/ — Х; тогда Ч' у+в, где м— сингулярная часть функции Ч/; ясно, что а,' 0 почти всюду на интервале (О, 1). Применяя, далее, рассуждения, использованные в [321 при доказательстве леммы 10.2 (см.
также главу б), полу- чаем дм(г)мО, откуда и следует утверждение теоремы 11.2.2. 3 13. Некоторые геометрические следствия 13.1. 0 наименьшем обьеме глобально минимальных поверхностей, проходящих через центр шара в евклидовом пространстве.
Оценка, полученнац в теореме 11.2.1, имеет вид Ч'»с(Мз, Х) Ь(г), где постоянная с(М,, Х) определяется ГМ-поверхностью Х и краем М,. Во многих случаях с(МО Х) может быть, в свою очередь, оценена снизу другой, более простой постоянной, уже не зависящей от Х, В качестве простоИ иллюстрации рассмотрим минимальные поверхности произвольной коразмерности в Р'. В качестве области возьмем шар с центром в начале координат и рассмотрим ГМ-поверхности, проходящие' череа центр шара. Напомню, что функция сферической плотности Чг» на ГМ-поверхностях не меньше единицы в каждой точке. Следствие 13.1.1. Пусть Х" с О," с=У,' — ГМ-поверхность, проходящая через точку 0-центр шара О," радиуса г.
Тогда Ч'(Х, г) чо(з(Х П О",)",м Ч'ь(0, Х) чьгьъ: Чьг чо)ь Гль, где уь — А-мерньа$ однем стандартного й-мерною и/ара радиуса 1; Ч', (О, Х) ~ 1 — сферическая фун«ция плотное/пи минимальной поверхности Х в точке О, и Чгь(0, Х) 1 тогда и только тогда, когда точка 0 — регулярная /почка поверхности Х. Так «ак ч«НАИМЕНЬШИЕ ОВЪЕМЫ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ !ГЛ. Э шар О» — стандартное я-мерное плоское сечение области 0"„то для шара верна гипотеза А (см.
$9), т. е, объем любой минимальной поверхности, проходяшей через центр шара и имеющей границу на границе шара, не меньше, чем объем стзндартного центрального плоского сечения шара (той же размерности). Доказательство. Положим М=Р,"; тогда М» — — 5, М, ф; в качестве 1 возьмем 1 !х!; эта функция на 2У",0 не имеет критических точек. Положим о нгад)'; тогда ! о , '1 на 2Г'~,0; в силу примера 1 иа $10 имеем н»(о, х) ггк, где г !х!. Применяя следствие 11.2.1, получаем чо1» (Х П О,") ~ (! 1»п — '~~' Я д (г) у», где ьг вг хме, г так как !угад)!~1. Итак, д(г) ехр —, г', отсюда Г»гг » ( —; — 1-» ( — -~-!-«.!о, хх Ч (Х, А,) .
(«Р1,(ХПО:)1 Следовательно, чо!»(ХПР,")~Ч»(0, Х)У»ч(г) Чх»(0, Х)У»г». Чг»(0, Х).чо!» О,")чо!»О» что и требовалось доказать. Следствие 13.1.2. Пусть Х» с О," с9,' — ГМ-поверхность, проходящая через начало координат, 0 — центр шара О,". Тогда чо!» »5» '(чо!»»(Х Пд0,"), где 5» ' 1«~ПдР", -стандарп»ный (и — 1)-мерный эквапюр в сфере 5," '=дР,". Пусть, в час!Пности, задано комплексно-алгебраическая поверхноапь стпепени р, т. е. Х с-Р,", где п=2т, 0' с:.К' ы(3")е. Рассмотрим яересеченив Х П5~ Д У» — ', где (в случае общего положения) число ! ! компонент конечно, А! ( ОО, У»- ! — (й — 1)-мерные связные глад- кие компакпи«ые замкнутые подмногообразия в сфере 5» -'.
Тогда среди компонент У!»-! найдется компонента У»-», объем которой «велик», а именно: существует поспшянная си(я, р, и), не зависящая от радиуса г и от поверхности Х'~!(;, такая, что для некоторого номера !» выполняется неравенство с(!«, р, п)г»-!«! «чо1»»х'»-!, 8 некоторых частных случаях нера!!снство прс»ра- щонтся в равенство. Ф кя некотоРые ГеометРические следствия Доказательство. Рассмотрим функцию Чг(Х, Г, г), Г'= ( х ~; пусть А, Х П 5„"-11 тогда, в силу леммы 12 2, Ч'(Х, /, г) ч«чо1»СА„где СА,— конус над А, с вершиной в О, составленный из радиусов.
Так как о йгаб1, то (см. 310) н» -'-, г 1х(, т, е. г чо1»СА, — „чо1»,А,. В силу следствия !3.1.1 получаем чо1,(Х П Р",) »чо1»Г»';, ясно, что — ° чо1»» 5",— '=чо1» Р», т. е. имеем чо),В»-'~ чав»А„, что и доказывает первую половину следствия 13.1,2. Второе утверждение следует из того, что, как известно, число й) связных компонент У,'-' пересечения ХП П 5, '-' (в случае общего положения) ограничено сверху (при фиксированной степени р) постоянной с,(я, р, и) (независимо от выбора радиуса г и поверхности Х данной степени).
Гипотеза В. Пусть В" ~И" — выпуклая ограниченная область в Р' с кусочно-гладкой границей и Оеи В". Тогда существует постоянная с(В", я), зависящая только от В" и от й(п, такая, что для любой ГМ-поверхности Х'~Р" без границы проходящей через точку 0(Ч«»(0, Х)км1, дев Х' и Х" глобально минимально в 1««относительно своей границы А"-' Х" ()дВ"), существует хотя бы одна «достаточно большая» связная компонента У",-' границы А, т. е. среди компонент У",-', где А ь ( ) У»-', сУществУет компонента Уьл длЯ котоРой чо)»;Уь) м»с(В", й). «1 13,2, О наименьшем обьеме глобально мини- „,Ц» мальных поверхностей, проходящих череа фнкси- Ф м» рованную точну в многообразии. Следствие 13.2.1 Пусть четверка (М", 7", и, Х) удовлетворяет всем условиям теоремы 11.2.1; пусть М, = ф и х» ~ М вЂ” фиксированная точка (рис.37).ПустьфункцияМорсагнеимеетнаМ",х, нес ЗТ. точек минимума и максимума (седловые точки допускаются), а в точке х» функция г' достигает абсолютного минимума на М, г*(х,) = О.
Предположим, что в некоторых локальных координагпах в окрестности точки х, функция / имеет вид Г'(х) = = ~х(, где )х~ — длина вектора х»х в метрике М. Предположим, что интегральные траектории поля о в окрестности точки х» совпадают с интегральными траекториями поля ягаб / (например, вто имеет место для поля о=цгаб) на М). Пусть Х" с: М— любая глобально минимальная поверхность в М, проходяшря через точку х, (см. условия теоремы 11.2,1). Тогда имеем следующую оценку снизу функции обвема Ч'(Х, г, г) (на поверхности Х): Чо)» (Х () Д ~ г)) Ч" (Х, ~, г) ~ Чг» (хр, Х) у» д (г) ~ у» д (г), зе нАименьшие ОБъемы минимАльных повеРхностеи и'л. 3 где у„— 'я-мерный обвем евклидова я-мерного шара радиуса 1, Ч'»(ха, Х) — функция плотности Х в точке ха, « д(г) ехр ) ! юпах (и» (и, х) ~ нгаб г (х) !)~-'йг, »1«аг До к а з а те л ь с та о.
Из следствия 11.2.1 получаем Ч'(Х, ~, г)~~!пи ' ' ) д(г) ум Осталось доказать, что Ч'(Х, /, а)1 т»в (а) с 11ш ( ' !' ) = Ч',(ха, Х). Рассмотрим достаточно малую окреа ь т»д (а) стность У точки х,; тогда, в силу предположений и поведения и и ) в У = У(ха), можно считать, что подсчет постоянной с про- изводится в окрестности О в !ч", Осе Х', причем Г(х) ~1х1 Так как при малых а имеем Е, ~ Я«, ', то поле и ортогонально а к Е„следовательно, и»(о, х) —, а ~х~ н в силу следствия 13.1.1 имеем «е (х, й а) 1. чо1 (х О ( ~ х 1 ак а)) 11ш,м,) ап Утверждение доказано. 13.3.
0 наименьшем объеме глобально минимальных поверх- ностей, образованных интегральнымн траекториями поля о. Рас- смотрим важный случай, когда ГМ-поверхность Х" с=М« состав- лена из интегральных траекторий у„(Г) поля и, проходящих через все точки хеи А=д»Х с= М,. Следствие 13.3.!. Лусть Х= ()' уа(!). Тогда (в условиях «мл теоремы 11.2.!) имеет место соотношение Ч'(Х, ), г) ~11ш~ —.„Ч" (Х, /, а)))»(г), а ь(А(а) « еде й(г) = ехр ~ (гпах (и» ~ огай !, 'соза)1-'йг. Если о=йгад1, то О1«мг, со» а 1. Доказательство.
Так как Х ()у(1), то Т,Х»=р» т=!. Рассмотрим в плоскости Т„Ма декартовы координаты хи ..., х„, в которых нормаль и (1, О, ..., О). Пусть а,, ... ..., а, » — ортобазис в (н-й)-мерной плоскости (ча-»(а), ортого. нальной к Т„Х'. Тогда (о, ае) О, (т, ае) О, 1(дм- п-й; в частности, !ча-»(а) ортогонально к У,' '. Отсюда следует, что все векторы аи ..., а„ы л, т содержатся в одной (и-А+1)- мерной плоскости )ча-»+»(а, т), ортогональной плоскости У,'-'1 1ча-»" (а, т)~~У»» Т !г!». В случае общего положения можно считать, что л Чй Р-»(а), т. е.
что плоскость Т„Х" трансверсально $1Ч! ДЕФЕКТ МНОГООБРАЗНЯ Н ОБЪЕМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ 97 пересекает плоскость Т„Р„'-'. Тогда имеет место соотношение л-А ич=Ьи+~ испат. Условие ортогональности ич и а„1~змЧ 1 м И вЂ” й, даЕт Ь(И, а,)+~ИЧЧбд, О, т.
Е. Ьа,' «-ИЧ'=О. ОтСЮда Ч чилл Ь~а,'ач+Ь„. ПУсть г и/~о(. Тогда соз ф * (г, — у = ' ° соза= ~г, и); соз() * ~ — , и), l I т е « ~) ~ ( 1 В ° < 1т~ф э так как (г, ~ а,'а) О. Итак, 1 совф (т) г, Ьп) т, т — Ьп) т, Етчо ) соей сова (т, п) (т1(г, и) (т~ т, и) !т/(т, и) Утверждение доказано. Примеры ГМ-поверхностей вида Х = () т (!), для которых оценка превращается в точное равенство (выражая, тем самым, объем поверхности), см. в следующих параграфах. Пусть МА — — ф, хоеи М" — фиксированная точка, поверхность Х" проходит через х, и ((а)=~а!, где точка а принадлежит некоторой достаточно малой окрестности (7 (хч), и о = игад 7' на У(хч)",хо.
Тогда, соединяя вместе следствия 13.3.1 и 13.2,1, получаем Ч'(Х, 7, г)~ЧЧ(хо, Х) уп Ь(г), где Ь(г) яид(г), если о йгас(7 на всем М".. $14. Дефект риманова компактного замкнутого многообразия, геодезический дефект и наименьшие объемы глобально минимальных поверхностей реализующего типа 14.!. Определение дефекта многообразия.
Пусть М вЂ” замкнутое связное компактное риманово многообразие, хч — произвольная точка на М. Тогда многообразие М можно представить в виде клеточного разбиения, содержащего только одну и-мерную клетку (максимальной размерности) Вл, гомеоморфную и-мерному диску, граница которой приклеена к некоторому клеточному комплексу С размерности, не превосходящей и — 1, Мл = Рл ц С, где д0" -~ С. Подкомплекс С определен неоднозначно. Тогда М, (хч() С) гомеоморфно диску 0л с выброшенной точкой хо, Рассмотрим, далее, на М непрерывную функцию Г, гладкую на Мл',(хчЦС), имеющую ровно один минимум в точке хч, 7 (хч) = О, принимающую максимальное значение, равное 1, на С н не имеющую критиче- СКИХ ТОЧЕК Иа ДОПОЛНЕНИИ К ХОО С, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
