А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Пусть на М задано стабильно нетривиальное векторное расслоение $. Рассмотрим класс всех компактов Х ~ М таких, что ограничение '„на Х по-прежнему стабильно нетривиально, т. е. Х является носителем расслоения $ (рис. 28). Вопрос: можно ли минимлльныв поввзхности в вльилционных классах о 71 среди всех таких поверхностей Х найти глобально минимальную (в смысле стратнфинированного объема) поверхность Х»? Кан будет показано, ответ положительный. 7.2.
Основная теорема существования глобально минимальных поверхностей. Теорема 7.2.1, Пусть М" — компактное замкнутое риманово многообразие класса С', г) 4, и А с М" — фиксированный компакт, х в- :А — фиксированная точка. Пусть И вЂ” приведенная, непрерывная и относительно инвариантная вкстраордииариая теория (ко)- гомологий иа категории компактных пар Ус.
Рассмотрим произвольный непустой и 2-устойчивый класс В И(А, Р., Е') или к) =- и (А, ь) (например, для теории бордизмов и для 2-связных многообразий, т. е. п,(М) п»(М) О, любой непустой класс О или д 2-устойчив). Пусть Й вЂ” иаименыиее из целых чисел з, в(п, для которых й,=й,(И(А, 1., Ь'))(со (соответственио Ы, й,(И(А, Е))( (о ).
Предположим, что Зч~й~п — 1. Тогда выполняется послсдовательность утверждений: (1) Если (Х)» — класс всех компактов Х, А с= Хе" М, таких, чаю Хяб (фч) и чо1,(Х',А) й»~1п(чо!»(У'~,А), Кад (д), то мы утверждаем, что «Х)» чь ф, й»(со, а в том случае, когда а»)0, каждый компакт Х из класса (Х)» содержшп однозначно ~трсделениое й-мериое (т. е. имеющее размерность И в каждой своей точке) подмножество 5» с Х',А, 5» 5»(Х), такое, что А () 5»вЂ” компакт в М; 5» содержит подмножество Я» (возможно, пустое), где чо1»(2») 0 и 5»'~Х» — топологическое И-мерное подмногообразие в М, без края и всюду плотное в 5" (т. е.
множество Я» сеть множество всех И-мерных сингулярных точек поверхиоапи Х), причем чо),(5») чо1»(Х",А)=й»>0. Если же й» О, то лолом 5»-Ф (2) Даме, если «Х)», с (Х)» есть класс пиках компактов Х, А сХсМ, что Х~8 (сд), Хен(Х)» и чо1»(Х",А'~,5») - й»» 1п1чо1»»(У'~,А'~,5»), У ен (Х)„то мы утверждаем, ипо «Х)»,~ф, й».»(оо, а в том случае, когда Н»,~.0, каждый компакт Х ы (Х)ь, содержит однозначно определенное (И вЂ” 1)-мерное (т. е.
имеющее размерность й — 1 в каждой своей точке) подмножество 5»-» с Х",Л',5», 5»-» 5»-'(Х), «юков, что А О () 5» «) 5»-' — компакт в М. Множество 5'-' содержит подмножество Я»» (возможно, пуопое), еде чо1», (Е»») = 0 и 5»-»~~ 2» есть топологическое (И вЂ” 1)-мерное подмногооброзие в М, без края и всюду плотное в 5'-' (т. е. мнахсеств Я»» есть множество всех (И вЂ” 1)-мерных сингулярных точек компакта Х), причем чо1»,(5»-') ''чо1»,(Х'~,А',5») й»,>0. Если же й»» О, то положим 5»» ф. (з) ...
ВАРНАционные зАдАчи и акстРАОРдинАРные теОРии !Гл. 3 (и — 2) Наконец, если (Х)зс:(Х), есть класс всех компактов Х, А с= Х ~ М, таких, что Х ен 4о (4о), Х ев (Х)4 и ю4(х~А~О х~ А )0 1,~у~А~О х~, у (х)„ю 4-4 4-4 l мы УтвеРждаем, что (Х)зчи ф, йз(ОО, а в том слУчае, когда йь.)О, ксждый компакт Х~(Х)з содержшп однозначно опре- деленное трехмерное (т. е.
имеюи(ее размерность 3 в каждой своей точке) подмножеспио 50 с Х',А, () У, 50= 5з(Х), такое, 4-4 А что А () ~() 54~ есть компакт в М (причем 5' П У ф при 4=З 1чи)); 5з содержит подмножество Яз, где чо!з (Ез) = О и 5"~20— топологическое трехмерное подмногообразие в М, без края и всюду плотное в 5' (т, е.
множество Ез есть множество всех тре»- мерных сингулярных точек поверхности Х), причем чо1з(5') = 4 (Х ' А ' И Х') 4, ) О. Х 4, О, С 4 5з ф. В силу 2-устойчивости класса ЕУ (д) выполнено соотно- шение (Х)0='(Х),=(Х),, Далее, каждое множеспюо К'=5"~ХО К' с Х, Х еи (Х)з, является в действшпельности подмногооброзием класса С'-' в многообразии М; если же М вЂ” гладкое (или анали- тическое многообразие, то подмногообразия К' (при 3 ( 1( я) так- же являются гладкими (аналитическими) подмногооброзиями в М, причем каждое подмногообразие К' является 4-мерным мини- мальным подмногообразием в М (т. е.
средняя кривизна равна нулю). Если класс ю (Б) является у-успюйчивым, где д)3, то все множества 5' пусты при 3~1<у. Если Хан (Х)ь с 8 (0Р), Х-40(ОХ) Х'06 0 ~Р 0 '44 З Х.=ли(ОХ) .0;4-~а ~4. 0 .0. ° Уь '44 а (со), т. е. в этол случае никакое непустое множество 5' не мо- жет быть выброшено из поверхности Х ен(Х)0 без разрушения ее топологических свойств. Для каждой размерности 1 стандарт- ная функция сферической плотности ЧУ4 (х, 5'), определенная на 5', обладает свойством Ч",(х, 54)~1 для любого к~5' и Ч'4 (х, У) 1 тогда и только тогда, когда х ен К' = У', ЯО т. е.
х — регулярная точка поверхности У, Замечание. Напомним, что если й,(/4, А, 1., 1.')=со при любом э(п, то задача на минимум в классе гу теряет смысл ввиду тривиальности ответа, т. е. условие З.С и (см. формули- ровку теоремы) не является ограничением. ч и минимлльныа поввгхности в вл»илциоиных классах о 73 Как было указано в з 3, можно решать задачу о минимизации только одного, старшего по размерности, объема чо1„, не интересуясь (с метрической точки зрения) кусками меньших размерностей. Эта задача также решается теоремой 7,2,1: для этого догтаточно ограничиться только первым пунктом этой теоремы. Следствие 7.2.1. В каждом классе Ю (д) в предположе~ияк теоремы 7.2.
1 всегда существует глобально минимальная ш еерхность Хь, стратифицированный объем которой 5У -(й,,й»,, ...) является наименьшим (ао всех размерностях). Эта и мерхность Хь имеет однозначно определенную стратификацию: Х„=- А () 5" () 5"-' () ..., где каждое подмножество 5' является (зо исключением, бьипь может, множества меры нуль, состоящего из особых точек) гладким (для гладкого М) минимальным подмногооброзием в М (т. е. средняя кривизна тождественно ровна нулю).
При этом й;=чо(г(5'). Рассмотрим наиболее интересные частные случаи. 1. Если в качестве экстраординарной теории гомологий взять теорию бордизмов, то получаем решение классической задачи Плато (на абсолютный минимум) в классе поверхностей, заклеивающих данный «контур» А в М (см., в частности, теорему 3.7,1).
В качестве основных теорий бордизмов можно взять 1?, (ориентированиые бордизмы), )У (неориентированные бордизмы),11» (бордизмы по модулю р). Эти группы (см. выше) определяют экстраординарные теории гомологий на категории Р'. ! 1оскольку минимальные поверхности, вообще говоря, имеют особенности (и иногда весьма сложные), то следует распространить эти теории с категории Р' на категорию компактных пар (7с, что делается по схеме, описанной в $4.
Поскольку теории Йе и Ф принимают значения в категории компактных топологических групп АВС, то их распространение на (7с не встречает препятствий (см. 4 4). С теорией 11, нужно поступить более аккуратно. Поскольку Й, на Р' не удовлетворяет условиям а) и б) (см. пункт 4.3), то нужно рассмотреть группы Й„®гЯ, -»й„где 9р — группа целых р-адических чисел (так как ф,— плоский модуль, то группы »1, образуют точную теорию гомологий). Так как любой бордизм может быть уловлен путем подбора подходящего р, мы не ограничиваем себя с геометрической точки зрения. Группы '11, образуют теорию гомологнй со значениями в АВС, а поэтому эта теория может быть распространена с Р' на ()с (т.
е. на категорию чповерхностей с особенностями»). Итак, пусть А»-х с= М" — замкнутое многообразие, й, — одна из следующих теорий: »»1, Уч, й». Многообразие А определяет элемент о = [А, е'1 ен йь., (.4), где е: А -~ А — тождественное отображение. Пусть Л вЂ” подгруппа в Ь„, (А), порожденная элементом а (здесь х ~ А). 74 вл»нлционные злдлчи и экстгьо»диньгныв теории ~гл.з Следствие 7.2.2. Предположим, что класс Ь„(А, Ь, О) неиуст и 2.устойчив (например, многообразие М 2 связно). Тогда существует елобально минимальная поверхность Х» (см. теорему 7.2.1), аннулирующая элемент о. Зта поверхность (быть может, с особенноспями) является решением классической задачи Плато в классе всех пленок Х, заклеивающих А и допускающих непрерывную параметризацию с помощью многообразий (вто — решение задачи згклейки А). Если расслютреть второй предельный случай, т.
е. класс Ь (х, О, Ь'), то получаем существование глобально лшнимальной поверхности Х» в классе всех поверхностей, реализующих данный бордизм (о') Ь' с= Ь„(М) (зто — решение задачи реализации Б). Кроме того, в случае задачи А всегда выполнено неравенство йь ) О. В задаче заклейки «контура» для минимальной пленки Х», имеющей сложные особенности, в общем случае существует спектр многообразий (яГ,) с границей дЮ, А, заклеивающих А в пленке Х» (в смысле пунктов 4.2 и 4.3).
Если же пленка Х, является, например, клеточным комплексом (а наиболее типичные особенности, встречающиеся в приложениях, см. ннже, всегда соответствуют именно этому случаю), то тогда все многообразия ЧУ, гомеоморфны одному и тому же многообразию йг», которое н параметризует пленку Х» т. е. Х» г»(й~»), дйГ» А. 2. Если в качестве теории гомологий взять обычную теорию Н„, (удовлетворяющую А7), то из теоремы 7.2.1 следуют результаты, полученные в [16), [351, [361. 3. Если в качестве теории когомологий взять К-функтор, то получаем теорему существования минимальной поверхности в классе поверхностей, ограничение на которые стабильно нетривиального расслоения $, заданного на М, по-прежнему нетривиально.
4. Если в качестве экстраординарной теорнн гомологий рассмотреть стабильные гомотопическне группы пз, то из теоремы 7.2.1 получаем теорему существования глобально минимальной поверхности в каждом гомотопнческом классе аыпз(М), т. е. в классе стабильно гомотопных отображений сферы в М. В частности, существует глобальный минимум в стабильном гомотопическом (относнтельном) классе дисков, заклеивающнх фиксированную сферу в многообразии М. 7.3. Краткая схема доказательства теоремы существовання. В этом пункте мы кратко опишем основные шаги, ведущие к доказательству существования минимальной поверхности в классах У (д). Подробное доказательство будет дано в главе 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
