А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Поскольку ф, и ф, гомотопны, то ф!»,' фД', где ф;»: Ь,(Х„, Аи)-~Ь,'1(ХХ!)ч, (АХ/Ц. Обозначим чеРез П подмножество в Соя~(ХхТ, АхТ), составленное из прямых брусчатых покрытий, у ~П. Рассмотрим два покрытия уь=у,'(у) и у,=а,'(у) пары (Х, А) и отображения вложения й~ . (Х,, А, )-». -»1(Хх1)„, (АхУ)т), Поскольку уь уг, то и=у, и ф,=Вт, т. е. д,„'„*'=у,т»". Переходя к пределу по уев П, получаем уь»"" =у,'»", что и требовалось. Лемма доказана. Лемма 4.4.3. Теории й, построенные в пункте 4.3, удовлетворяют на категории Ус аксиоме вырезания Аб=Аб'. Доказательство. Рассмотрим вложение й (Х'~У, А~У)-+ — (Х, А), где (7с е'с А. Если аепОочl(Х, А), то пусть 5=1-'(а); тогда возникает вложение нерва (Хэ, Аэ) в нерв (Х„, А„), где через (Ха, Аа) обозначен нерв покрытия 5 пары (Х'~У, А'~У), Можно считать, что вложение ф„: (Хэ, Аэ)- (Х„, А„) — относительный гомеоморфизм (см.
1!01); поэтому, поскольку исходные теории И на Р' удовлетворяют не только Аб, но и Аб, то гомоморфизмы фьь'. )ье(Хэ, Аэ) — ~-)ье(Х,„, А„) (соответственно ф») являются изоморфизмами, откуда и следует утверждение леммы. В дальнейшем мы докажем, что теории й не только удовлетворяют Аб, но даже относительно инвариантны на Ур, причем для приложений нужна аксиома вырезания в форме Аб. (Ко)граничные оперзторыд(6) определяются как пределы соответствующих (ко)граничных операторов из категории над множеством индексов Соч~ (Х). Лемма 4.4.4. Теории й, построенные в пункте 4.3, удовлетворяют на категории Ус аксиоме точности А4.
Доказательство аналогично доказательству точности теорий Н в классическом случае (при выполнении А7), поэтому проводится по схеме 1!О). Мы не будем на этом останавливаться. Далее, легко проверяется, что построенная нами теория й на категории Р', вложенной в Ус, совпадает с исходной теорией А. 4.5. Дополнительные свойства экстраординарных спектральных теорий.
Рассмотрим обратный спектр ((Х„А,), и,",), где (Х„А,) ы е- =Ус и и', — непрерывные отображения; пусть (Х, А) = =»1пп 1(Х„, А,), и,",~ — обратный предел пар (Х„А,), ю,: (Х, А)-ь. — (Х„А,) — проекции обратного спектра (Х, А). Тогда возникает отображение (г„,й,(Х, А)- 1(шд,„(Х„А») (соответственно П*: !!шй'(Х„А,)- и" (Х, А)). Напомним, что теория (ко)гомологий й, на Ус называется непрерывной, если функтор Ь перестаповочен с операцией перехода к обратному пределу.
Л ем ма 4.5.1. Пусть й — спектральная теория (ко)гомологий на Ус (построенная с помои(ью теории Ь на Р'). Тогда гомомор- 64 ЕАРиАционные зАдхчи и экстРАОРдинАРные теОРии [Гл, д физм Й',"' — изоморфизм, т. е. теория й непрерывна на Ус (во всех случаях а), б), в)). Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для теорий Н, удовлетворяющих А7 (см. теорему Х.3.1 в 1101), поэтому мы его опускаем.
Лемма 4.5.2. Экстраординарные спектральные и непрерывные теории й на Ус удовлетворяют А6, т. е. относительно инвариантны на Ус. Более того, если (Х, А)еиУс и р: (Х, А)-Р— (Х/А, х) — естественная проекция, то р'," — изоморфизм. Доказательство, То, что й относительно инвариантны на Ус, следует из леммы 4.4.3 и теоремы Х.5.4 в 110). Пусть (Х, А) яУс и /: Х',А- У=Х',А — тождественное отображение; тогда из относительной инвариантности Ь и из того, что (У () х, х) = (Х/А, х), получаем, что р'," — изоморфизм. Лемма доказана. Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 4.5.1. Пусть на Р' фиксирована теория й, удовлетворяющая А1 — А5, Аб'. Тогда теория й порождает (с помощью спектрального процесса) ковариантный (контравариантный) функтор Ь такой, что: 1) функтор Ь удовлетворяет на Ус аксиомам А1 — АЗ, А5, Аб; 2) если й удовлетворяет одному из условий а), б), в), то й превращается в теорию (ко)гомологий, для которой выполнены аксиомы А4 и Аб и которая непрерывна на Ус и совпадает на Р'с: (/с с исходной теорией Ь; причем в случае а) имеем й«ы6Р, в случае б) Ь енАВС, в случае в) Ь*ЕЕ6/», где (Х, А) Я Ус 4.6. Приведенные группы (ко)гомологий на «поверхностях с особенностямиь.
Пусть й — непрерывная теория (ко)гомологий иа Ус, тогда можно построить группы Ь„(Х) и й'(Х), где хен ен Х вЂ” фиксированная точка, й х — Х вЂ” вложение и /: Х - х— проекция. Тогда в гомологнческом случае рассмотрим подгруппу 6 (Х) = [«Ь (х), а в когомологическом случае — подгруппу 6»(Х) = =/«й»(х). [4зучим сначала когомологический случай. Ясно, что если йч Х- У непрерывно и у=у(х), то у«йд(У)~йд(Х) и Кег(у') с: И».(У).
Подгруппа 6»(У) при гомоморфизме у' изоморфно отображается на 6» (Х). Поскольку /[ тождественно, то й»(Х) распадается в прямуюсуммуйд(Х) =Ьд(Х) 63 6»(Х), причем/ индуцирует изоморфизм между 6»(Х) и Ь»(х). Рассмотрим случай гомологий. Если у: Х- У, у(х)=у, то у„йд(Х) с: Ьд(У) и у, изоморфно отображает подгруппу 6„(Х) на подгрупйу 6,(У). Ясно, что группа йд(Х) распадается в прямую сумму Ь,(Х) = = й,(Х) („[6» (Х), причем 1 индуцирует изоморфизм между Ь, (Х) 6» (Х).
Аксиома А7 требует, чтобы группы й,'"(х) равнялись нулю при д2~01 тогда группа й,'"'(х)=6 есть группа коэффициентов эп когэлницл н гглннцл плэы папств»яств <х, лэ 66 теории Ь. Если И удовлетворяет А7, то это означает, что индекс д приобретает отчетливый геометрический смысл: о есть геометрическая размерность симплексов (или клеток), образующих о-мерные (ко)цепи. $5. Кограница и граница пары пространств (Х, А) Мы введем понятие (ко)границы пары пространств (Х, А) в общем случае произвольной экстраординарной теории (ко)гомологий на категории компактных пар Ус (см. построение этих теорий в З 4). Это позволит нам в дальнейшем охватить чрезвычайно широкий класс новых вариационных задач, включая классическую задачу Плато, переформулированную выше на языке теории бордизмов. Начнем с когомологического случая (важным примером экстраординарной теории когомологий является К-функтор), поскольку запас когомологических функторов, в терминах которых полностью решаются вариационные задачи, оказывается весьма широк.
5.1. Кограница пары (Х, А). Пусть И' — непрерывная, относительно инвариантная теория когомологий на Ус (в частности, можно считать, что И' = Н», т. е. является обычной теорией когомологий, удовлетворяющей А7); в качестве другого примера можно взять К-функтор. Оп ределеиие 5.1.1. Пусть (Х, А)ж Ус и хм А — фшссированная пючка. Хограницей 7" (Х, А) пары (Х, А) в размерности Ь (по отношению к точке х) назовем множество всех элементов аенЬ»-'(А) таких, что аф1гп(7»), где 1: А-».Х вЂ” вложение, а гомоморфизм Р: И» ' (Х)-~-Й»-' (А) индуцирован этим вложением.
Число Ь, вообще говоря, не связано с топологической размерностью Х. Затем положим 7» (Х, А)~ Ц 7»(Х, А). мх Если рассмотреть приведенную последовательность пары И" (Х, А)-'- Ь" '(А)-'- Ь"-'(Х), то ясно, что аеп 7'(Х, А) тогда и только тогда, когда б(а) ~0, т. е. 7»(Х, А) *=Й»-л(Х, А)~1ш(1») = =- И'-'(А)" Кег(б); в частности, Ч'(Х, А) не является подгруппой в группе Ь'-'(А). В этом существенное отличие когомологического варианта конструируемой нами теории от ее гомологического аналога, поскольку граница Л»(Х, А), которую мы определим ниже, будет подгруппой в группе Ь»,(А).
Введенное нами понятие кограницы соответствует интуитивному представлению о геометрической границе пленки Х в том случае, когда говорить об этой границе имеет смысл. Например, если Х СА (конус над А), то, очевидно, Ч' (СА, А) = Ц 1Ь»-»(А)~,01, т. е. конус СА полностью заклеивает А. Другой пример: пусть Х-Ь-мернсв многообразие с краем А, где А 5 л.
т. Фо»»на. вв влэилционные злдлчи и экствлогдинлгные теовин ~гл, э замкнутое (к — 1)-мерное многообразие, и пусть 6' =Н* (обычиая теория когомологий); тогда 7л(Х, А)=Нл-'(А)",О, что снова соответствует интуиции. В то же время использование экстраординарных теорий открывает большие возможности для выбора заклеивающих пленок Х, которые уже не обязаны, например, иметь размерность к для того, чтобы кограница Ул(Х, А) была непуста в размерности л. 5.2.
Граница пары (Х, А). Пусть на Ус задана экстраординарная теория гомологий 6„ удовлетворяющая А1 — Аб и непрерывная на Ус. Например, в качестве й, можно взять теорию бордизмов. Определение 5.2.1. Пусть (Х, А) я Ус и х еп А — фикс проданная точка. Границей Лл(Х, А) пары (Х, А) в размерности к (по отноиению к точке х) назовем подгруппу Кег (7„) П Ьл, (А), где В А -~ Х вЂ” вложениг, а гомол морфизм 1д: Ьд, (А) — Ьл,(Х) индуци рован этим вложением. Затем положим Ь, (Х, А) '() Лл(Х, А). х лаях Из точной приведенной послесль и д довательности пары й„(Х, А)— счипппти ~ — свчедвл — -д й„1(А) -'" Йд, (Х) следует, что Ь„(Х, А) =1щ (д), В отличие от когомологического случая, граница Л„(Х, А) — подгруппа в Ъ~ 1(А). Если й, = Н, — обычная теория гомологий с компактными коэффициентами, то определение 5,2.! превращается в определение, сформулированное и исследованное (применительно к вариационным задачам) в ~35] Дж.
Ф. Адамсом и Райфенбергом (понятием когомологической границы они не владели). Как и в случае когомологий, понятие границы соответствует интуитивному представлению о геометрической границе. Если Х =СА (коиус над А), то Лл(СА, А)=6„,(А). В то же время зто понятие границы (например, в случае й =Н ) не позволяет перевести на алгебраический язык некоторйе геометрические случаи; например, если А = 3' (окружность) и Х вЂ” связная сумма двойного и тройного листов Мебиуса (рис.
27), то с точки зрения наглядной геометрии А-граница Х, хотя граница Ль(Х, А) равна нулю (дело в том, что А — ретракт Х), В этом случае пленка Х содержит одномерное подмножество сингулярных точек, гомеоморфное З1. Граница А является ретрактом Х, но не является деформационным ретрактом. клАссы допустимых ВАРиАции 5 6. Определение классов допустимых вариаций в терминах (ко)границы пары (Х, А) 6.1. Йариациониые классы й(А, !„Е') н Ь(А, А). Пусть М" — риманово многообразие без края (не обязательно компактное), А с: М вЂ” фиксированный компакт, х я А — фиксированная гочка и й — непрерывная, относительно инвариантная теория (ко)- гоиологий на (!с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
