А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 12
Текст из файла (страница 12)
19 (лнст Мебиуса), наиболее естественно улавливается с помощью ~рупа неориентированных бордизмов, поскольку лист Мебиуса является неориентируемым многообразием с краем А. Рвс. 19. Пример 3. Существует класс минимальных пленок Х„для описания которых наиболее естественно использовать так называемые бордизмы апо модулю р».
На рис. 20 изображен тройной лист Мебиуса Х, с границей А=В'. Ясно, что эта пленка дает абсолютный минимум двумерной площади при данной границе А, однако для описания таких пленок язык ориентированных Ка «д Рве. 90. или невриентированных бордизмов недостаточен. Поэтому полезно рассмотреть новые группы, которые обозначаются через й» и которые мы будем называть группами сингулярных бордизмов по модулю р.
Сингулярным многообразием по модулю р (где р — простое число) размерности й — 1 пространства У мы будем называть пару (Р, 1), где У вЂ” (Й вЂ” 1)-мерное компактное ориентированное многообразие с краем дУ, который представлен в виде несвязного объединения р замкнутых ориентированных (й — 2)-мерных многообразий: дУ = Вг () В4 () ... Ц Вр (причем нумерация много. образий В~ фиксирована). Далее, для каждого номера 1 фикси. рован некоторый диффеоморфизм 4: В~ ~ В, где  — одно и то же многообразие для каждого номера 1.
Отображение ): У -+ У зо вхгилцноииые злдАчи и экстгхогдиихэные твоэии !гл. ! непрерывно и обладает следующим свойством: г!э =1'4(э. для ! каждого !, 1~!(р, где ~'! В-!-Š— некоторое фиксированное непрерывное отображение, а через ~~э, обозначено ограничение г на В!. Мы не требуем связности этйх многообразий. Многообразие В может быть пусто, тогда )! — замкнутое многообразие, Два сингулярных многообразия (г'!, )!) и (г',; ),) по модулю р называются эквивалентными, если существует А-мерное компактное ориентированное многообразие %' с краем дК таким, Р дЯ' !' ы! — ю,у,Й$', з,дГ У,~! — у,)!!(Цс~.
1!-! Рис. 2к где каждое компактное ориентированное многообразие С, диффеоморфно одному и тому же многообразию С (с помощью фиксированного диффеоморфизма а!: С!~С), причем дС!=(В!,!) () э () ( — В,) (! (!~р), где д)!!= ( ) Вь!, д$', = Д Вк!, и если, ! =! ! 1 кроме того, существует непрерывное отображение Р: 77-!.л такое, что г !т,=)!, г !т,=Й, В!с,=г'а,,'с,, где г'! С-~-7 — некоторое непрерывное отображение (рис. 21), С, Д (У, () ( — 1!,)) =в,,() ( — в,,). Сингулярное многообразие ()!, Г) по модулю р называется эквивалентным нулю, если оно эквивалентно (ф 10), где ~о: 6- -! Е.
Операция замены ориентации на противоположную и операция взятия несвязного объединения превращают множество классов эквивалентности сингулярных многообразий по модулю р в абелеву группу, которая обозначается через 0~ !(Е). Бордантность нулю по модулю р замкнутого многообразия 1~ означает, что 1!с=дйт, где Й-мерная пленка В' — ориентированное Р бр, дГ у О(Цт,~ ! ю с~до ° ! ! ние), а каждая компонента Т! диффеоморфиа одному и тому же многообразию Т (возможно, Т ф).
Пусть Я=я (точка); тогда известно, что каждый элемент аеи ЯР(х) (при рчь2) имеет порядок р; мы воспользуемся этим Фн МНОГОМВРНАЯ ЗАДАЧА ПЛАТО 61 прн исследовании вопроса о 2-устойчнвостн нетрнвнальных элементов ае= ИР(М) на 2-связных многообразиях М. Вернемся к рассмотрению тройного листа Мйбнуса. Ясно, что минимальная пленка Л;, закленвающая Л = 5д, заклеивает окружность 5' по модулю 3, т. е.
сингулярный борднзм а = (5'; е) (е 1л — тождественное отображение), аы И»1 (5'), переходят в нуль прн гомоморфнзме 1,: И,'(Л)-«И](Х«), где й А-» -» Х, — вложение. Итак, класснческая задача Плато требует нспользовання групп И,,(А), йГ» д(А), И»Р,(А) и нх гомоморфнзмов в группы И,,(Х), йГ» д(Х), Ио,(Х) соответственно, возннкающнх при вложении А-«-Х. 3.6. Теория борднзмов — зкстраордннарная теория гомологнй. Ввеление групп борднзмов в постановку многомерных варнапяонных задач обосновано тем, что, как мы сейчас покажем, группы И,(Х, А), У,(Х, А), И»(Х, А) удовлетворяют аксиомам Стннрода — Эйленберга, образуя тем самым экстраординарные (обобщенные) теории гомологнй. Для определенности рассмотрим группы И, (Х, А); в остальных случаях рассуждения полностью зпалогнчнй, Рассмотрим пары компактных пространств (Х, Л) и непрерывные отображения «р.
Если <р: (Х, А)-»(Хд, Ад)— непрерывное отображение, то определен нндуцнрованный нм естественный гомоморфнзм <р,„: И„(Х, А) -~- И„(Х„Ад), где ~р„[1г», Д [)г», <рг]. Кроме того, определен граничный гомоморфизм д: И»(Х, А)-»И».д(А), где д[г'», Д [д)г», [~ д]. Ясно, что отображение д определено корректно и является гомоморфнвмом. Предложение 3.6.1, Тройка (И«(Х, А), ~р„, д) (в теории гомологий называемая ковариантным функтором) удовлетворяет первым шести аксиомам Стинрода —.Эйленберга (см. [10]) и не удовлетворяет седьмой «аксиоме тачки» (см. А7), Для одноточечного пространства х группа И (х) изамарфна группе ориентированных бордизмов И (см. пункт 3.6). Проверку аксиом выполним в том порядке, в каком онн прнвелены в [10], Первые три аксиомы очевидны, Лемма 3.6.1, Если отобразсение й (Х, А)-«(Х, А) тождественна, то 1«: И»(Х, А)»И„(Х,, А,) — тождественный автомарфизм. Лемм'а 3.6.2.
Если заданы два отображения <р: (Х, А)-» -«-(Х„Л,) и ф: (Х„Лд)»(Х„А,), то имеем (фФр), ф««р,. Лемма 3.6.3. Для лдобова отображения ~р: (Хм А)-«(Хм Ад) следующая диаграмма коммутативна: И,(Х, Л) — в И»,(А) а -( И,(Хд, Ад)-'-И, д(Лд) З2 влрихциониыв задачи и экстглордиилеиые твоеии '(гл. з х) ! 1 1 \ ! / г с «« / l « Рнс. 23. Рис. 22. Доказательство. Равенство д1,~0 доказывается схемой, изображенной на рис. 22. Тождество 1,1«~0 доказывается на рис. 23.
Тождество 1,д~О см. иа рис. 24, Пусть теперь некоторый элемент [У", 1) принадлежит ядру оператора д. Это означает, что существует сингулярное многообразие (()", д) такое, и 1е гза й тс / Рас, 24. 1л Рис. 25. что Ю (дмь) =1(дУ'), дчсь = дУь, д Щ ~ А. Тогда, очевидно, 11=1,[У" Ц ( — (г"), 1() д) (склейка по общей границе)1, т.
е. [У', 11 ы(щ1, (рис. 25). Остальные равенства проверяются аналогично, что и завершает доказательство леммы. Лемма З.Б.4, Если отображение фс гомотопно отображению фм где фс, фт. '(Х, А)«-(Х„А~), то (фа) =(ф~).„. Доказательство. Пуогь Е: (Хх!, Ах1)- (Хз, А~)— гомотопия, соединяющая фс и ф,; пусть (У", 1) — сингулярное многообразие пары (Х, А).
Определим отображение ф: У'х 1— -«-Х, формулой ф(х, 1)=г(1(х), 1); тогда ф(х, 0)=фс1(х), ф (х, Ц = ф,1(х), Так как У' х 1 — многообразие с краем д (У" х 1) = =(У" хд1) () (( — дУ")х1), то многообразие (У'х!)()(( — У')хО) является регулярным подмногообразием края и ф (( — У") х 1)с= А,. Отсюда следует, что [У', фс11=[У", фЯ. Лемма доказана.
Лемма 3.6.5. Для любой пары (Х, А) последовательность групп и гомоморфизмов ..;«Я„(А) — "йь (Х)де(л„(Х, А) в й„,(А) «- -«-... является точной, — щ~ а в l ~р 1„1 юй с Ъ МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА ПЛАТО 63 Л е и м а 3.6.6 (аксиома вырезания). Вложение 1(Х'~У, А,,У) с (Х, А) для любого У такого, чп»о 17 с1п(А, индуцирует изоморфиэм групп 1»л 11»(Х'~У, А'~У) — й»(Х, А). Доказательство. Мономорфность (, очевидна. Доказательство эпнморфности см. на рис. 26. В самом деле, если [У», 7!— элемент группы й (Х, А), 7(ду»)сА, то [у», Д=!»[Я", 31, где !г» с ч'», 1г» ~ 1-" (Х",1п1 А). Лемма доказана.
Дт», 'х Последняя (7-я) аксиома не выпол- 1 1 / г(ч') няется, так как й»(х)~О при й- О, ~ ~.р ,1 х — точка. Зто Обстоятельство сильнО отличает теорию бордизмов от теории обычных гомологий Н„ для которой «акснома точки» выполнена. Для вариацнонных задач нам потребуется группа приведенных бордизмов. Отождествим группу 11»с группой»1» (х) для Рис. 2б, некоторой точки х н определим приведенную группу 11» (Х) как ядро гомоморфизма е,: й»(Х) -».
Я»(х), где е, индуцировано проекцией пространства Х в точку х. Очевидно, что 11»(Х)=Я»ЯЙ»(Х). Ориентированное сингулярное многообразие (ч'», 7) пространства Х является элементом группы »г»(Х) тогда и только тогда, когда [)Г»1= О в 11». 3.7. Формулировка решения класснческой задачи Плато (су- . ществование абсолютного минимума в задачах А н Б). В этом пункте мы сформулируем теорему, решающую классическую задачу Плато для произвольного «контура» А»-' в евклидовом пространстве ~». Пусть А'-' — фиксированное замкнутое гладкое подмногообразне в Р; обозначим через А(о) класс всех измеримых компактов (пленок) Х, Хс»««, которые аннулируют бордизм о=[А, е), е: А- А — тождественное отображение, Другими словами, сингулярное многообразие (А, 1) (й А-+ Х вЂ” вложение) бордантно нулю в пленке Х, т. е.
1,(о)=0, где 1» — гомоморфнзм, отображающий группу (й — 1)-мерных борднзмов А в группу (й — 1)-мерных бордиамов Х. Через чо!» обозначим либо рнманов объем пленки Х, либо й-мерную хаусдорфову меру в том случае, когда Х вЂ” произвольный измеримый (по Хаусдорфу) компакт. Т е о р е м а 3.7.1. (1) Пусть (Х)» — класс всех компаюиов Х, А с Хс(««, таких, что Х ее А(о) и чо1»Х=О»=*!п1(чо!»1'), 'Г'енА(о).
Тогда класс (Х)» непуст, й»)0 и каждый компакт Х ы(Х)» содержит однозначно определенное й-мерное подмножество 8» (т. е. имеющее в каждой своей точке размерность й), 3»сХ',А, такое, что А()В» является компакпюм в Р, 8" содержит некоторое «особое» подмножество 3» (которое может быть пусто), где чо1»(Е») 0 и В" ~Е» является гладким мини- Зл ВАРиАциоиные ВАДАчи и зкстРАОРдииАРные теОРии !гл. э мальным й-мерным подмногообразием в Р, причем 5»~ Я» всюду плотно в 5» и чо1»(5») чо1»Х=й»)0. (2) Далее, если (Х)»» — класс всех компактов Х, А с:.Хс:Р', таких, ео Х ы А (о), Х я (Х)» и чо1», (Х",У) й», = 1п1то!»»(У'~5»), 1'ен(Х)», то класс (Х)»» непуст, а в том случае, когда й»»)0, каждый компакт Х ~ (Х)»» содержит однозначно определенное (й — 1)-мерное подмножество 5»-» (имеюи(ее в каждой своей точке размерность й — 1), У-' с Х',А'~5», такое, что А () 5'О 5»-' есть компота в Р', 5»-' содержшп некоторое «особое» подмножество 2»» (которое может быть пусто), где чо1», (Я»») = 0 и 5»-",7», есть гладкое минималыюе (й-1)-мерное подмногообразие в Р', всюду плотное в 5»-», причем чо1»,(У-')=То!»,(Х',А',5»)=й»»)0.
Если же й»»=0, то положим 5"-'= ф (3), (4) ... И пик далее, вниз по размерностям. С л е дс т в и е 3.7.1, В классе А (о) суи(естеует глобально минимальная поверхность Х» А () 5» 1) 5"-' () ..., стратифицированный объем которой 5)Ч,Х») = (чо1, У, чо1„,5»-», ...) является наименьшим среди стратифицированных объемов всех других пленок Хан А(о), т. е. пленка Х» является глобально минимальной во всех размерностах.
Если ограничиться только первым ' утверждением теоремы 3.7.1, то получаем теорему существования параметризованной пленки Х», глобально минимальной в наибольшей своей размерности (равной и). Теорема, аналогичная теореме 3.7.! (и следствию 3.7.1), имеет место и для задачи Плато В (задачи реализации). Все этп теоремы являются частными случаями общей теоремы существования глобально минимальных (во всех размерностях) поверхностей, доказанной автором (см.
[271 — 1321) для широкого класса вариационных задач на римановом многообразии. й 4. Экстраординарные теории (ко)гомологий, определенные иа «поверхностях с особениостямнз В атом параграфе мы дадим описание экстраординарных теорий гомологий и когомологий, поскольку, как оказывается, каждой из них отвечает своя вариационная задача, допускающая полное решение. Поскольку решения вариационных задач имеют, вообще говоря, особенности (и иногда весьма сложные), то зги теории (ко)гомологий нужно определить иа множестве поверхностей с особенностями; в качестве максимально широкого клас са таких «поверхностей» мы возьмем класс компактов в римановом многообразии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
