А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Однако использование обычных гомологий длк определения понятий «граница» и «заклейка» (см. выше) значительно удалило нас от классической постановки задачи Плато, поскольку если А — (Ф вЂ” 1)-мерное подмногообразие в М н Х» †минимальн » з! 1 МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА ПЛАТО поверхность (в обобщенном смысле), заклеивающая А гомологически (т, е. А гомологично нулю в Х»), то, вообще говоря, не существует такого многообразия )У с краем А, чтобы Х,=1(77), т, е., поверхность Х, может не допускать непрерывной параметрпзации многообразием (в смысле пункта 3.1). Поэтому, решив »влачу на минимум в классе гомологий, мы по-прежнему ничего пе можем сказать о существовании минимальной поверхности, заклеивающей А в классическом смысле (см.
пункт 3.1). Существенная разница между классической постановкой и постановкой па языке обычных гомологий видна также из того, что любое подмногообразие А в Р гомологично нулю (так как Н»(Р)=0), но в то же время может не существовать ни одной пленки Х, Х:» А, такой, что Х =1(йу), т. е. никакая заилеивающая (в смысле гомологий) пленка не параметризуется многообразием. Мы не будем сейчас более подробно описывать гомологические теоремы существования минимального решения, так иак в дальнейшем докажем общую теорему, частными случаями которой будут кан решение классической задачи Плато, так и решение ее в классах обычных гомологий. 3.5. Классическая многомерная задача Плато (абсолютный минимум) и язык теории бордизмов.
Мы хотим снова вернуться к классическому пониманию задачи Плато в классе пленок, параметризованных многообразиями с заданным и фиксированным краем А» '. В отличие от всех использовавшихся ранее методов минимизации, мы будем минимизировать не один фуннционал й-мерного объема, а стратифицированный объем ЗУ, т.
е. вектор, составленный из всех объемов поверхности Х (во всех ее размерностях), Для реализации этой программы нужен язык, на котором можно было бы точно поставить как задачу о заклейие контура, так и задачу реализации. Язык этот должен отличаться от языка, использующего обычную теорию гомологий (см. выше). Оказывается, материал, необходимый для введения такого нового языка в вариационные задачи, уже имеется.
Напомним некоторые топологические определения. Пусть У"-' — замкнутое ориентированное многообразие; через — У"-' обозначим ориентированное многообразие, отличающееся от У»-'ориентацией. Несвязным объединением У," '1) У» ' двух замкнутых компактных ориентированных многообразий У, и У, назовем многообразие, являющееся несвязным объединением У» и У, с сохранением их ориентации. Оп р еде лен и е 3.5.1.
Замкнутое ориентированное многообразие У»-' называется бордантным нулю, У»-» О, если суи1ествует компактное ориентированное многообразие (Р'», край которого д)У диффеоморфен с сохранением ориентации многообразию У»-'. Два замкнутых ориентированных многообразия У1 ' и У» ' называются бордантными, У» У„если их несвязное обыдинение У»Ц( — У») бордантно нулю. 46 вхгиапионныв з»д»чи и экстр»орлик»эныв теории ~гл. » В этом определении мы рассматриваем многообразия безотносительно к их вложению в какое-либо евклидово пространство.
Л е м м а 3.5.1. Отношение бордантности является отношением вквивалентности на классе замкнутых ориентированных (и — 1).меря»»х многообразий. Множество Я»» классов эквивалентности является абелевой группой, в которой сложение индуцировано несвязным объединением многообразий. Доказательство. См. рис. 15. Класс эквивалентности, которому принадлежит многообразие У, обозначим [У], а множество всех классов эквивалентности' — через Й„,; тогда структура абелевой группы в»1», задается так: [У»]+[У»]= [У, () У»]. Нулевой элемент состоит из многообразий, бордантных нулю; ясно, что — [У]=[ — У], Лемма доказана. Цолон0р чо(-ч)-о Ч» У»,Ч Уэ»Ф Ч Чэ Рис.
1з. Прямую сумму групп Я»1»» обычно обозначают через»1»; в этой »ич прямой сумме естественно определена структура кольца, индуцированная прямым произведением многообразий (см., например, [4?]). Группы»1» „вообще говоря, отличны от нулевой; можно пока. зать (это нам не потребуется), что кольцо 11»З~ (где Π— поле рациональных чисел) является алгеброй полйномов, натянутой на классы бордизмов комплексных проектнвных пространств СР"", т 1, 2, ... Оказывается, наряду с теорией ориентированных бордизмов»1» большую роль для вариационных задач играет теория неориентированных бордизмов й(», Для ее построении используются уже все замкнутые многообразия; никаких'ограничений типа ориентируемости не накладывается; в остальном опре-' деление бордаитности копирует приведенное выше определение для ориентируемого случая, Это дает возможность построить группы )ч»» (аналоги групп Й»») и группу У» ® й(~ „являю- » ! щуюся коммутативной алгеброй над полем Е».
Пусть теперь заданы пространство У и его подпространство Е. О п р е д е л е и и е 3.5.2. Ориентированным сингулярным многообразием пары (У, Е) назовем пару (У"-', ?), где У»-' — компактное ориентированное многообразие с краем дУ, а ~ — непрерывное 1»1 ~, МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА ПЛАТО отображение (У, дУ)-~-(У, Я) т, е. )(У) с: У, 7(дУ) с: Е. Если У= ф, то полагаем, что и дУ = 9. Ориентированное сингулярное многообразие (У"-», 1) пара (У„Я) называется бордантнам нулю| если сущгствуют компактное ориентированное многообразие йг» и непрерывное отображение г: йУ»-».У такие, что: а) многсобрйзие У"-' является регулярным подмногообраэием края Ю» и „дйй Я .-'дУ У Рас. 16.
(т. е. У с=д)У) и ориентация У совпадает с ориентацией, индуцирсваннсй на нем ориентацией (У; б) Р)Р ), г" (дВ'~,,У) сЕ (рис. 16). Для двух сингулярных ориентированных многообразий (У', ', ~,) и (У, ', Г») несвязное объединение определяется как пара (У»ОУ» 1»ЦЯ, где У,ПУ, 9,(1»01») 1Р,=1» и ()',07»)1Р, =. 1,. По определению будем считать, что — (У, Г) ( — У, )). Оп р еде ле н не 5.5.5. Два ориентированных сингулярных многообразия (У„)») и (У», 1») пода (У, Я) будем называть бордантнами в том и только в том случае, когда несвязное объединение (У»() У», 7»()1») бордантно нулю (рис. 17).
г Рис. 17. Как и выше, легко проверить, что эти определения задают транзитивное отношение эквивалентности иа множестве всех ориентированных сингулярных многообразий пары (У, Я). Класс бордизмов сингулярного ориентированного многообразия (У, 7) обычно обозначается символом [У, Д (и называется сингулярным бордизмом), множество всех таких классов — символом й»,(У, Е). Структура абелевой группы на»1»,(У, Е) индуцируется несвязным объединением, т.
е. [Ум Я+[У», 1»] =[У»() Уы 1»0Я Класс бордантных нулю многообразий является нулем в этой группе и — [У, 71=[ — У, 7). Группа»1»(У, Я) называется р-мерной группой ориентированных бордизмов пары (У, Е). Прямая сумма (Г1»)Р(У, Е) обозначается через й, (У, Е); эта группа естественно Р 48 в»гихциоиныв з»д»чи и экстг»огдинлгныв твогии игл, » снабжается структурой градуированного модуля над кольцоМ Й,„ (см. выше), которое, очевидно, можно отождествить с кольцом »1,„(х, ф), где х — точка. Если рассмотреть пары (У, ~)1 где У вЂ” компактные замкнутые многообразия, но уже не обязательно ориентируемые (аналогично и пленки Ф' могут быть неоряентируемыми), то описанное построение приводит нас к группе )т»,(У, Я) неориентированных бордизмов.
Рассмотрим задачу заклейки в проблеме Плато, Пусть А»-'— компактное замкнутое ориентированное подмногообразие в М, 1: А -» Х вЂ” вложение, А ~ Х, где Х вЂ” какой-либо компакт в М. Тогда задача Плато А (см. пункт 3.1) допускает эквивалентную переформулировку; Задача А. Можно ли среди всех компактов Х, содержащих А н обладающих тем свойством, что сингулярный бордизм (А, () эквивалентен нулю в Х, найти такой компакт Х„который обладал бы свойствами минимальностиг Поскольку тождественное отображение го А-»-А определяет некоторый элемент оен(»»,(А) (и элемент оя)У»,(А), если рассматриваются неориентированные' бордизмы), то введенный выше класс пленок-компактов Х характеризуется тем, что (, (о)=-0, где 1,: »1», (А) -~- »»», (Х) (соответственно (,: Ф»,(А)-~У»»(Х))— гомоморфизм, индуцированный вложением й А~.Х. Вторая задача Плато — задача реализации — формулируется теперь следующим образом: Задача Б.
Можно ли среди всех сингулярных многообразий (У, д), д: У-» М, бордантных (эквивалентных) данному сингулярному многообразию (У', д'), я'. У'-эМ, найти такое сингулярное многообразие (У», я»), чтобы пленка Х» д»(У») обладала свойствами минимальностиг Другими словами, можно ли среди всех представителей (У, д) данного класса бордизмов аы й»(М) (или У»(М)) найти такой (У„я»), что пленка Х,=я»(У») минимальна в М7 Поскольку мы рассматриваем пленки переменного топологического типа (меняющегося в рамках фиксированного класса бордизмов), то обе эти задачи являются задачами о нахождении абсолютного минимума. Продемонстрируем теперь, что использование раз- „„,4 ных групп бордизмов позволяет охватить широкий класс геометрических вариационных задач.
Рис. 18. Пример 1. Рассмотримми- нимальную двумерную пленку Х, (рис. 18). Эта пленка гомеоморфна гладкому двумерному многообразию с краем А (здесь А=5'), реализующему абсолютный минимум двумерной площади в смысле задачи А. Эта пленка аннулирует сингулярное многообразие (А, е) е= Я,(А) (в смыс- 49 многомвгнля злдАчА плАто 4 З1 ле бордизмов). Итак, пленки такого (ориентированного) типа мы можем улавливать с помощью групп й,„(Х, А). П р и м е р 2. Минимальная пленка Х„изображенная на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
