А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Любое непрерывное отображение /: Х-» У порождает отображение Р(/): Р(У, Е)-»- Р(Х, Е); позтому можно положить Йв(/) (/ ): п [Р(У, Е)]-»- п [Р(Х, Е)], что и определяет на Р' контравариантный функтор й». Определим гомоморфизм ое (Х, Е): Йе»'(ЕХ, Е)-».Йв (Х, Е) как композицию: и 1[Р(л.Х, Е)]~ — и в,[ЯР(Х, Е)] — "-и [Р(Х, Е)]. Здесь ях Р (л Х, Е) = ЯР(Х, Е) — изоморфизм двух спектров, порожденный следующими гомеоморфизмами: Р(~Х, Е„)=-Р(Е1А,Х, Е,)=Р[Е1, Р(Х, Е„)]-ЯР(Х, Ел). Далее, имеется изоморфизм в»». и „»,(ЯР„)мп +,(Р,), и если ч»„— характеристические отображения спектра ЯР=(ЯР„, ~р„], то следующие диаграммы антикоммутативны, т.
е. ( — 1)" (е») «»*= юл+х (Ч»)«: п-,-.ь(ЯРЕ) и-, — (ЯР+) и-»+ (Рл) = и-е»»(Рьм) Заменив е» на ( — 1)" аю получаем коммутативиые диаграммы, что дает окончательный изоморфизм и е,(ЯР)--п,(Р). Отсюда следует, что построенный нами гомоморфизм ое(Х, Е) — изоморфпзм. Пусть (Х, А) ен Р', р: Х 1) СА-~ХА — проекция; тогда можно Определить кограничный оператор бе: Й, '(А) -»-й„'+' (Х/А), положив бч = — т„где т, — композиция: Йк(А) — 'Й» (ХА) «-й» (ХЦСА)=Й~»+ (Х/А). легко доказать, что: 1) если /в ~„то а'(/>, е)=Й'(/и е)," 2) если (Х, А) ~ Р', й А-».Х вЂ” вложение, /. Х-»-Х/А-проекция, то следующая последовательность точна: Итак, мы сопоставили каждому спектру Е теорию когомологий ао вхгихционныв злдлчи и экстэхоэдинхэныа твогии !гл. э на Р'. Как и в случае гомологий, исходя из Ь' на Р', можно построить Ч' на Р'.
Пусть (Х, А)евР'", положим Ьг(Х, А) =Ьг(Х/А); Ьг(Х)=М(Х, б)) )Р(Х(ф)=Ьг(Х()(х)). Оператор 6,: Ьэ (А) — Ю" (Х, А) положим равным оператору 6,: Ьэ (А) = =М(А () (х)) Ьэ 1(Х!А) =Ьт 1(Х, А). Полученный функтор Ь" — экстраординарная теория когомологий на Р', удовлетворяющий Аб и Аб'. Как и в случае гомалогий, существует взаимно однозначное соответствие между теориями Ь" на Р' и теориями Ь' на Р' (см. (481, !49)).
4.3. Построение экстраординарных теорий (ко)гомологий, определенных на «поверхиостях с особенностями» (на компактах), До сих пор мы рассматривали функторй Ь (через Ь мы обозна. чаем Ь' ), удовлетворяющие аксиомам А! — А6, со значениями в категории абелевых групп АВ. Однако для построения теорий Ь на категории компактных пар Ус эти функторы не могут нас удовлетворить, так как переход к обратному пределу разрушает точность гомалогической последовательности пары.
а) Пусть на Р' задан функтор Ь„удовлетворяющий аксиомам А1 — Аб, со значениями в категории бГ) конечномерных векторных пространств над полем Р, т. е. Ь,(Х, А) ев бР7. Будем предполагать, что все гомоморфизмы ~, й д являются Р-линейными отображениями, б) Пусть на Р' задан функтор Ь„удовлетворяющий А1 — Аб, со значениями в категории АВС топологических компактных абелевых групп, т. е.
Ь,(Х, А) ен АВС. Будем предполагать, что все гомоморфизмы ), и д непрерывны. в) Пусть иа Р' задан функтор Ь', удовлетворяющий А1 — Аб, со значениями в категории бВ всех Я-модулей над кольцом )!, т, е. М (Х, А) ен бЯ. Будем предполагать, что все гомоморфизмы г" и 6 Я-линейны. Любой когомологический функтор Ь" в смысле определения 4.1.1 удовлетворяет условию в), поскольку можно считать, что Я=Я, тогда АВ=бЕ. Вложим Р' в категорию Ус и продолжим функторы Ь с Р' на всю категорию Ус. Пусть на Р' задана теория Ь, удовлетворяющая одному из условий а), б), в).
Пусть (Х, А) е= Ус и Сон~(Х, А) есть направленное множество всех открытых конечных покрытий пары (Х, А). Пусть о.елСочl (Х, А)— произвольное конечное покрытие и (Х„, Аэ) — нерв покрытия и. Так как (Х„, А„) ен Р', то положим Ь,„=Ь(Х„, А„); тогда, если а(() (т. е. р вписано за), возникают гомомо измы пэ.
(Ьг)з-~- з. -э,>., с ° (<аь,4 ~ ~- .* (~~а>...!в ° ' д-мерными (ко)гомологическими спектрами пары (Х, А). Элементарные рассуждения показывают, что гомологический (когомологический) спектр является обратным (прямым) спектром групп Ь иад направленным множеством СоФ (Х, А). е 4) (ко)гомологни «паве)«хностен с осовенностями« в! О п р е д е л е н н е 4.3.1. Будем называть абратный (прямой) предел ц-мерного (ко)гомологического спектра пары (Х, А) над Сот) (Х, А) ц-мерной группой экстраординарных спектральных (ко)гомологий пары (Х„А) я Ус и обозначать ее по-прежнему через /)и) (Х, А).
Лемма 4.3.1. Если Ь (Х, А) ~ОР[ (случай а)), (Х, Л) ен Р', тс )) (Х, А) яОР при (Х, А) енУс. Если )) (Х, А) яАВС (случай б)), (Х, Л) ен Р, то )) (Х, А) ен АВС прйц вне„(Х, А)енУс. Если ))е(Х, Л) яО)г (случай в)), (Х, А) ен Р', то йе(Х, Л) енО)г при (Х, А) ~ Ус. Тип категории групп !) сохраняется в случаях б) и в) и может измениться в случае а). Доказательство леммы 4.3.1 следует нз теорем ч'111.3. !4 н И11.4.!2 в [101. Пусть (: (Х, А)- (г', В) — непрерывное отображение в категории Ус н [,'. Сот)(1', В) Сот/(Х, А) — соответствующее отображение покрытий пары (г', В) в покрытия пары (Х, А); пусть 1„: (Хы«А«;)- (г'„«Вв) — соответствующее отображение нервов покРытий; здесь )хе=Сот)()', В) и а'=[,'(а), поэтому [„— вложение нерва (Х„, А„) в нерв ()х„В„).
Можно показать, что гомоморфизмы (г„)«"' (где а пробегает все множество Сот) (г', В)) вместе с отображением 7,' образуют отображение Ф(!) (ко)гомо- логического спектра пары (Х, А) в спектр пары (г', В). Доказательство сводится к проверке коммутативностн соответСтвующих диаграмм, и мы его опускаем. Итак, построение спектральных групп и индуцированных гомоморфнзмов полностью завершено. Проверим выполнение аксиом А1 — Аб. 4.4. Проверка характеристических свойств построенных теорий. Лемма 4.4.!. Теории )), построенные в пункте 4.3, удовлетворяют на категории Ус аксиомам А1 и А2. Доказательство 'леммы очевидно.
Лемма 4,4.2. Теории )), построенные в пункте 4.3, удовлетворяют на категории Ус аксиоме гомотопии А5 (=А5'). Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем выполнение А5'. Пусть й). '(Х, А) — (Хх1, Ах7) ойределены так: у,(х)=(х, 0), д,(х)= (х, 1). Покрытие а отрезка 1=[0, !)открытыми связными множествамн и) (где (=О, !, 2, ..., и; п)0) называется регулярным, если Оенссь О~сс,, ! ена„, ! «)ьсь„,, сс)Паи)Ф)с) прн 0~!«и — 1, н сс)Па)= б') при !! — !)) !.
Тогда (см. лемму 1Х.5.4 в [!01) регулярные покрытия образуют конфинальное подмножество в множестве Сот)(7). Если )хек СоФ(Х, А), то через (!'„, !',".) мы обозначим его индексирующую пару (см. [!0)). Пред- по«тожим, что а таково, что каждому индексу о ен 'г' сопоставлено некоторое конечное регулярное покрытие (!'= (Щ отрезка Т с мно>ксством нндексов )Ц'=(О, 1, ..., и") = [!). Поскольку Ъ'„с: Ъ'„, то может случиться, что о вн )«л.
Пусть Ж'-множество всех пар (о, !), где о я )'„, ! е Ф', т. е. над каждым индексом а мы под-, бв ВАРЯАционные ЭАдАчи и экстРАОРдинАРные теОРии сгл. с вешиваем набор индексов йС'. Пусть %'" с:%' — подмножество, состоящее нз всех таких пар (о, !), что о ен У„'. Покрытие уе=.Ссзчс(ХХ1, АХ1) с'индексирующей парой (ИР, (эт")', определенное формулой у„с=сс,хр," (где о я)с„, 0~ с~я"), называется брусчатым покрытием с базой а, а множества а„х()с— брусками покрытия у.
Из леммы 1Х.5.6 в (10) следует, что брусчатые покрытия образуют конфннальное подмножество в Сочс(Хх1, Ах1). Пусть ссенСочс(Х, А), у=у(а), н пусть у является таким брусчатым покрытием, что множество индексов й!' не зависит от о ен У„; это означает, что у, с а„хрс, где РА Рс ..., р„— регулярное покрытие 1; У'асэМ (О, 1, ..., и). Будем называть такое брусчатое покрытие прямым. Докажем, что прямые брусчатые покрытия образуют конфинальное подмножество в Сочс(Хх1, Ах1).
Достаточно доказать конфннальность прямых брусчатых покрытий в множестве брусчатых покрытий. Пусть уенСоес(Хх1, Ах1) — брусчатое покрытие;требуется найти вписанное в него прямое брусчатое покрытие. Покрытие у=у(а) определяет на отрезке 1 множества у,,с р(у, с) р(а„Хрс), где через йч (Хх1)-~1 обозначена проекция на сомножитель 1, Тем самым, на 1 возникают интервалы р; с концами (сс",, у,"), где Оч-(~п. Рассмотрим конечное множество точек К=К(у) (!'(1(х"„у,') и упорядочим нх, начиная с точки О, в порядке С Р возрастания до 1, т.
е. К= Ц е,„где М М(у). Можно считать, С-О что е,~ аз прн а~ р (в противном случае выбросим нз К все лишние точки). Построим покрытие цс отрезка 1 множествами нср, где нсе (ее, е,+А); О~с! =М вЂ” 2; пс ()нс,. Это покрытие поро- С ждмт покрытие у' у'(у), если взять в качестве элементов этого понрытня множества (а,хнс,)с-Хх1; тогда а,Х1 а,ХЯнс,) ( ) (се,хрс), т. е. для каждого фиксированного о мы получаем покрытие множества Ц(сс.хр,":) новыми множествами (сз„хнс,), болес мелкими, чем а,х()с.
Ясно, что для любых с! н о множество а, х нсе содержится в некотором множестве вида а, х р," (для некоторого с), а потому покрытие у' вписано в покрытие у н является прямым, что н требовалось. Отсюда следует, что прн определении групп (ссс> (Хх1, А х1) можно пользоваться только прямыми брусчатыми покрытиями. В то же время нерв (Хх1, Ах1)„ прямого брусчатого покрытия у гомеоморфен прямому пронаведению (Х,х1, А,.х1), где сс — база покрытия у и (Х„, А„)-нерв понрытня а. Рассмотрим два симплнцнальнык отображения $4! <ко~гомологии»поввэхноствн с осоввнностями» 63 ф,: (Х„, А„) -» (Х х!, А х Г)т, где у = у (сс), и — база покрытия у, оеюа, ф,(о)=(о, О), ф,(о)=(о, М вЂ” 2) (напомним, что у — прямое покрытие).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
